tag:blogger.com,1999:blog-33389397950503726492024-03-13T16:33:54.525+00:00Matemática VivaVivificando a Matemática em Português!João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.comBlogger92125tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-56885878946794973572018-10-14T01:03:00.002+01:002018-10-30T21:41:30.679+00:00Entender a Refração da Luz, com a fuga do Lucas à polícia<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="float: right; margin-left: 1em; text-align: justify;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQDxDSa0EytofI4XCfAUWPqqOb4EZzW9QCmob1LayBKJAodHqle0dGaT8LfoiSUlrgSZEGFaNUSl8Wr9cWZSj9mjCUC1-3Sx_f1iGDqvqCr10BvO1MVQ75ryKXieVmeyrhmq7M2pfv1XJW/s1600/Snells_law2.png" imageanchor="1" style="clear: right; margin-bottom: 1em; margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="641" data-original-width="357" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhQDxDSa0EytofI4XCfAUWPqqOb4EZzW9QCmob1LayBKJAodHqle0dGaT8LfoiSUlrgSZEGFaNUSl8Wr9cWZSj9mjCUC1-3Sx_f1iGDqvqCr10BvO1MVQ75ryKXieVmeyrhmq7M2pfv1XJW/s320/Snells_law2.png" width="178" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Fonte: <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Ficheiro:Snells_law2.svg">Wikipédia</a>.</td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
A refração da luz ocorre quando um feixe de luz, na imagem a vermelho, muda de um meio para outro meio com índice de refração diferente, ou seja, nestes diferentes meios (ar e água, por exemplo), a luz tem velocidades diferentes. Sabemos que a luz tem uma velocidade, que de acordo com a física moderna, representa o limite de velocidade máxima que alguma matéria com massa consegue atingir. Mas normalmente a velocidade da luz é apresentada como sendo a velocidade da luz no <i>vácuo</i>, sendo esta simbolizada pela letra <b>c</b>, e sendo igual a 299,792,458 metros por segundo. Para fácil memorizar, pode-mo-la aproximar a <b>300 mil km/s</b>. Este valor representa sempre a velocidade da luz no vácuo, pois por exemplo a velocidade da luz no <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Germ%C3%A2nio">germânio</a> é "apenas" cerca de 75 mil km/s, um valor bem inferior.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A fórmula que nos indica a relação entre os ângulos de incidência e refração, quando a luz atravessa de um meio para outro meio, é denominada por <b>lei de Snell </b>ou<b> lei de Descartes</b>. Mais precisamente, esta fórmula dá-nos o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar para um meio com índice de refração diferente do qual este estava percorrendo:</div>
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<br /></div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl7Zah6FYxe6hO8yWMeRcILsLMs5Rbw1WJyhT-YlwnH3da87iKGRyotFWrHNfuIUsUPbSW7HsCjP_98bA7y00KW3BvgEn_qBegYbNYGr8nMkri4Q2K6LYzsNkamm4-wsnSyVVGpnm4ac4h/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="16" data-original-width="166" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhl7Zah6FYxe6hO8yWMeRcILsLMs5Rbw1WJyhT-YlwnH3da87iKGRyotFWrHNfuIUsUPbSW7HsCjP_98bA7y00KW3BvgEn_qBegYbNYGr8nMkri4Q2K6LYzsNkamm4-wsnSyVVGpnm4ac4h/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Para sabermos o índice de refração <i><b>n</b></i> de cada um dos meios, basta aplicarmos a seguinte fórmula:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeX7ZuC70nfd_u5xyzAE0IbtZUbxI6XJXTddvEDQYw7qKpKBAPxCFo5B7hS27btNgQ5ZNGsEIE1SeYEzibSPdmvUSu0ombiFBUr62cyNGLgHmbfBegqFdgc9audMyGG-Kvw_GhvW_7zh7J/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="33" data-original-width="47" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjeX7ZuC70nfd_u5xyzAE0IbtZUbxI6XJXTddvEDQYw7qKpKBAPxCFo5B7hS27btNgQ5ZNGsEIE1SeYEzibSPdmvUSu0ombiFBUr62cyNGLgHmbfBegqFdgc9audMyGG-Kvw_GhvW_7zh7J/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Onde <b><i>n</i></b> é o índice de refração do meio escolhido (ar ou água, por exemplo); <b><i>c</i></b> é a velocidade da luz no vácuo (constante); e <i><b>v</b></i> é a velocidade que a luz tem no meio escolhido. Ou seja, basta dividir a velocidade da luz no vácuo pela velocidade da luz no meio escolhido, para termos o índice de refração desses mesmo meio. É por sabermos que o <a href="https://en.wikipedia.org/wiki/List_of_refractive_indices#List">índice de refração <b><i>n</i></b> do germânio</a> é aproximadamente igual a 4, que podemos inferir então que a velocidade da luz no germânio é cerca de 300 mil km/s a dividir por 4, ou seja, cerca de 75 mil km/s, como anteriormente referido.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Mas porque motivo um feixe de luz não segue "sempre em frente", e "desvia-se" quando passa de um meio para outro? E porque motivo a luz apenas se desvia quando entre num meio diferente na diagonal, ou seja "de lado", visto que quando o feixe de luz entra mesmo "de frente", ou seja, numa direção perpendicular à linha que separa os dois meios, a luz já não "se desvia"? Porquê?</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">A fuga do Lucas à polícia</span></b></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
O dia-a-dia do Lucas, bandido profissional, responde às perguntas anteriores. Imaginemos que o Lucas foge à polícia na sua favela, favela essa que conhece com bastante detalhe. Vem de um beco no fundo do lado esquerdo da imagem, e precisa de fugir para o topo do lado direito, para outro beco na favela. Mas entre os becos existe uma estrada de alcatrão, a cinzento na imagem, e uma pequena lagoa sem corrente, ou seja, com águas paradas, representada a azul e situada entre a estrada de alcatrão e o beco por onde o Lucas precisa de fugir da polícia. Qual o objetivo do Lucas? Obviamente chegar o mais rapidamente ao seu destino, visto que está a ser perseguido pela polícia ao longo dos becos da favela. E que trajeto deve tomar o Lucas? Normalmente, caso o meio que atravessa seja sempre o mesmo, o trajeto evidente é uma linha reta. Mas neste caso sabemos que o Lucas corre muito mais rapidamente do que nada, aliás como quase todas as pessoas. Logo, <b>existirá um ponto divisório na transição entre o alcatrão e a lagoa, que minimiza o tempo que o Lucas leva a percorrer de um beco ao outro</b>. E que ponto é esse? Embora o Lucas tenha um <i>feeling</i>, algo intuitivo visto conhecer bem a sua favela, que não deve seguir em linha reta para que possa chegar o mais rapidamente possível ao seu destino, é preciso "colocar a mão na massa" na Matemática, para achar com exatidão o referido ponto divisório entre estes dois meios.<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIJt8fNdfOvyH78OP0z4h5dHVXy2RXXa87GlutZbrbgA4q0gNdgVwet5lo7o5_zbAwfD8NQQPOqmu8k2_JYpkw-m1P7PGCJNA52HkWQruTGW4-kmRPSDwsxcYud7ZWkrvImFA7k1LbxY5W/s1600/Lucas+foge+%25C3%25A0+pol%25C3%25ADcia.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" data-original-height="750" data-original-width="1200" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIJt8fNdfOvyH78OP0z4h5dHVXy2RXXa87GlutZbrbgA4q0gNdgVwet5lo7o5_zbAwfD8NQQPOqmu8k2_JYpkw-m1P7PGCJNA52HkWQruTGW4-kmRPSDwsxcYud7ZWkrvImFA7k1LbxY5W/s1600/Lucas+foge+%25C3%25A0+pol%25C3%25ADcia.png" width="550" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">O Lucas foge à polícia de um beco para outro beco, através de uma estrada de alcatrão onde corre e de uma lagoa onde nada. Qual o trajeto que o Lucas deverá fazer, para que o tempo que demora entre os dois becos seja o menor possível? Isto é, <b>qual o trajeto que deverá fazer para chegar o mais rapidamente possível ao outro beco</b>?</td></tr>
</tbody></table>
<br />
Assumamos os seguintes dados: a largura da estrada de alcatrão é <b><i>d<sub>1</sub></i></b>, e a largura da lagoa, admitamos retangular, é <b><i>d<sub>2</sub></i></b>. No alcatrão a velocidade do Lucas a correr é <b><i>v<sub>1</sub></i></b> e na lagoa a sua velocidade a nadar é <b><i>v<sub>2</sub></i></b>. O ponto que queremos achar é a distância <b><i>x</i></b>, ou seja, a distância ao longo da direção da linha que separa os dois meios, entre o ponto de entrada do Lucas no alcatrão e o ponto de entrada na água. O ângulo de entrada na transição entre o alcatrão e a lagoa é <b><i>θ<sub>1</sub></i></b> e o ângulo de saída dessa mesma transição é <b><i>θ<sub>2</sub></i></b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sabemos que a velocidade média de um objeto é a variação do espaço percorrido em linha reta, sobre o tempo percorrido ao longo dessa linha:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKvCg4p6oOyoVV2rGOJIvhvsLljBT1-hzoL7FMZpAoOE4yN47urEb3aRzH0pOES1V8SWQcndz62QQRGUbOtUMjmDxfe6q3DfWsqveNHBzXArvL3PrEUBcbbOee5w8Zyy91P1CdftxhsQLH/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="37" data-original-width="61" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiKvCg4p6oOyoVV2rGOJIvhvsLljBT1-hzoL7FMZpAoOE4yN47urEb3aRzH0pOES1V8SWQcndz62QQRGUbOtUMjmDxfe6q3DfWsqveNHBzXArvL3PrEUBcbbOee5w8Zyy91P1CdftxhsQLH/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Logo, concluímos que a variação do tempo, ou seja, o tempo decorrido é:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSwefPu9WvHLgZUt-FLQ9PkgeIHYLss7kIK1IDkFSlS9WcFmoyqvlrDrf0pciKHIOxbqakvk2HVyHMPKaU0Lf3clj3EymjTT_7MYQKzWJUrKXYjqRuwsAT1TJSCxrglVLP6UynirAGiaqy/s1600/CodeCogsEqn+%25283%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="37" data-original-width="80" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjSwefPu9WvHLgZUt-FLQ9PkgeIHYLss7kIK1IDkFSlS9WcFmoyqvlrDrf0pciKHIOxbqakvk2HVyHMPKaU0Lf3clj3EymjTT_7MYQKzWJUrKXYjqRuwsAT1TJSCxrglVLP6UynirAGiaqy/s1600/CodeCogsEqn+%25283%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Também sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que o espaço percorrido pelo Lucas, entre o ponto que entra no alcatrão e o ponto em que entra na água, ou seja, o espaço percorrido ao longo do alcatrão, é:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVx8XZlL_V7Ai_lAFe6wHH13gy0USVZ_kaXcqdd99no_-tX75jIdVcv9ckEEkdV2cjln7xPw0fjlwPGBnMOJaEZ5czoq3JSvCfRHNel0AYal7bHPwQbcJohYc4qDfXT6ghXn6nWGhsoqnW/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="23" data-original-width="153" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhVx8XZlL_V7Ai_lAFe6wHH13gy0USVZ_kaXcqdd99no_-tX75jIdVcv9ckEEkdV2cjln7xPw0fjlwPGBnMOJaEZ5czoq3JSvCfRHNel0AYal7bHPwQbcJohYc4qDfXT6ghXn6nWGhsoqnW/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Equivalentemente, também sabemos pela imagem que o espaço percorrido pelo Lucas na água, é</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_GGEnbKGU5jPbpo3h1awnHPEUzod9JEb8snFSawkzctJsf-h5Fyf88lvSUbWprdb2BK2JfByboXdiqARqaVLHnMo3SEl-Ng3RZkU8vQk1nqgXgW0mNKdrz5F6ZWKD22yEi5vUIdJNgrg-/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="23" data-original-width="204" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi_GGEnbKGU5jPbpo3h1awnHPEUzod9JEb8snFSawkzctJsf-h5Fyf88lvSUbWprdb2BK2JfByboXdiqARqaVLHnMo3SEl-Ng3RZkU8vQk1nqgXgW0mNKdrz5F6ZWKD22yEi5vUIdJNgrg-/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Logo, combinando as fórmulas apresentadas, podemos concluir que o tempo total <b><i>T</i></b> que o Lucas demora a percorrer o alcatrão mais a água, é:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwlkXjf29prS7HTpGYwLKPPntyuJZAQBBzplSLm-_1fHcjlry69qPTFvZuGeq4EI3Mbs1pdOoGyxoVBYBqNJy4RIU9-EFeZTRh2f-lZUIfTQKFGJ4f1VOrDy95Nhtefomq4W4AvwiAnaoO/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="136" data-original-width="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiwlkXjf29prS7HTpGYwLKPPntyuJZAQBBzplSLm-_1fHcjlry69qPTFvZuGeq4EI3Mbs1pdOoGyxoVBYBqNJy4RIU9-EFeZTRh2f-lZUIfTQKFGJ4f1VOrDy95Nhtefomq4W4AvwiAnaoO/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Agora que temos a função que correlaciona o tempo total do Lucas, ao longo do alcatrão e da água, em função da distância <b><i>x</i></b>, <b>queremos achar o valor <i>x</i> que minimiza o valor <i>T</i></b>. Ou seja, estamos perante um exercício de <b>otimização</b>. Como em qualquer exercício de otimização, precisamos de cálculo diferencial, quer isto dizer que precisamos de achar a derivada de primeira ordem de <b><i>T</i></b> em função de <i style="font-weight: bold;">x</i>, e igualar tal derivada a zero para achar os extremos da função, neste caso, acharmos o mínimo da função <b><i>T</i></b> em função de <i><b>x</b>. </i>Mais concretamente, precisamos de resolver a seguinte equação:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNYv_7qbZrmehJ288tk9SDb75hyphenhyphenZm8M5O3RZQUlZH93mfKaD6jLMGCL3hZc1eh91my-qNiz11JUVzuuWH5bisrUAxFTXgEAfNxusig-qXJ_S9N1oBdOwoKF0F6cGV-hOA1LF2xAH4LY2Sl/s1600/CodeCogsEqn+%25286%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="38" data-original-width="57" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNYv_7qbZrmehJ288tk9SDb75hyphenhyphenZm8M5O3RZQUlZH93mfKaD6jLMGCL3hZc1eh91my-qNiz11JUVzuuWH5bisrUAxFTXgEAfNxusig-qXJ_S9N1oBdOwoKF0F6cGV-hOA1LF2xAH4LY2Sl/s1600/CodeCogsEqn+%25286%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<i><br /></i></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
Considerando que lidamos com raízes, recordemos a regra das derivadas das raízes:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjob-cLcC8P6WBCQZF1JMlvTOhbnUBG0CHx9eod886cntPX49mHqgHQ0r3uxP6I3PlcPyQh0c4BuKBHmPPtUe1U9rQW5lMmOgD683hH_o77u6YAwvn1qA-n-_o4er2eOIUaGoCT5LzTK3qW/s1600/CodeCogsEqn+%25288%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="43" data-original-width="106" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjob-cLcC8P6WBCQZF1JMlvTOhbnUBG0CHx9eod886cntPX49mHqgHQ0r3uxP6I3PlcPyQh0c4BuKBHmPPtUe1U9rQW5lMmOgD683hH_o77u6YAwvn1qA-n-_o4er2eOIUaGoCT5LzTK3qW/s1600/CodeCogsEqn+%25288%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Logo, concluímos então, que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxBV7WFGuhnTnvym0dR2OZa1yAVi8VgRmphEb2a20EefV9MaMxGrFn3wHy9aDVSXtJcdclehL_4Uk83vZZehDpF34f7EAcTsqLp1LUJDcv73T5vYVCBT9pOVWk3JHoSwkzfW0x8wvKAY5p/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="189" data-original-width="390" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhxBV7WFGuhnTnvym0dR2OZa1yAVi8VgRmphEb2a20EefV9MaMxGrFn3wHy9aDVSXtJcdclehL_4Uk83vZZehDpF34f7EAcTsqLp1LUJDcv73T5vYVCBT9pOVWk3JHoSwkzfW0x8wvKAY5p/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ou seja, queremos resolver a seguinte equação:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv3NuHle79y8e9hyphenhyphen2gb_g8JoevMIzf3TRggQnr90kkGNJgY9HRt8CkK_VLHM8XOzuqdp04T5O8W31W25PjszQ_mnQ07SxIO_6osJwwtknTbRzuPLRNjr-UXM5TA00pxOhzJAnMEiwp33cu/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="171" data-original-width="414" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgv3NuHle79y8e9hyphenhyphen2gb_g8JoevMIzf3TRggQnr90kkGNJgY9HRt8CkK_VLHM8XOzuqdp04T5O8W31W25PjszQ_mnQ07SxIO_6osJwwtknTbRzuPLRNjr-UXM5TA00pxOhzJAnMEiwp33cu/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Resolver esta equação em função de <b><i>x</i></b> e de forma analítica, é deveras complexo, e após tentar resolver, chegamos a um polinómio de <b><i>x</i></b> de grau quatro, que não tem solução simples e evidente.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Todavia, considerando as regras de trigonometria, sabemos que o <a href="https://pt.wikipedia.org/wiki/Seno">seno</a> de um determinado ângulo num triângulo retângulo, é o cateto oposto a dividir sobre a hipotenusa. Logo, olhando para a imagem lá em cima, conseguimos deduzir as seguintes relações trigonométricas:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghKwRY6-AMeL1C6il3RumKqAUpwwY7wvy8NHL-deOSD3yWaX0ws7zuZaTE4MyqxWbnafVxPKAfWo1wk9Tr5QawQ-2iLBLw3kg6l1zZL_99jmp1tUvT7Oft6AX3ZDQFOGWMdwlotPoxs-kw/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="112" data-original-width="214" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghKwRY6-AMeL1C6il3RumKqAUpwwY7wvy8NHL-deOSD3yWaX0ws7zuZaTE4MyqxWbnafVxPKAfWo1wk9Tr5QawQ-2iLBLw3kg6l1zZL_99jmp1tUvT7Oft6AX3ZDQFOGWMdwlotPoxs-kw/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Logo, juntando estas duas últimas funções, concluímos que</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8g8NpPYwDnNXBlLp2CzROm9NziBk9BMEjfL8Tk70L1SM2w8s1J3hHz8FWKSP6QiC6sS_xPwJckY-I0K_nFDZjYrOlFq4TqQ-sTF4VtuVChHh7toS6iRl3qG7vGMtY_aRDrBznvaujfEGD/s1600/CodeCogsEqn+%25286%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="51" data-original-width="123" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8g8NpPYwDnNXBlLp2CzROm9NziBk9BMEjfL8Tk70L1SM2w8s1J3hHz8FWKSP6QiC6sS_xPwJckY-I0K_nFDZjYrOlFq4TqQ-sTF4VtuVChHh7toS6iRl3qG7vGMtY_aRDrBznvaujfEGD/s1600/CodeCogsEqn+%25286%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Sabendo de antemão a regra que correlaciona os índices de refração com a velocidade, apresenta logo no início do artigo, podemos concluir que:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9g8g76DyTiPn1M3kFC2SOB7WNyh8_gGJ5QWlA1ccgt0tMEb-vgjQqm_KfqRP5irE5TwJpI1ttfAyPtmLlhjQskO2SaP4IV_LdX8sGGuKdMvANDkBLglaefIGeDODzFXN5yPnRCJinWrjd/s1600/CodeCogsEqn+%25284%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="37" data-original-width="126" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9g8g76DyTiPn1M3kFC2SOB7WNyh8_gGJ5QWlA1ccgt0tMEb-vgjQqm_KfqRP5irE5TwJpI1ttfAyPtmLlhjQskO2SaP4IV_LdX8sGGuKdMvANDkBLglaefIGeDODzFXN5yPnRCJinWrjd/s1600/CodeCogsEqn+%25284%2529.gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Logo, da equação anterior dos senos, conclui-se:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfoUX0b7Q8KOkVqvE24OhJ9wYpyEyWErOTyMICANJ2gGwzk8pTnte_4Z2NPuKZQr8Bqk1WoQ4uMKC7ibp09WIVFWoeNleVBEE_VCyxHUS8Oy_CKRlxkGJCa54V3ZeMbkeLV9QuAbu16BZ_/s1600/CodeCogsEqn+%25285%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" data-original-height="98" data-original-width="180" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfoUX0b7Q8KOkVqvE24OhJ9wYpyEyWErOTyMICANJ2gGwzk8pTnte_4Z2NPuKZQr8Bqk1WoQ4uMKC7ibp09WIVFWoeNleVBEE_VCyxHUS8Oy_CKRlxkGJCa54V3ZeMbkeLV9QuAbu16BZ_/s1600/CodeCogsEqn+%25285%2529.gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Resultando assim na famosa lei de Snell-Descartes, lei de Snell ou lei de Descartes.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b><span style="font-size: large;">Conclusão</span></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Concluímos que <b>se o Lucas garantir que o seno do ângulo de incidência dividido pela velocidade no alcatrão for igual ao seno do ângulo de saída dividido pela velocidade na água, o tempo que o Lucas fará será sempre o mínimo possível, independentemente das posições dos becos e das dimensões da estrada ou da lagoa</b>. A luz, tal como o Lucas que foge à polícia, obedece ao mesmo princípio, ou seja, a luz "desvia-se" para que o tempo que o feixe de luz percorre entre dois pontos possíveis, seja sempre o menor tempo possível, independentemente das distâncias envolvidas ou do ângulo de entrada.</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-14441597340236274062016-09-24T12:30:00.000+01:002016-09-25T12:49:41.248+01:00A Física-Matemática no Consumo vs. Velocidade de um automóvel<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQqin8iS744QoAeik3YnO65scfcs5dM2DOKo4AdsqxPPiZAmQZ4C8AGfvy8WGSHyYlqpiok3kUfyJOJOtI9sXt4GvFcXWiMI23CUcaOoKK5yLWgbKrQGgR8sUrk9-TwI2wXwuv3DOhTCG6/s1600/g4290.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="316" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQqin8iS744QoAeik3YnO65scfcs5dM2DOKo4AdsqxPPiZAmQZ4C8AGfvy8WGSHyYlqpiok3kUfyJOJOtI9sXt4GvFcXWiMI23CUcaOoKK5yLWgbKrQGgR8sUrk9-TwI2wXwuv3DOhTCG6/s400/g4290.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Consumo versus velocidade para vários modelos de automóvel<br />
