IRS mais justo - a eliminação dos escalões

Um dos grandes problemas do atual sistema de Imposto sobre o Rendimento de Pessoas Singulares, é a tabela com os presentes escalões. O facto de ser um sistema com uma fórmula discreta, ou seja, com escalões assentes numa tabela, pode fazer com que um contribuinte ganhe menos, se porventura passar a ganhar mais. Parece complicado? Não é!

O atual sistema de tributação do IRS está assente em tabelas. Por exemplo, em 2012, se o rendimento coletável de um certo contribuinte for 4898€ a taxa de IRS é de 11,5% o que dá um imposto de 563,27€. Se todavia o rendimento coletável subir 1€ para os 4899€ subirá de escalão passando para a taxa de 14% o que dá um imposto de 685,86€. Ou seja, no limiar, o rendimento coletável subiu 1€, mas o imposto aumentou 122,59€, o que significa que muito provavelmente este contribuinte com o aumentou de rendimentos (através do aumento de trabalho por exemplo) passou a trazer menos dinheiro para casa.

Tal é injusto do ponto de vista fiscal, e provoca em parte também a fuga e a evasão fiscais, pois certos contribuintes, apercebendo-se eventualmente que estão no limiar inferior do escalão, não querem de todo declarar mais rendimentos, pois ao subir de escalão, ficarão com menos rendimentos líquidos totais. Assim, por forma a colmatar esta injustiça fiscal propõe-se uma função contínua de taxação. Várias funções foram pensadas, como por exemplo uma exponencial inversa simétrica do tipo:


Todavia este tipo de funções tinha a desvantagem fiscal de taxar severamente as classes mais baixas devido ao elevado crescimento deste tipo de funções perto da origem. Assim, propõe-se como mais justo do ponto de vista fiscal, a função:


A função arco de tangente devidamente ajustada, é extremamente interessante do ponto de vista fiscal, pois é muito baixa perto da origem, tributando assim pouco as classes menos favorecidas, tem um valor médio na zona média, taxando de forma média a classe média, e posteriormente cresce rapidamente para rendimentos mais elevados, taxando assim os rendimentos mais altos de forma mais severa, tendendo para um limiar máximo, que o legislador considere justo, para rendimentos mesmo muito elevados.

Assim, a função de taxação proposta será do género (t: taxa de IRS; x: rendimento coletável):


Função contínua arctg(x) deslocada em 'x' e em 'y'

Na fórmula acima podemos para já constatar que E é o factor de Equidade, ou seja, o E vai alterar a formação da curva e das taxas de crescimento perto da média. Assim, mexendo-se no E, pode-se pedir um esforço maior das classes mais altas, aliviando também as classes mais baixas; ou então pedir um esforço mais linear em função dos rendimentos, fazendo com que a curva se assemelhe a uma reta.

O termo M faz referência ao rendimento coletável da classe média. Pode no entanto ser alterado pelo executivo, por forma a aumentar ou diminuir a carga fiscal.

Para a função proposta ser correta há que fazer alguns ajustes, por exemplo há que estabelecer a condição t(0)=0. Também sabemos que a função arctg(x) tende para pi/2 quando x tende para infinito, assim há que ajustar a fórmula considerando T como sendo a Taxa máxima de IRS. Deveremos então cumprir o seguinte sistema:


Resolvendo este sistema de equações chegamos aos seguintes resultados:


Assim, a fórmula final que se propõe para a taxação de IRS é:


onde T é a taxa máxima de IRS, E é o factor de Equidade, e M é o rendimento coletável médio da classe média

T=50%; E=0,01 M=10.000€


ERRATA:
Há um termo que não foi considerado na análise anterior, pois na realidade o atual sistema de escalões não é totalmente discreto, pois há um factor a considerar que é a "parcela a abater".