Fonte: <a href="http://energy-ecology.blogspot.nl/2010/05/optimal-vehicle-speeds-for-best-fuel.html">energy-ecology</a></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Muitos testes automóveis, assim como os indicadores dos veículos, concluem que a velocidade onde o consumo é menor, é no intervalo entre cerca de 50 km/h e 80 km/h. Mas porquê? Faremos as respetivas deduções físico-matemáticas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Leis de Newton</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Num carro em movimento atuam essencialmente duas forças, a Força Motriz (<i>F<sub>m</sub></i>) do motor e a Força de atrito (<i>F<sub>a</sub></i>). Esta força de atrito tem essencialmente duas componentes, que é a força de atrito mecânico-dinâmica, que se encontra nos rolamentos e nas peças circulantes do carro, e que pelas leis da Física depende linearmente da velocidade; e a <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Resist%C3%AAncia_aerodin%C3%A2mica">força de atrito aerodinâmica</a> entre o carro e a atmosfera envolvente, que pelas mesmas leis da Física depende do quadrado da velocidade.</div>
<br />
Essa força de atrito (<i>F<sub>a</sub></i>) poderá ser escrita então como:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7Ua5DaB-reUiYJ_70yJpsMh7Fz8Nxxk3pDsFUjtVapFVaZQlr8b8j7IOWMtPCVbOPtGGcw6y8KDo6SQyTjJatsuszC4ouMfgUsH-FwnJ4e4AX2IhoT4c2Sc7dZzQoNFEoStn7kA0k9hGA/s1600/CodeCogsEqn+%25287%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7Ua5DaB-reUiYJ_70yJpsMh7Fz8Nxxk3pDsFUjtVapFVaZQlr8b8j7IOWMtPCVbOPtGGcw6y8KDo6SQyTjJatsuszC4ouMfgUsH-FwnJ4e4AX2IhoT4c2Sc7dZzQoNFEoStn7kA0k9hGA/s1600/CodeCogsEqn+%25287%2529.gif" /></a></div>
<br />
A força (<i>F</i>) resultante no automóvel será então a força motriz menos a força de atrito:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9CXKNeaIMbOr7QgWxln0pgn6bc8fJniOeBmWiVAQWSdg7Vsve6FlCobXgrApUaYz-cfzMQ_2dItoV40IxAbHwm2TB_bgk5WTcqTJYEXocjzjMgvNVszMH0RnBVBYTuqboMgyXr9P2S5KM/s1600/CodeCogsEqn+%25288%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi9CXKNeaIMbOr7QgWxln0pgn6bc8fJniOeBmWiVAQWSdg7Vsve6FlCobXgrApUaYz-cfzMQ_2dItoV40IxAbHwm2TB_bgk5WTcqTJYEXocjzjMgvNVszMH0RnBVBYTuqboMgyXr9P2S5KM/s1600/CodeCogsEqn+%25288%2529.gif" /></a></div>
<br />
Sabe-se pelas leis de Newton que:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnqBktsP9cvEF2AMOE7jGxSwuMKVOcPx-Xl4fLqrjePhBX-8p9cTpxtq3jqzSX9qdHg9UbdMFFE6m8fA6nXs6ft5sfmnE1htiUud_gbu3CuVAq0nP1lI8FcUKU7_CAoMsiWIEIU5m6d-ru/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnqBktsP9cvEF2AMOE7jGxSwuMKVOcPx-Xl4fLqrjePhBX-8p9cTpxtq3jqzSX9qdHg9UbdMFFE6m8fA6nXs6ft5sfmnE1htiUud_gbu3CuVAq0nP1lI8FcUKU7_CAoMsiWIEIU5m6d-ru/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
logo, ficamos com a seguinte equação diferencial:</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHtdwlA7B0XYYHIpDhACM9MExkg7I2XN-k0u52UxrhK8-XyumRpu0qSVj00SI3WvpMbzNvsjwET1ljGq17VungIQ986fucIbteCI19hSfmRq54FtOPNpkOQAkj_NvEHUGXSxE8iyYXyu1v/s1600/CodeCogsEqn+%252819%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiHtdwlA7B0XYYHIpDhACM9MExkg7I2XN-k0u52UxrhK8-XyumRpu0qSVj00SI3WvpMbzNvsjwET1ljGq17VungIQ986fucIbteCI19hSfmRq54FtOPNpkOQAkj_NvEHUGXSxE8iyYXyu1v/s1600/CodeCogsEqn+%252819%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<b>Consumo de combustível</b></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O consumo de combustível do motor por unidade de tempo (<i>r</i>) num motor de combustão, para um funcionamento num ponto específico, é proporcional à Potência Motriz (<i>P<sub>m</sub></i>) do motor, mais uma constante (<i>k)</i> que serve para manter apenas o motor a trabalhar, como por exemplo, quando este está no ralenti, ou seja:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt5q_iHlY5cTUEeRyZpDxFR_6DXWpyhB7SOfd_eo0sBk1N0XCTDZiM2KYJABrx7kY0C4rMld-G4FIHuYe_xdM6Pqeu2SnBwX5Nm-nOsMm1DM1Fs4BL5ULg2a64FCyqHi2kByC2BJeERabO/s1600/CodeCogsEqn+%252816%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt5q_iHlY5cTUEeRyZpDxFR_6DXWpyhB7SOfd_eo0sBk1N0XCTDZiM2KYJABrx7kY0C4rMld-G4FIHuYe_xdM6Pqeu2SnBwX5Nm-nOsMm1DM1Fs4BL5ULg2a64FCyqHi2kByC2BJeERabO/s1600/CodeCogsEqn+%252816%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
onde <i>r</i> é o consumo em litros por segundo (l/s). Sabemos todavia que a Potência é a variação de Energia sobre o tempo, e que a Energia ou o Trabalho, é a força vezes o deslocamento, então:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQkmHu3kgh1BLoOJgxijzFqxlol-0A_c-sJ99ECtfx81b2TQJU8ggWegoLvpt3n6Ovb0f5vDSC1EC3WwH3DrLCh_4CgpJxgNCNsyJPVHhI9sGh1z50NSHDXZX6lWcTagcx-UX63jSGwIwE/s1600/CodeCogsEqn+%252811%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQkmHu3kgh1BLoOJgxijzFqxlol-0A_c-sJ99ECtfx81b2TQJU8ggWegoLvpt3n6Ovb0f5vDSC1EC3WwH3DrLCh_4CgpJxgNCNsyJPVHhI9sGh1z50NSHDXZX6lWcTagcx-UX63jSGwIwE/s1600/CodeCogsEqn+%252811%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
logo<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_Kj_9nXfnTggXVdu4MH-8SvfAo9nGbfvo2purvhQAIR2DHVwNcCaUu6ahGVqB-bW5ry-2MKEVniar2J_1w_E4xpqRw8xwErc_ucAiTAFqRVHT9cxicxFVrfSQMMTHznWne_4UuSzrKNEE/s1600/CodeCogsEqn+%252826%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj_Kj_9nXfnTggXVdu4MH-8SvfAo9nGbfvo2purvhQAIR2DHVwNcCaUu6ahGVqB-bW5ry-2MKEVniar2J_1w_E4xpqRw8xwErc_ucAiTAFqRVHT9cxicxFVrfSQMMTHznWne_4UuSzrKNEE/s1600/CodeCogsEqn+%252826%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
reparemos que <i>r</i> é medido em litros por segundo que <i>v</i> é medido em metros por segundo, logo<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVjcVc5XyMIzMHM1nY5G0cEazGSTzfI2mA5kVzIg74DrIFBUvRR6Qqa9hUsQzzBn13or-ZGRi1Qw9dKJUZqsTyloTmgoEzwfqcYLQNLdvbpVGlbzXRQZxaNyWyf2tQwYDWICnq3etS4rlr/s1600/CodeCogsEqn+%252813%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjVjcVc5XyMIzMHM1nY5G0cEazGSTzfI2mA5kVzIg74DrIFBUvRR6Qqa9hUsQzzBn13or-ZGRi1Qw9dKJUZqsTyloTmgoEzwfqcYLQNLdvbpVGlbzXRQZxaNyWyf2tQwYDWICnq3etS4rlr/s1600/CodeCogsEqn+%252813%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
concluindo-se que o consumo do veículo (<i>c</i>), em unidade de volume de combustível (litros), por unidade de espaço (metros), é dada pela seguinte expressão<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2WG4X-13AQlyYXW18CfRbC9aIbiNPE5MN_vAzEQ6TihIdzptz6V6yScAMKjIsAUrNyUcOQqir6LDWApr0i1GYMb2vp1ek1stOCCcc8hTXFawmZt4aq-eRrbTZQkHFFPvVE4z8w-89pZXN/s1600/CodeCogsEqn+%252827%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2WG4X-13AQlyYXW18CfRbC9aIbiNPE5MN_vAzEQ6TihIdzptz6V6yScAMKjIsAUrNyUcOQqir6LDWApr0i1GYMb2vp1ek1stOCCcc8hTXFawmZt4aq-eRrbTZQkHFFPvVE4z8w-89pZXN/s1600/CodeCogsEqn+%252827%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Podemos agora colocar a equação acima em ordem à Força Motriz, ficando:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRWHM1XkqEgAAHfOeLB_SOyAoY4yKy43DzdItB7R1uSx0mvP3ZP-1eVQ3-GV3DzjX8YIwMocr4Gao3kBcQiHgZErBsz7ZwXxnvu-IQb4WwvCuiAsA6mRRwZ37ovi_tjYPd_F6D84Q8zp7y/s1600/CodeCogsEqn+%252820%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRWHM1XkqEgAAHfOeLB_SOyAoY4yKy43DzdItB7R1uSx0mvP3ZP-1eVQ3-GV3DzjX8YIwMocr4Gao3kBcQiHgZErBsz7ZwXxnvu-IQb4WwvCuiAsA6mRRwZ37ovi_tjYPd_F6D84Q8zp7y/s1600/CodeCogsEqn+%252820%2529.gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
logo, juntando as fórmulas da equação diferencial lá de cima com esta última, temos:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNA82nJ0oeOFtGWul8mOj73Np7NUpVUH_91PIQW7CGQlfDEihw7vHbqsVeW5nwxdVEkUDh6jfa5buVsPYKwk9EE3xn5XaeCUSQs0MOnTqW3TfsrPwMRd8GvCg2pWwUwaNf7IJ5BYiccgQb/s1600/CodeCogsEqn+%252821%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjNA82nJ0oeOFtGWul8mOj73Np7NUpVUH_91PIQW7CGQlfDEihw7vHbqsVeW5nwxdVEkUDh6jfa5buVsPYKwk9EE3xn5XaeCUSQs0MOnTqW3TfsrPwMRd8GvCg2pWwUwaNf7IJ5BYiccgQb/s1600/CodeCogsEqn+%252821%2529.gif" /></a></div>
<br />
para velocidades constantes <i>v'=0</i>, logo<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinWB78qs7OFDYuUB9ooCobD4_slZx1igfHhKtKRVtqsasOMFvysvCp0OqHBq1i8FdH0UlGzdlFEjCb9ZUc6IgsyrhVfe1fnN4f1UEiAXuJk8GG-al5SP9au7rZ-LSbv7D9DcA-DIPY8JvV/s1600/CodeCogsEqn+%252822%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEinWB78qs7OFDYuUB9ooCobD4_slZx1igfHhKtKRVtqsasOMFvysvCp0OqHBq1i8FdH0UlGzdlFEjCb9ZUc6IgsyrhVfe1fnN4f1UEiAXuJk8GG-al5SP9au7rZ-LSbv7D9DcA-DIPY8JvV/s1600/CodeCogsEqn+%252822%2529.gif" /></a></div>
<br />
<br />
<b>Teste matemático</b><br />
<br />
Faremos o teste matemáticos mais simples, assumindo<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdU6y3gM7OOZTXzLNixiDFH1XNRrw4YUgTA7PywdZll-hOxcPk6jmxPTz9opdLvsV-l-Vhywf8M3J6EbqOiKHtdnHFWWByYaT2iHcrSd394sUt_lPemGk9RvdFweZ6trlqQKbipPx1f1kh/s1600/CodeCogsEqn+%252823%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjdU6y3gM7OOZTXzLNixiDFH1XNRrw4YUgTA7PywdZll-hOxcPk6jmxPTz9opdLvsV-l-Vhywf8M3J6EbqOiKHtdnHFWWByYaT2iHcrSd394sUt_lPemGk9RvdFweZ6trlqQKbipPx1f1kh/s1600/CodeCogsEqn+%252823%2529.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
ou seja, desconsiderando por completo fatores de escala. O gráfico é o seguinte, o que se assemelha com os testes práticos do primeiro gráfico.</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh94Sl757VEF_OJycw42oLDbhWy7PfrR3BXFiKnCOEy4OpIv3uwTsWlryZEEs22-IBeqwFXvEy-EmV_aQ9rnht_wB_5l3Z2eYIRHN4vAu8nF9OqcT5USSh187QFNLDy7pa3wNpraMnh0RfQ/s1600/Capturar.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="209" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh94Sl757VEF_OJycw42oLDbhWy7PfrR3BXFiKnCOEy4OpIv3uwTsWlryZEEs22-IBeqwFXvEy-EmV_aQ9rnht_wB_5l3Z2eYIRHN4vAu8nF9OqcT5USSh187QFNLDy7pa3wNpraMnh0RfQ/s320/Capturar.JPG" width="320" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-60992232855619665292016-03-15T18:53:00.004+00:002016-03-16T21:25:00.270+00:00Compensa ir de Portugal até Espanha para atestar o depósito?<div style="text-align: justify;">
Com o aumento dos combustíveis em Portugal devido ao aumento da fiscalidade sobre os produtos petrolíferos, coloca-se a questão pertinente de saber até que ponto compensará ir até Espanha para atestar o depósito do veículo. A fórmula geral para a poupança é a seguinte:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2SPSzVJ6CapkoDkYQj1LrvS5Yyn_P1hqCBuU7D8a6n4MApSqCoaasHhA-x5035rk9YRPshPd2KzVo3oXRC0RosfdRi6coT9aUeQ07wCR-crnJFAxVW1Niipod2SWmeQAnva0CxHEpuEMq/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi2SPSzVJ6CapkoDkYQj1LrvS5Yyn_P1hqCBuU7D8a6n4MApSqCoaasHhA-x5035rk9YRPshPd2KzVo3oXRC0RosfdRi6coT9aUeQ07wCR-crnJFAxVW1Niipod2SWmeQAnva0CxHEpuEMq/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
É intuitivo apercebermo-nos que quanto mais longe o condutor do veículo estará da fronteira, menos compensará a referida viagem. Assim, a primeira parte da parcela <i><b>T<sub>q</sub><span style="font-family: "arial" , "helvetica" , sans-serif;">x(</span>P<sub>cp</sub>-P<sub>cE</sub>)</b></i> faz referência ao ganho pelo facto de haver um diferencial entre os preços dos dois lados da fronteira e a segunda parcela com sinal negativo faz referência ao custo da operação de ir até à fronteira atestar o depósito e posteriormente regressar até ao local de partida.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ou seja, é necessário fazer a viagem de ida-e-volta, e multiplicá-la pelo consumo do veículo, dividindo posteriormente por 100 para sabermos quantos litros de combustível são necessários para fazer a referida viagem de ida-e-volta até ao posto de abastecimento espanhol. Posteriormente será necessário multiplicar o referido valor pelo preço do combustível em Espanha, pois parte-se do pressuposto que o condutor já partiria de Portugal com o veículo fazendo uso de combustível espanhol. Parte-se ainda do princípio que o veículo chega com o tanque vazio ao posto espanhol e que os custos por km percorrido se resumem ao combustível.<br />
<br />
Apresenta-se de seguida o gráfico que relaciona a poupança com a distância até à fronteira para algumas condições comuns do grande público e dos preços correntes dos combustíveis à data de março de 2016.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlsC9jJks2W5wMKzyWtgSzn6LyimBR4k5gowI_C2cgEFp6FOzgxwXFRhigBevfBlFgRh78sCgXteinynnX6QBN2gv2TOSIUdwupTsj8n9_YKFxVznHAdtZA6ko8-Cp9O4nugwQvHATg8MJ/s1600/Capturar.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlsC9jJks2W5wMKzyWtgSzn6LyimBR4k5gowI_C2cgEFp6FOzgxwXFRhigBevfBlFgRh78sCgXteinynnX6QBN2gv2TOSIUdwupTsj8n9_YKFxVznHAdtZA6ko8-Cp9O4nugwQvHATg8MJ/s1600/Capturar.JPG" width="450" /></a></div>
<br /></div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-86867511429247063922016-03-03T23:27:00.001+00:002016-03-05T11:00:43.845+00:00Entender os escalões do IRS e do IRPF<div style="text-align: justify;">
Todos temos bem presente, infelizmente, que em Portugal e no Brasil, a Matemática desde Pedro Nunes, nunca mais recebeu o esplendor de outros áureos tempos. Tal patente iliteracia numérica de uma larga maioria da população, aliada à disseminação da democracia popular e por vezes circense, tem como consequência a pobreza, a corrupção, os baixos salários e uma economia pouco pujante. Mas se é um facto que o povo é por norma matematicamente iletrado, mais grave ainda, é atestar, que alguma classe política supostamente douta e academicamente letrada, envereda por sofismas matemáticos e ideológicos, apenas para obter dividendos políticos.</div>
<br />
Um dos grandes sofismas do debate político, é de natureza fiscal, e dá pelo nome de <i>escalões do IRS, </i>ou <i>escalões do IRPF</i> (Imposto de Renda de Pessoa Física, no Brasil). Analise-mo-lo!<br />
<br />
<b>Três teoremas</b><br />
<br />
Começarei por estabelecer três pequenos teoremas, os quais demonstrarei posteriormente.<br />
<ol>
<li>O IRS é sempre progressivo independentemente do número de escalões.</li>
<li>O IRS é sempre progressivo em percentagem para um número de escalões superior a dois.</li>
<li>Um maior número de escalões não implica maior progressividade fiscal.</li>
</ol>
<b>Teorema número 1</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Podemos afirmar, que caso houvesse apenas um escalão de IRS, ou seja, uma percentagem fixa que cada um pagava de imposto dos seus rendimentos, que mesmo nesse caso, poderíamos dizer que o imposto era progressivo à luz da norma constitucional, mais precisamente o n.º 1 do artigo 104.º da Constituição da República Portuguesa que refere que "o imposto sobre o rendimento pessoal visa a diminuição das desigualdades e será único e <i>progressivo</i>, tendo em conta as necessidades e os rendimentos do agregado familiar". Caso o IRS fosse então, por exemplo 10% para todos os contribuintes, ou seja uma taxa fixa para qualquer rendimento, já era, de facto, progressivo, pois alguém que ganhasse 1000€ por mês pagaria 100€ e alguém que ganhasse 10000€ pagaria 1000€. Neste caso mais simples, estamos perante uma operação linear, ou seja, uma reta diagonal que passa pela origem, num gráfico onde o eixo horizontal poderia ser o rendimento coletável, e o eixo vertical o valor que era de facto pago pelo contribuinte.<br />
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimcBSsnH39oWfFq_VpUHJs1DzaN3C4TtHWl9bWQreHDFxn3sCkdGpYmPXe-AbKJ59RGewpXU-JqQqYWcSG6idgVGPhEywMKol1n_sN0XmXFc3k1s2o8mXN1FspkNRth3NHHSZddF71G2C5/s1600/graf3.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="302" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEimcBSsnH39oWfFq_VpUHJs1DzaN3C4TtHWl9bWQreHDFxn3sCkdGpYmPXe-AbKJ59RGewpXU-JqQqYWcSG6idgVGPhEywMKol1n_sN0XmXFc3k1s2o8mXN1FspkNRth3NHHSZddF71G2C5/s1600/graf3.JPG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Valor de imposto realmente pago para taxa fixa de 10%.<br />O pagamento real já é progressivo em função dos rendimentos.</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Demonstrámos assim que para um número de escalões igual a 1, ou seja, uma taxa fixa, o IRS já seria progressivo. Este princípio fiscal remonta à época bíblica, com a instituição do denominado dízimo, onde cada membro deveria pagar 10% dos seus rendimentos, tendo-se assim já em conta a capacidade contributiva do contribuinte. Alguns países, como <a href="http://www.tradingeconomics.com/russia/personal-income-tax-rate">a Rússia</a>, aplicam este modelo fiscal, ou seja, aplicam apenas uma taxa fixa para todos os rendimentos, sendo como explanámos, a taxação já enquanto tal, progressiva.</div>
<br />
<b>Teorema número 2</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Consideremos mesmo assim a progressividade, não do ponto de vista nominal, ou seja, aquilo que cada contribuinte realmente paga, mas do ponto de vista percentual, ou seja, a percentagem real do seu rendimento, que o contribuinte realmente paga de imposto. E demonstra-se que com dois escalões, o IRS, mesmo percentualmente, já é progressivo. Caso demonstremos que para dois escalões o IRS é progressivo, deduz-se facilmente por inferência, que o IRS também é progressivo, para qualquer número de escalões maior que dois.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Imaginemos então que existem dois escalões de IRS, um de 10% até 1000€ por mês (uso o período mensal por questões de simplicidade), e outro de 20% a partir de 1000€ por mês. Alguém por exemplo que ganhasse 1500€ pagaria 10% pelos primeiros 1000€ e 20% pelos 500€ adicionais, ou seja, pagaria 200€:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigsLIur8UV4aDg0MUmglCa39gxbMTIyUyNT4cmvDydrTSCl_1mX-SRMTZ9D-9Gey4hHDS_w6VUtM0RiBHOeID0_54X0g0sZ554n03DNZagzP2I-CSvyhQla2HD_uaX9ocyEBDhBXcXGJy-/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEigsLIur8UV4aDg0MUmglCa39gxbMTIyUyNT4cmvDydrTSCl_1mX-SRMTZ9D-9Gey4hHDS_w6VUtM0RiBHOeID0_54X0g0sZ554n03DNZagzP2I-CSvyhQla2HD_uaX9ocyEBDhBXcXGJy-/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Na realidade, este contribuinte teve uma taxa real de 200€/1500€, ou seja de 13,3%. Podemos ainda estabelecer a equação geral, referindo que o valor pago de IRS a aplicar nesta combinação de escalões é:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpkpWpZkrIP3yjGHpc3HaFAgXbfXDek-OUhhAaMxUDYiSITv1CtRtVPi2QVUvxUCj7YN5qc-mmlrhKbd_oqpHrti9IycbwL4bOTVqhbEinniEXDOHZ03ORyQpFCWz1GWg7F_Bgi6HW3GB5/s1600/CodeCogsEqn%25281%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgpkpWpZkrIP3yjGHpc3HaFAgXbfXDek-OUhhAaMxUDYiSITv1CtRtVPi2QVUvxUCj7YN5qc-mmlrhKbd_oqpHrti9IycbwL4bOTVqhbEinniEXDOHZ03ORyQpFCWz1GWg7F_Bgi6HW3GB5/s1600/CodeCogsEqn%25281%2529.gif" /></a></div>