Ou seja, o IRS no sistema atual já é de certa forma um imposto progressivo, pois do nosso rendimento coletável os primeiros 4793€ são taxados a 11,08%, o montante entre 4793€ e 7250€ é taxado a 13,58% e por aí adiante (2010). Quer isto dizer que em 2010 quem teve tem um rendimento colectável de 20.000€ teve uma colecta de 4793*11,08%+(7250-4793)*13,58%+(17979-7250)*24,08%+(20.000-17979)*34,88% = 531,06+333,66+2583,54+704,92 = 4153,18€

Ora, para simplificar, normalmente o que se faz é multiplicar todo o rendimento coletável pela taxa correspondente e depois abater uma parcela que corresponde à soma do limite máximo do escalão anterior (que o rendimento seja 20.000€, 25.000€ ou 40.000€, aquelas primeiras parcelas são sempre iguais)

Portanto, a parcela a abater corresponde ao que é preciso retirar por se ter calculado tudo com base na taxa do escalão em causa. Temos assim que a coleta para este caso é de 20.000*34,88%-2822,88=4153,12€.

Considerando estes pressupostos faz-se o gráfico da taxa real de IRS para o ano de 2012, revelando assim a referida progressividade.

Taxa Real de IRS (%)

Todavia, pelo exposto, continuamos a considerar a função arco de tangente mais justa do ponto de vista da justiça social, devido ao seu baixo valor para valores perto da origem e ao seu valor mais alto para valores mais elevados. Pode-se demonstrar através de controlo não linear, que a função arco de tangente, faz tender os contribuintes para o valor médio, ao contrário do sistema atual que se assemelha a uma função exponencial inversa simétrica, já anteriormente demonstrado ser injusta do ponto de vista social e fiscal.

Milhões, Mil milhões, Biliões ou Triliões? Esclareça a confusão!


Nota: Este artigo aplica-se só a Portugal, pois no Brasil as coisas ficam mais fáceis, devido á similaridade com os EUA da notação.

Não fosse noventa por cento da classe jornalística em Portugal ter tido Matemática apenas até ao nono ano para fugir a partir daí à disciplina dos números, e talvez não tivéssemos este problema crónico de informação numérica, cujo fator multiplicativo é exatamente igual a mil. Os erros são constantes e até em grandes jornais de referência vemos uma confusão constante por exemplo entre mil milhões e biliões.

A Economia é exageradamente parte integrante do nosso quotidiano. Não me perguntem porquê, pois não o sei responder. As relações económicas devem existir desde que existe humanidade, mas nunca a Economia foi tão abrangente e essencialmente tão influente nos meios de comunicação social. Basta pensarmos que por exemplo devem existir tantos jornais económicos, como jornais generalistas. Em Portugal temos o Jornal Económico, o Diário Económico, o Jornal de Negócios e o Semanário Económico. Infelizmente este fenómeno é mundial. Não vejo com a mesma cadência e abundância jornais de Ciência, de Engenharia, de Literatura, Cultura, Bricolagem ou Direito. Posto isto, sendo um facto irrefutável, interessa relevar que a Matemática é uma peça fundamental na Economia, não é por acaso que é lecionada nos primeiros anos das academias dos cursos económico-financeiros. Mas como não há tanto economista para tanta informação económica, propalam pela nossa comunicação social diversas celebridades comentaristas, que de matemática só sabem mesmo fazer algumas contas de merceeiro. E se tal até é eventualmente aceitável em comentadores ocasionais, é todavia muito criticável em jornalistas que escrevem artigos económicos de forma regular.

Esclareçamos as confusões (notação europeia)

Mil
1.000
103
três zeros
1 Milhão
1.000.000
106
seis zeros
Mil milhões
1.000.000.000
109
nove zeros
1 bilião
1.000.000.000.000
1012
doze zeros
Mil biliões
1.000.000.000.000.000
1015
quinze zeros
1 trilião
1.000.000.000.000.000.000
1018
dezoito zeros

Os nossos irmãos brasileiros em vez de bilião ou trilião dizem bilhão ou trilhão.