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Onde <i>r</i> é o rendimento coletável do contribuinte e <i>v(r)</i> é o valor em dinheiro que o contribuinte paga de imposto. Até 1000€ o contribuinte paga sempre apenas 10% do seu rendimento. A partir de 1000€, o contribuinte paga sempre pelo menos 100€ fixos, que é os 10% de 1000€, acrescidos de 20% do valor restante, ou seja, 20% do valor que acresce aos 1000€. Neste caso temos o seguinte gráfico:</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsVMl0BvuixG3-25TK2g9L9P14DBrFNbI6_bUDJjWVN1pAkIPEZyajlvWXuSa4Fcb4_DlGkhv6-lNUFbY4rtFF4NSSfN_uP2l7S2pMy_emJS1CM-pWE8_TNQsX1r7qd4D09bpc_wBl0F2W/s1600/graf.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="286" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhsVMl0BvuixG3-25TK2g9L9P14DBrFNbI6_bUDJjWVN1pAkIPEZyajlvWXuSa4Fcb4_DlGkhv6-lNUFbY4rtFF4NSSfN_uP2l7S2pMy_emJS1CM-pWE8_TNQsX1r7qd4D09bpc_wBl0F2W/s1600/graf.JPG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;"><span style="font-size: 12.8px;">Valor realmente pago. </span>Dois escalões.<br />O primeiro escalão até 1000€ de 10%,<br />O segundo escalão a partir de 1000€ de 20%</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Se quisermos todavia fazer o cálculo da percentagem real que o contribuinte paga, teremos de dividir o valor total de imposto pago, pelo valor do rendimento coletável, ou seja, a fórmula anterior fica a seguinte:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqgMmrUkWTrA13h9kubinTw7ixJxfe8mCnF_zRvQ5o-29m5HY8lFkCc2N56aPuv1tWNpgCZCaoKIy4fCTXtnvpC6PIJ2fS4V9Bdp1enJRaMPI0lBFA0wXgmvOdj9lprUSoIQEAMM94-j65/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="52" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjqgMmrUkWTrA13h9kubinTw7ixJxfe8mCnF_zRvQ5o-29m5HY8lFkCc2N56aPuv1tWNpgCZCaoKIy4fCTXtnvpC6PIJ2fS4V9Bdp1enJRaMPI0lBFA0wXgmvOdj9lprUSoIQEAMM94-j65/s1600/CodeCogsEqn.gif" width="400" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
onde <i>p(r)</i> é o valor real em percentagem de IRS realmente pago. No exemplo em apreço, ficamos com o seguinte gráfico:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhisVJ4EE62YQswPwT-rWh3Q7hnQFHdf8TgZHEViC05pvOnwoyhwQs8uWqHe0TKvb7o-a33LiXvsmnIrBaCzD5oWbDlBPtlgxqZIG4Dwdsf9pE6AXqkQio6Em_mNN3q-Ayl5ghoGaJgKrDy/s1600/graf1.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="300" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhisVJ4EE62YQswPwT-rWh3Q7hnQFHdf8TgZHEViC05pvOnwoyhwQs8uWqHe0TKvb7o-a33LiXvsmnIrBaCzD5oWbDlBPtlgxqZIG4Dwdsf9pE6AXqkQio6Em_mNN3q-Ayl5ghoGaJgKrDy/s400/graf1.JPG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Valor percentual realmente pago. 10% até 1000€. O segundo escalão é de 20%,<br />mas aplica-se os 20% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 1000€.</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Façamos outro caso extremo com dois escalões, ou seja, apesar do uso de dois escalões, um sistema altamente progressivo. O primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, e um segundo escalão 30% a partir desse valor.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidRswF5E1Eq2ngaf3-4ZWHKIhm0YXZOuyEDZRW5Xk01kl1Hj8KK9hMuxDvO6Php3dz-KMnrdYp8wJumX6MbO7di_rzn6_68GAaoNWv5iIBdDWl723kgknMg-OVg0_KvMxARH9Vr87y5AyP/s1600/graf4.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidRswF5E1Eq2ngaf3-4ZWHKIhm0YXZOuyEDZRW5Xk01kl1Hj8KK9hMuxDvO6Php3dz-KMnrdYp8wJumX6MbO7di_rzn6_68GAaoNWv5iIBdDWl723kgknMg-OVg0_KvMxARH9Vr87y5AyP/s1600/graf4.JPG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Valor percentual realmente pago. 5% até 500€. O segundo escalão é de 30%,<br />mas aplica-se os 30% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 500€.</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Neste caso, apesar de termos apenas dois escalões, verifica-se que o valor pago de imposto, mesmo analisando-o apenas do ponto de vista percentual, é realmente bastante progressivo.</div>
<br />
<b>Teorema número 3</b><br />
<div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A forma mais fácil para demonstrar o Teorema 3, visto que é um teorema que está postulado na negativa, é demonstrar um caso onde um maior número de escalões comporte menor progressividade fiscal. Regressemos ao gráfico anterior, onde se apresentou um caso com dois escalões, o primeiro até 500€ e de 5% e o segundo de 30% para valores superiores a 500€. O resultado do valor percentual realmente pago, apresentou-se nesse gráfico. Se porventura apresentarmos um gráfico com um número de escalões superior onde se verifique menor progressividade fiscal, o teorema ficaria automaticamente demonstrado, visto que o mesmo está postulado na negativa.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Imaginemos então um exemplo com três escalões, o primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, um segundo escalão de 7% entre 500€ e 1500€, e um terceiro escalão de 10% a partir de 1500€. Neste caso, com um maior número de escalões, ou seja, três em vez de dois, a progressividade do imposto seria bem menor, como pode ser observado no seguinte gráfico:</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnrnqYmv1AfJCxvsguVNJWNP5I8NzcQkEbdaFz7clHgkh6AVcpkaTM2mCHpgzTi6ntt3U2LfrsN5I2K286as6BZxCpqZ-CURyV9z1LzXe_osm9ff6LCr1QxxM-FxK12gwcozQ0sWygTkiU/s1600/graf5.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="297" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgnrnqYmv1AfJCxvsguVNJWNP5I8NzcQkEbdaFz7clHgkh6AVcpkaTM2mCHpgzTi6ntt3U2LfrsN5I2K286as6BZxCpqZ-CURyV9z1LzXe_osm9ff6LCr1QxxM-FxK12gwcozQ0sWygTkiU/s1600/graf5.JPG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Sistema com três escalões. 1.º de 5% até 500€.<br />2.º de 7% entre 500€ e 1500€ e 3.º de 10% a partir de 1500€.<br />A progressividade é mais baixa que no caso anterior com dois escalões.</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<b>Conclusão</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Engane-se o eleitor que considere que os políticos são socialmente mais justos por aumentarem o número de escalões do IRS ou do imposto de Renda. Mais importante que o número de escalões, para a progressividade fiscal, é a sua estrutura e configuração. Em acréscimo, parece-me que essa dialética sofista tem sido usada, para aumentando o número de escalões e por conseguinte ludibriar o eleitorado sobre a justeza deste tipo de ações, de facto, aumentar-se na globalidade este imposto, mexendo nas taxas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Reparemos na real taxa de IRS paga em Portugal nos anos de 2012 e 2013, num <a href="https://commons.wikimedia.org/wiki/File:Taxa_Real_de_IRS_2012-2013.svg">gráfico</a> que produzi e partilhei na Wikimédia. Independentemente do número de escalões, que diminuíram em 2013 em relação a 2012, como pode ser visto pelo inferior número de troços, o mais importante é o valor percentual dos mesmos. 2013 foi o ano em que o ministro das finanças de então Vitor Gaspar, em clima de austeridade, referiu que haveria um "enorme aumento de impostos". </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9XjwVFcK38w4IHQ3gz-reuZwGCjN2dOR48tJwL_I6IS4XLeDN3GUJcPMkiCGJ6D84k4k5UNy_cW3pYH_Y0U-E8x_QB-yMgKDzTnyZb78l8iz53CdvqxLdUEza-ul9BSJIpc1K_yu6pFDS/s1600/Taxa_Real_de_IRS_2012-2013.svg.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="273" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh9XjwVFcK38w4IHQ3gz-reuZwGCjN2dOR48tJwL_I6IS4XLeDN3GUJcPMkiCGJ6D84k4k5UNy_cW3pYH_Y0U-E8x_QB-yMgKDzTnyZb78l8iz53CdvqxLdUEza-ul9BSJIpc1K_yu6pFDS/s1600/Taxa_Real_de_IRS_2012-2013.svg.png" width="400" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Faço por conseguinte um apelo à classe política para que não altere o número de escalões do IRS, pois aumenta a entropia e a confusão junto do eleitorado, e caso queira obter mais ou menos receita fiscal, que se limite a alterar o valor das taxas, assim como os seus limites. Qualquer argumentário que se preze por ser socialmente mais justo apenas com o aumento do número de escalões, ou economicamente mais liberal apenas com a sua redução, é um argumentário extremamente redutor e na maioria dos casos, demagógico.</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-50477642410772203532015-10-14T21:41:00.000+01:002017-11-27T20:15:19.035+00:00O paradoxo do acondicionamento de esferas<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Todos sabemos que os paradoxos são objetos estranhos. Normalmente não gostamos muito de paradoxos porque não percebemos bem o que a natureza nos quer dizer com eles. Neste exemplo, a noção de distância é a usual euclidiana; as esferas são centradas num ponto e têm um raio constante; os cubos são de ângulos retos e de unidades normalizadas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b><span style="font-size: large;">Espaço bidimensional</span></b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2-UW1B5bcarlrzSq-Oijzkt1ZvIuTNy59IuAfyTvERWPqcQwGrBk3wNYlzeoN5UauyGZv0auXQ6qHRrDFfOMztdNrziz6b2nrYxZmSkGjoqHEGgp6Imst8GjMPB5T3GKi3LFSMwuGFGJT/s1600/balls.gif" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: start;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh2-UW1B5bcarlrzSq-Oijzkt1ZvIuTNy59IuAfyTvERWPqcQwGrBk3wNYlzeoN5UauyGZv0auXQ6qHRrDFfOMztdNrziz6b2nrYxZmSkGjoqHEGgp6Imst8GjMPB5T3GKi3LFSMwuGFGJT/s1600/balls.gif" /></a>Para simplificar, partimos do exemplo 2D, onde <i>2<sup>2</sup>=4</i> circunferências estão centradas nos pontos <i>{(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)}</i> e cada uma tem raio <i>r=1</i>, compactamente acondicionados e inscritos num quadrado <i>4x4</i> centrado em <i>(0,0)</i>. É sempre possível encaixar o círculo vermelho centrado em <i>O=(0,0) </i>inscrito e portanto tangente às 4 circunferências.</div>
<br />
Aqui o raio do círculo vermelho é menor do que meio lado do quadrado <i>L=4/2=2</i>, e por isso o círculo vermelho está contido no quadrado.<br />
<br />
<a href="http://www.landsburg.com/balls.gif"><br /></a><b>Todavia, qual é o raio do círculo vermelho?</b><br />
<br />
O Teorema de Pitágoras (T.P.) aqui diz-nos que a distância de O ao centro de cada uma das 4 circunferências é <img src="https://blogger.googleusercontent.com/img/proxy/AVvXsEgpPYOtB6BjwEoIC6gXsaS4isNPn4knSO09HYnB3Wdq2jt_jkYSsOVhTWX37O4SpODnIKbmJiRH0FFovfDIKAeCV22Bd7KSD3fGVam5WI3gzFQyzo-czOU39nH3GYCeznXmySJKEZAq60MIPZ6RdD-4Rwj8XoaudD0xcm1NRtFrzTPtFY_Tv_EvrtxiOKTl4w=" style="border: 0; box-shadow: none; height: 14px; margin-bottom: -6px;" />. Como cada circunferência tem raio r=1, então o círculo vermelho tem raio<img src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg3fFBb1bIOd3wWLXmLqMO_dcqRmep-bLrQO_Mde-cbLHf0u_aJfDTIFEyp7i7QrQ4yGFpZTA2JqL6Py2o6M1EaQGMB9jnNx5rjjWucgFzSpDk_ND16qHKhChDqpWf_WvxE_VJMgEfwg2Za/s1600/CodeCogsEqn.gif" style="border: 0; box-shadow: none; height: 14px; margin-bottom: -6px;" /> menor que L=2.<br />
<br />
<div>
<div style="text-align: justify;">
<b style="text-align: start;"><span style="font-size: large;">Espaço tridimensional</span></b><br />
<br />
No caso de dimensão <i>3D</i>, onde as circunferências passam a esferas teremos <i>2<sup>3</sup>=8</i> esferas centradas nos pontos <i>{(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)}</i> e cada uma tem raio <i>r=1</i>, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo <i>4x4x4</i>. É sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em <i>O=(0,0,0)</i> inscrita e portanto tangente às 8 esferas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
</div>
<div class="" style="clear: both;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMvkxhby1yraAK-EmJ8rzbZLEdpyOe9HMy4oB0XqfCpBlDkhSV7rRdzD4EjrKLnyM3Xkd1P_v_w-OKoz8SIB-Hzvsx-_RPEqxZJvz44udPIzNNdJa_oG2KQNZ3Jd0_V0OT_uVt4DsReelx/s1600/high-dim-3d.png" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjMvkxhby1yraAK-EmJ8rzbZLEdpyOe9HMy4oB0XqfCpBlDkhSV7rRdzD4EjrKLnyM3Xkd1P_v_w-OKoz8SIB-Hzvsx-_RPEqxZJvz44udPIzNNdJa_oG2KQNZ3Jd0_V0OT_uVt4DsReelx/s1600/high-dim-3d.png" height="200" width="194" /></a>Aqui o raio da esfera púrpura é menor do que meia aresta do cubo <i>L=4/2=2</i>, e por isso a esfera púrpura está contida no cubo.<br />
<br />
<b>Todavia, qual é o raio da esfera púrpura? </b><br />
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., referindo que a esfera púrpura tem raio <img src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhisKqZ7XVwqLF3AkO775fFGYbuXBOO_uedeBty3oJOzSkKaOfMWWMf0VceQ8zMsNMTBq-u_Oor3Xyu3dy92UJoDrA4RIsKelnufpzyd_toJ9v8GbWAApAIcOeRWUsKq91M-9nED0UWJRp2/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" style="border: 0; box-shadow: none; height: 14px; margin-bottom: -6px;" />, ou seja a esfera púrpura tem um raio menor que <i>L=2</i>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; font-style: italic; text-align: center;">
<br /></div>
<b><span style="font-size: large;">E para <i>esferas</i> no espaço hiperdimensional?</span></b></div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<br />
<div style="text-align: justify;">
<a href="http://i.ytimg.com/vi/VNaxTuzbbN4/hqdefault.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="http://i.ytimg.com/vi/VNaxTuzbbN4/hqdefault.jpg" height="150" width="200" /></a>No caso de dimensão <i>9D</i>, onde as esferas passam a hiper-esferas em <i>9D</i> teremos <i>2<sup>9</sup>=512</i> hiper-esferas centradas nos pontos <i>{(1,1,1,1,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1,1,-1), ... ,(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1),(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)}</i> e cada uma tem raio <i>r=1</i>, compactamente acondicionadas e inscritas num hipercubo <i>4x4x4x4x4x4x4x4x4</i>. É sempre possível encaixar uma hiper-esfera negra centrada em <i>O=(0,0,0,0,0,0,0,0,0)</i> inscrita e portanto tangente às 512 hiper-esferas.</div>
</div>
<div class="" style="clear: both; text-align: left;">
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="http://i.ytimg.com/vi/VNaxTuzbbN4/hqdefault.jpg" imageanchor="1" style="clear: left; float: left; margin-bottom: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<br /></div>
</div>
<div class="" style="clear: both;">
<div style="text-align: justify;">
Aqui ocorre o início do paradoxo. O raio da hiper-esfera negra é igual à meia aresta L do hipercubo, sendo <i>L=4/2=2</i>, e por isso a hiper-esfera negra está contida no cubo mas é tangente também a ele.</div>
<br />
<b>Todavia qual é o raio da hiper-esfera negra?</b><br />
<br /></div>
<div class="" style="clear: both;">
Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., concluindo que a hiper-esfera negra terá um raio igual a:</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0Ph7WGP6ybzgJyOmpp3sS4ljZZs9fW8TWd0iNhlQvxU6ljmEvUWRZk2lOM78LXIcrFlpzFZYQj8YLU8M1BatWcLLT50MeiFX0e4Q_nIWuNPfFQOGnbdKD3rVUos70eMUPDiV-4QHY9eI/s1600/raizde9-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg0Ph7WGP6ybzgJyOmpp3sS4ljZZs9fW8TWd0iNhlQvxU6ljmEvUWRZk2lOM78LXIcrFlpzFZYQj8YLU8M1BatWcLLT50MeiFX0e4Q_nIWuNPfFQOGnbdKD3rVUos70eMUPDiV-4QHY9eI/s1600/raizde9-1.jpg" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both;">
A partir da nona dimensão em diante, ou seja, para <i>n>9</i>, constata-se todavia que</div>
<div class="separator" style="clear: both;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXKes-2ByyUM8YWF0avdfYwnrENrzpTn0kM2labSkz4bwHpYki78HpMzZMla7SThazmTSm20UtWQmnKihYhqKzsBUNqbAHa1EmHGPU84tB0u20w6PhBi1rEueKm1nPHQQ7d68bXgBvgnQ/s1600/raizden-1.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiXKes-2ByyUM8YWF0avdfYwnrENrzpTn0kM2labSkz4bwHpYki78HpMzZMla7SThazmTSm20UtWQmnKihYhqKzsBUNqbAHa1EmHGPU84tB0u20w6PhBi1rEueKm1nPHQQ7d68bXgBvgnQ/s1600/raizden-1.jpg" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
e por isso a hiper-esfera negra ultrapassará os limites das faces do hipercubo que contém as <i>2<sup>n</sup></i> hiper-esferas e que inscrevem a hiper-esfera negra. Esta extravasação das faces do hipercubo em <i>nD</i>, acabará por envolver e imergir o hipercubo, fazendo-o quase desaparecer dentro da hiper-esfera negra. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4AmdQFVZoOLehDNd84TiX7JwoDoh6igUTdrAWf4Q064qxyVXMZWbQLYJ3Ez7xhMKueGxUwjSP9xfdNIMrT_zAX2BaeyZT64P1H6lHWvEjFd6r5eCIeW_66v6TxAtcqgbLL-mDIlZig1S8/s1600/graf.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="266" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg4AmdQFVZoOLehDNd84TiX7JwoDoh6igUTdrAWf4Q064qxyVXMZWbQLYJ3Ez7xhMKueGxUwjSP9xfdNIMrT_zAX2BaeyZT64P1H6lHWvEjFd6r5eCIeW_66v6TxAtcqgbLL-mDIlZig1S8/s400/graf.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">A partir de <i>n=9</i> em diante, o raio da hiper-esfera interior, extravasa a face do hipercubo</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Todavia, interessantemente, como cada um dos <i>2<sup>n</sup></i> vértices do hipercubo está à distância da origem <i>O</i>, de</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6WpGC1rEcF1Dp1Q_kz0pPhAsRtu1rmCR3misQUdZ2fk5NaUDI6zmftvW77bWADqGulfBPty7cQpZehhBRspraArVHIYPlEsRzJHQQGF9_QrgxYqVuAVesu0ufwGcY1K5d8kVAIYNpXuE/s1600/2raizden.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6WpGC1rEcF1Dp1Q_kz0pPhAsRtu1rmCR3misQUdZ2fk5NaUDI6zmftvW77bWADqGulfBPty7cQpZehhBRspraArVHIYPlEsRzJHQQGF9_QrgxYqVuAVesu0ufwGcY1K5d8kVAIYNpXuE/s1600/2raizden.jpg" /></a></div>
<div class="" style="clear: both;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
os vértices do hipercubo estarão sempre mais longe da Origem do que os centros das hiper-esferas estão à origem. Por isso, ao acrescentarmos dimensões, a hiper-esfera negra continuará se expandindo contra os vértices nunca extravasando nenhum, porque cada hiper-esfera emparelha com cada um dos vértices do hipercubo. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A hiper-esfera negra extravasa as faces do hipercubo por entre os <i>interstícios</i> das hiper-esferas.</div>
</div>
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Ouvimos muita gente no dia-a-dia mencionar algo sobre a dívida pública sem realmente perceber muito bem como funciona nem sequer como é calculada. Em acréscimo nas questões fraturantes com referência ao antigo Primeiro-Ministro José Sócrates e às políticas de austeridade dos últimos anos, as opiniões da rua e dos espaços de comentários na Internet, assim como de muitos agentes da classe política, tornam-se mais acesas e mais dicotómicas, todavia por vezes ainda mais ruidosas e confusas. Quase toda a gente na praça pública fala da dívida pública, desde jornalistas, políticos, comentadores, economistas e até eleitores comuns. Se por um lado tal é positivo, pois realça que a população em geral no exercício da sua cidadania considera este indicador importante, por outro lado o interesse do público gera também muita desinformação que convém todavia esclarecer matematicamente. Na Matemática Viva somos totalmente apartidários, queremos deixar isso bem vincado, mas como sempre referimos achamos que é importante vivificar a matemática em Portugal, tornando o eleitor mais esclarecido. Assim sendo, demonstrarei matematicamente que as políticas de austeridade na realidade colocaram um forte travão na dívida pública.</div>