Um dos grandes problemas deste povo, é que não tem noção quando lhe dizem,  que um parque de estacionamento subterrâneo da EMEL custa 5 milhões de euros, para logo a seguir lhe informarem que o défice pode chegar aos 8 mil milhões de euros. Ora entre estes dois números estão três zeros de diferença, que até mesmo muitos jornalistas têm dificuldades em destrinçar.

Alguns valores com várias notações, para termos noção da grandeza dos números

Valor/Preço
Por extenso
Numeral
Mista 1
Mista 2
Potência
Simples
um café
Sessenta cêntimos
0,60€
60
cêntimos de €

60x10-2
zero vírgula sessenta
uma bicicleta
Duzentos euros
200€


200 €
 dois com dois zeros
um apartamento
Cem mil euros
100.000€
100 mil €

100x103
cem com três zeros
um terreno em Lisboa
Um milhão de euros
1.000.000€
1 milhão de €

1x106
um com seis zeros
Jackpot do Euromilhões
Cem milhões
de euros
100.000.000€
100
milhões de €

100x106
cem com seis zeros
Buraco
do BPN
Seis mil milhões
de euros
6.000.000.000€
6.000
milhões de €
6 mil milhões
de €
6x109
seis com nove zeros
PIB de Portugal
Cento e setenta mil milhões de euros
170.000.000.000€
170.000
milhões de €
170 mil milhões
de €
170x109
170 com nove zeros
PIB da
União Europeia
Catorze   biliões de euros
14.000.000.000.000€
14 biliões
de €

14x1012
catorze com doze zeros

Muitas vezes as confusões vêm das más traduções de artigos em inglês dos meios de comunicação internacionais, pois aquilo que em Portugal se chama mil milhões nos EUA (tal como no Brasil) é denominado por biliões (bilions).

Rogo aos senhores jornalistas mais zelo na informação numérica dos montantes económicos, pois se muitas vezes, nem eles sabem distinguir um milhão de mil milhões, menos se espera que o saiba o leitor comum.

Teoria dos Conjuntos | Notações, Relações e Operações

Já está na Matemática Viva, um pequeno texto de 14 páginas, claro, conciso, com explicações detalhadas de notações, operações e muito mais sobre conjuntos matemáticos.
Pode visualizar o texto aqui.

Agradecimentos solenes aos seus autores, docentes no Instituto Politécnico de Viseu.

Um integral infinitamente interessante

Se perguntarmos a algum matemático, como se calcula a área de curvas, ou de linhas não retas, dir-nos-á que deveremos utilizar o integral. Mas se tivermos na prática de pintar um muro, a quantidade de tinta que usaremos é proporcional à área do muro. E se o muro tiver um comprimento infinito? Deduzimos facilmente que a área será infinita. Mas não o é? Se a altura do muro decrescer muito rapidamente à medida que avançamos, como acontece com a expressão $e^{-x}$ veremos que na realidade a área dará um número finito.

$\int_{0}^{\infty}e^{-x}dx=1$


Concluimos assim, que teoricamente podemos ter muros com comprimento infinito, mas com área finita. Estes são os casos dos chamados integrais impróprios convergentes.

Limite interessante ((1+x)^(1/x)-e)/x

Resolvemos no fórum um limite interessantíssimo:


Repara que a primeira parcela à esquerda no numerador é uma forma alternada de escrever o limite notável que dá 'e'. Assim este limite à primeira vista dá uma indeterminação zero sobre zero, que pode ser resolvida pela regra de Cauchy.

No entanto, de salientar que derivar o numerador envolve aquele caso pouco falado de derivar um função f elevada a uma função g, ou seja queremos derivar em ordem a 'x', (f)^(g), em que f e g dependem de 'x'. Veja a solução do problema aqui no fórum.