<br />
<b><span style="font-size: large;">Um sistema dinâmico: o automóvel de dois lugares</span></b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
A dívida pública como muitos indicadores económicos representa um sistema dinâmico, ou seja, estamos perante um sistema que obedece a uma <u>inércia</u>, neste caso uma inércia económica-financeira. Foi Newton um dos primeiros estudiosos dos sistemas dinâmicos e a usar cálculos variacionais para os estudar. Num paralelismo no dia-a-dia, o sistema dinâmico mais elementar que podemos fornecer ao comum dos leitores é o de um automóvel de dois lugares, que partiu da origem de uma determinada pista sempre a direito. Se por acaso num determinado instante trocarmos de condutor, e este quiser parar o avanço para voltar para trás, a paragem não é imediata. Ao travar, a velocidade vai abrandando, todavia mesmo com a diminuição da velocidade, o automóvel não deixa de avançar para a frente. Nesse movimento de travagem, em que a velocidade, ou seja, a variação do espaço, diminui a cada instante, a aceleração é constante e negativa, pois o automóvel está a travar. Essa aceleração negativa que é sempre constante representa na realidade a variação da velocidade. Como a velocidade varia de forma regular e linear, a aceleração, que representa a variação da velocidade, é constante. Reparem que uso aqui a aceleração mesmo considerando que o automóvel está a parar, pois quando um carro para, está matemática e fisicamente a acelerar negativamente. Resumindo: a velocidade é a variação do espaço percorrido e a aceleração é a variação da velocidade. Logo, a aceleração é a variação de segunda ordem do espaço percorrido. Mas vamos a um exemplo! No seguinte gráfico podemos ver como estas três variáveis interagem. </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7m6YmDI9L6scGVih-vMPEbH52NJRWJ2MroiVvoeyE4-D5Ag3jpMWk0fOUQH9hFpmyu9pWwgxpCTKD2Sps6eO41JWKHEyDhCNH78iFgM2kNn17JyE01xc9Z8pvmusvRTD3D-yV8UcF1k8J/s1600/positionc.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj7m6YmDI9L6scGVih-vMPEbH52NJRWJ2MroiVvoeyE4-D5Ag3jpMWk0fOUQH9hFpmyu9pWwgxpCTKD2Sps6eO41JWKHEyDhCNH78iFgM2kNn17JyE01xc9Z8pvmusvRTD3D-yV8UcF1k8J/s1600/positionc.png" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;">Gráfico que combina distância percorrida, velocidade e aceleração.</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<b>Entre os 0 e os 4 segundos:</b> até cerca de 4 segundos o automóvel tem uma aceleração constante que é 4 (não interessa para o efeito mencionar a unidade da aceleração). Como a aceleração é constante e de sinal positivo, o carro está a avançar e a velocidade aumenta de forma regular e linear (linha reta na velocidade). Por essa altura o espaço percorrido aumenta também mas de forma quadrática (a curva que se nota no gráfico da distância é quadrática até aos 4 segundos).<br />
<br />
<b>Entre os 4 e os 7 segundos: </b>no segundo troço, entre os 4 e os 7 segundos, o carro deixa de acelerar, pois a sua aceleração é zero, o que significa que a velocidade se mantém constante (caso ideal sem atritos, como o vento). Como a velocidade se mantém constante, a distância percorrida não deixa de aumentar, mas neste caso, como não se acelera, a distância avança de forma linear (a reta no gráfico da distância).<br />
<br />
<b>Entre os 7 e os 15 segundos: </b>imaginemos que a partir desse instante, perto dos 7 segundos, troca-se de condutor e que esse condutor está descontente com o caminho tomado e decide travar o automóvel. Nessa altura esse condutor ao travar aplica uma aceleração negativa de 2, que faz com que a velocidade vá baixando de forma linear, mas o carro não começa a andar de marcha-atrás de forma imediata. Vai ser necessário que o carro chegue até aos 150 metros, nos 15 segundos, para que o carro pare.<br />
<br />
<b>Entre os 15 e os 23 segundos: </b>então, ao continuar a aplicar uma aceleração negativa (neste caso, já não o travão, mas a marcha-atrás), o veículo começa a regressar à origem, e a velocidade começa a ser negativa a partir dos 15 segundos. Deixo a interpretação do resto do gráfico aos leitores.</div>
<br />
<b><span style="font-size: large;">A dívida pública é um sistema dinâmico</span></b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
A dívida pública é um sistema dinâmico porque qualquer variável de controlo que possa nela ser aplicada (os pedais no automóvel), estão longe de provocar no instante variações significativas. Cortar nos gastos do Estado não implica que a dívida desça de forma imediata, pois na dívida estão subjacentes compromissos de longo prazo, como o pagamento de juros em títulos plurianuais da dívida. Se alguns pagamentos como as PPP rodoviárias foram temporizados para alguns anos mais tarde, tal também tem efeitos dinâmicos na dívida. Podemos também afirmar de forma genérica que o Estado tem muitos compromissos financeiros, com muitas entidades, e que tal insere uma certa inércia no comportamento da dívida. Assim interessa estudar a dívida na ótica do estudo a sistemas dinâmicos. Neste caso por questões de simplicidade usamos sistemas dinâmicos discretos de segunda ordem, sendo cada ano civil a unidade de tempo.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
No paralelismo da dívida pública com o automóvel de dois lugares, podemos afirmar que a distância na pista é o valor da dívida, ou seja, se o automóvel está na origem a dívida é zero, já se o automóvel está nos 160 metros, a dívida é 160 mil milhões de euros, ou seja, um metro por cada mil milhão de euros de dívida. Ora se num determinado instante em que os condutores avançam, eles trocarem de lugares e o novo condutor adotar uma tática diferente, o automóvel guarda uma inércia que precisa de ser corrigida, inércia essa que demora tempo a corrigir. Se o segundo automobilista quiser parar e fazer marcha-atrás, terá primeiro de travar. Mas mesmo que trave o automóvel, este continuará durante algum tempo no sentido positivo, ou seja, em frente (dívida a crescer, mas a crescer num ritmo mais baixo; automóvel a avançar, mas a avançar mais devagar). Só quando o automóvel estiver imobilizado, ou seja, a variação do avanço for zero (variação do avanço é a velocidade), é que o automóvel pode retornar e começar a fazer marcha-atrás.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Nesta contabilidade não se tem em conta ainda a variação do PIB, mas apenas o valor absoluto da dívida. Também não se contabilizam contabilidades paralelas (PPP, dívidas de empresas públicas), nem que mecanismos foram usados para baixar a dívida (por exemplo privatizações), fazemos apenas uma análise à dívida vista pelos valores que o PORDATA e o INE nos facultam. Resumindo, no caso do nosso automóvel, a distância percorrida pelo automóvel representa o valor absoluto da dívida; a velocidade do automóvel representa a variação da dívida; e a aceleração representa a variação de segunda ordem da dívida.</div>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8xvHo_66nL1qhzKfn1_khk17nYBcD0IhlXGQov-lQ4rcdGA5f4R3PbDU6u2D0eW2TGCltVy8NuXMs6rKKx6cisNnQ6j53H77ZDyZESHd5OOI8pmpV25Z7BW11XhNqh4a69BJyVX80S2Z2/s1600/image005.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh8xvHo_66nL1qhzKfn1_khk17nYBcD0IhlXGQov-lQ4rcdGA5f4R3PbDU6u2D0eW2TGCltVy8NuXMs6rKKx6cisNnQ6j53H77ZDyZESHd5OOI8pmpV25Z7BW11XhNqh4a69BJyVX80S2Z2/s1600/image005.png" width="550" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;"><i>Trajeto</i> percorrido pela dívida pública desde 1992.</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjL5MXZdbODxm0txMOhdoXIaTckq2XKSevjvpQ9iiBmo7U7FN_Xmhjm4XWvMSSrROMmctAEA8FQF3oizvfGFneo13tNvHrh1z9CuPB71l1RafEwhetXDJFXz0Ai8PTT0aHo9XPj9D8vlh3O/s1600/image007.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjL5MXZdbODxm0txMOhdoXIaTckq2XKSevjvpQ9iiBmo7U7FN_Xmhjm4XWvMSSrROMmctAEA8FQF3oizvfGFneo13tNvHrh1z9CuPB71l1RafEwhetXDJFXz0Ai8PTT0aHo9XPj9D8vlh3O/s1600/image007.png" width="550" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;"><i>Velocidade</i> de crescimento da dívida pública.<br />A austeridade baixou a <i>velocidade</i> de crescimento da dívida.</span></td></tr>
</tbody></table>
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlXbEv0_30nDnMpZHrgBGBjqcl2TxbijNhWisKlHosTkFgrsDg_c7BFvEgv8mLlkeQAvEs2_iEtOj5ZwPpfUk_Ks7TM8hG66LBdicl51-f8TCYruAnh6e5zaq8h59jr3bjIi-GvFgwjXsx/s1600/image009.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjlXbEv0_30nDnMpZHrgBGBjqcl2TxbijNhWisKlHosTkFgrsDg_c7BFvEgv8mLlkeQAvEs2_iEtOj5ZwPpfUk_Ks7TM8hG66LBdicl51-f8TCYruAnh6e5zaq8h59jr3bjIi-GvFgwjXsx/s1600/image009.png" width="550" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span style="font-size: small;"><i>Aceleração</i> de crescimento da dívida pública.</span><br />
<span style="font-size: small;">A austeridade <i>travou</i> a dívida ao impor-lhe uma <i>tendência dinâmica</i> de redução.</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Caso o caro leitor tenha percebido a forma como funcionam estes sistemas dinâmicos (de segunda ordem), compreende de forma cristalina pelos gráficos acima que <b>a austeridade impôs um forte travão na dívida pública</b>. No primeiro ano do governo Sócrates, houve um aceleração da dívida, fenómeno que foi travado no segundo e terceiro anos, mas que foi novamente acelerado em ano eleitoral. Com a crise das dívidas soberanas em meados de 2008, a aceleração da dívida toma valores muito elevados em 2009, valores que se mantêm em 2010. Todavia conclui-se facilmente pelo gráfico que desde a entrada do governo seguinte que impôs políticas de austeridade, que a "velocidade" da dívida tem vindo sempre a diminuir, e que a "aceleração" da dívida é mesmo negativa. A partir de 2015 a velocidade da dívida é mesmo negativa e a dívida começa a descer a sua trajetória, ou seja, começa a diminuir.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Usando o nosso paralelismo pode-se dizer de forma categórica e inequívoca que as políticas de austeridade colocaram um forte "travão" no comportamento da dívida pública. Ignorar tal facto é ignorar as ciências matemáticas.</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-32591453363401247522015-01-13T12:26:00.000+00:002015-11-07T19:07:34.077+00:00A Física e a Matemática da distância de travagem<div style="text-align: justify;">
A grande maioria dos automobilistas não tem a mínima noção do impacto que a velocidade tem na segurança rodoviária, essencialmente em meios urbanos, mais precisamente para os utilizadores vulneráveis como peões e ciclistas.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Farei essa demonstração física e matematicamente.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqTHDY0D5KofkdEaicGru2xzjGcFE4x-rSt9Q86VprWWYVJqe9o3BHSYHl1FmRX105oALhwMvLMV7rNJH5e1BdmUtInIzitIU55ol_1j9Y4EEtLoJ8iMppo3OpWVH70Z2C-uXcNwBQ3ws8/s1600/image001.png" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgqTHDY0D5KofkdEaicGru2xzjGcFE4x-rSt9Q86VprWWYVJqe9o3BHSYHl1FmRX105oALhwMvLMV7rNJH5e1BdmUtInIzitIU55ol_1j9Y4EEtLoJ8iMppo3OpWVH70Z2C-uXcNwBQ3ws8/s1600/image001.png" height="165" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
No ponto <b>A</b> o condutor do veículo que se deslocava a uma velocidade <i><b>v</b></i> e de massa <i><b>m</b></i>, apercebe-se que tem um obstáculo na sua frente, que o obrigará a efetuar uma travagem de emergência, ou a fundo. Todavia a reação não é instantânea, e apenas quando o veículo toca o ponto <b>B</b>, o condutor começa realmente a travar a fundo, havendo por conseguinte uma Força de atrito dinâmico<b> Fa</b> contrária à velocidade. O veículo só parará no ponto <b>C</b>, estando o peão/pedestre no ponto <b>P</b>.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pela leis da mecânica clássica, sabemos que a velocidade é dada por</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9HBC_XMBdqTUqAXTmRPFHIvbQphoQDQX3hpmQTh5zRxA4CpD3sgzCrjFd33KuDC_bmYXqIjFv1ulw9LoJOXEAFZy8v8LLNNBNm6ydGGEkp377SR1hR5b3eEV-rAG5AFV33tivAnh2rXj3/s1600/image002.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg9HBC_XMBdqTUqAXTmRPFHIvbQphoQDQX3hpmQTh5zRxA4CpD3sgzCrjFd33KuDC_bmYXqIjFv1ulw9LoJOXEAFZy8v8LLNNBNm6ydGGEkp377SR1hR5b3eEV-rAG5AFV33tivAnh2rXj3/s1600/image002.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
que significa que <i><b>v</b></i> será a distância entre os pontos <b>A</b> e <b>B</b> dividida sobre o tempo que decorreu entre esses mesmos dois pontos. Se considerarmos que o condutor do veículo tem um tempo de reação entre os pontos <b>A</b> e <b>B</b> de <i><b>t<span style="font-size: x-small;">r</span></b></i> segundos, podemos reescrever</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjL5_HmVVz6mAx0PPSW9DyXYvBjgbxJdEOgwPxspx56kb-8Ez8ea70IZaKsSAOLt_19gPmU_PpxyF7H-yD6W9arI37KFo1l9g_WJFWnzixe6KsP9aMqC9JqtZJFcxIauqKY96Y7rwa5QXq9/s1600/image003.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjL5_HmVVz6mAx0PPSW9DyXYvBjgbxJdEOgwPxspx56kb-8Ez8ea70IZaKsSAOLt_19gPmU_PpxyF7H-yD6W9arI37KFo1l9g_WJFWnzixe6KsP9aMqC9JqtZJFcxIauqKY96Y7rwa5QXq9/s1600/image003.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pelas leis da mecânica clássica também sabemos que a Energia Cinética <b>E<span style="font-size: x-small;">c</span></b> do veículo no ponto <b>B</b> é</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghVGKTxXrZVkBY3HVALzKwokP_TzMS_FtbXwAd96zChCx1gkxqJCHKWkQa9xMGt2pD1GCvTienKv0armekUvIjhQKRv5HvxakC3PGTXEtvftFRSxehZbAS2aWWGkyKpyqTOOEMbq2zQu4O/s1600/image004.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghVGKTxXrZVkBY3HVALzKwokP_TzMS_FtbXwAd96zChCx1gkxqJCHKWkQa9xMGt2pD1GCvTienKv0armekUvIjhQKRv5HvxakC3PGTXEtvftFRSxehZbAS2aWWGkyKpyqTOOEMbq2zQu4O/s1600/image004.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Ao ao longo do trajeto em que o veículo abranda, é exercida uma Força de atrito dinâmico <b>F<span style="font-size: x-small;">a</span></b>, pois existe uma força de fricção, que é contrária à velocidade do veículo. As forças de atrito dinâmico são praticamente independentes da velocidade. Adotamos por questões de simplificação, o caso em que as rodas literalmente bloqueiam. Na realidade, as rodas não bloqueiam totalmente através de sistemas de travagem como o ABS, mas ignoraremos para já tais sistemas por razões de simplificação.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A Força de atrito dinâmico <b>F<span style="font-size: x-small;">a </span></b>depende do coeficiente de atrito dinâmico <i><b>µ</b></i> dependendo também da força normal à superfície, ou seja, do peso do veículo, que neste caso é <b><i>mg</i></b>. Então</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6zBCG9yfzqc-3zkp73cF25qrDTg_72PSel5Xu73lYS-HW_ZqFVJ-KaJIKN6SfHe4WW9NE9XUkHNaQxiA1H0894-9pwFdLZySLVF0geYTJ90ptXk8JjJInL2fvqp9hvUxap0trf3MxIv4_/s1600/image005.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj6zBCG9yfzqc-3zkp73cF25qrDTg_72PSel5Xu73lYS-HW_ZqFVJ-KaJIKN6SfHe4WW9NE9XUkHNaQxiA1H0894-9pwFdLZySLVF0geYTJ90ptXk8JjJInL2fvqp9hvUxap0trf3MxIv4_/s1600/image005.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Do ponto <b>B</b> até ao ponto <b>C</b>, o trabalho <b>W<span style="font-size: x-small;">a</span></b> realizado pela Força de atrito dinâmico <b>F<span style="font-size: x-small;">a </span></b>será </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPskosfBoOzo8YCPlPPU96-YOOiapR3jllokFoBR7Iqs5lIPS7MXE4gtZ7xuwNUoYNkB7kZfpC0MNPvzkBz0ZhqeRdaTbXQHJQhMKW4IS5dGiLDUHSM-g2bBZRGCBuERcatyKQQLTwkigY/s1600/image006.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPskosfBoOzo8YCPlPPU96-YOOiapR3jllokFoBR7Iqs5lIPS7MXE4gtZ7xuwNUoYNkB7kZfpC0MNPvzkBz0ZhqeRdaTbXQHJQhMKW4IS5dGiLDUHSM-g2bBZRGCBuERcatyKQQLTwkigY/s1600/image006.png" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esse trabalho terá de anular a Energia Cinética <b>E<span style="font-size: x-small;">c </span></b>que o veículo possuía no ponto <b>B</b>. Logo obtemos a seguinte equação</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja38RcaLJBlV4EXbYxXtCMsFmlzGYygWak66XhfziTU5nkB0MIjdY6jNN6kI6NjslWCISxNt1mBfKDhPTzlFAxzCXESaRN-IqNuuhwOI8vSAxMV_g4nSxwujeDstfAhtvbugegyxJatz1_/s1600/image007.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEja38RcaLJBlV4EXbYxXtCMsFmlzGYygWak66XhfziTU5nkB0MIjdY6jNN6kI6NjslWCISxNt1mBfKDhPTzlFAxzCXESaRN-IqNuuhwOI8vSAxMV_g4nSxwujeDstfAhtvbugegyxJatz1_/s1600/image007.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwXvpdTZnSnavYuKzycON7388en-bSBgYp8M4BZE_MfEGMSfykk4ZfdGUGECZNo7wU9EQ3iWPnQxR3PJFMG1gAEbAeJouDvgoJ368V8t-gQxUJs1akR5s1TPECIxN5h6SpqfXh-jeqE7US/s1600/image008.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhwXvpdTZnSnavYuKzycON7388en-bSBgYp8M4BZE_MfEGMSfykk4ZfdGUGECZNo7wU9EQ3iWPnQxR3PJFMG1gAEbAeJouDvgoJ368V8t-gQxUJs1akR5s1TPECIxN5h6SpqfXh-jeqE7US/s1600/image008.png" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRQVt4xkCuO4W5aQNB3dv0ZHddG5AMi0BuBI5MN79u9cHjGmjw_CczpBZnWugKV5Gq8-8tA5N7J27q9Ph37FVaVzBZFCeWGvtA_mbHgGFh8FMHK64IiQA2lXwekQctHsH7JtfhFdt2qCZT/s1600/CodeCogsEqn+(2).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRQVt4xkCuO4W5aQNB3dv0ZHddG5AMi0BuBI5MN79u9cHjGmjw_CczpBZnWugKV5Gq8-8tA5N7J27q9Ph37FVaVzBZFCeWGvtA_mbHgGFh8FMHK64IiQA2lXwekQctHsH7JtfhFdt2qCZT/s1600/CodeCogsEqn+(2).gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
concluindo que a distância de travagem total <b>D</b> será</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrNyW6hbqaTLCuja1RAjn8LPD8_c3hqIY99w7X4JOeCOx_GoNVXyV_OKToPBP-03lFQsFvXHk5kUcMqPMRuYCLOZ7lcIVr9jCsYKRQpWjAPwP-pCX5Q-SH-ukYt9V9CowBj1Hr6To5FyBJ/s1600/CodeCogsEqn+(3).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgrNyW6hbqaTLCuja1RAjn8LPD8_c3hqIY99w7X4JOeCOx_GoNVXyV_OKToPBP-03lFQsFvXHk5kUcMqPMRuYCLOZ7lcIVr9jCsYKRQpWjAPwP-pCX5Q-SH-ukYt9V9CowBj1Hr6To5FyBJ/s1600/CodeCogsEqn+(3).gif" /></a></div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Significa que a Distância de travagem total <b>D</b> tem uma componente que é linear com a velocidade e outra que depende de forma quadrática da velocidade.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Resumindo, a distância de travagem total de um veículo em função da velocidade é dada por</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIKFqVZEaJkBo30ie9Q8zREzzqQdYZiCtpufpMfcBiQ8eJVv4Tg9VKK2VFdd9TnuH_u_jmFYUCF52x8-EoCTvyWiRjVowUpahC4wQR1J99-xblIR6PHAA6M-sLlaebhq9HNMQ5z834jQDQ/s1600/CodeCogsEqn+(4).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiIKFqVZEaJkBo30ie9Q8zREzzqQdYZiCtpufpMfcBiQ8eJVv4Tg9VKK2VFdd9TnuH_u_jmFYUCF52x8-EoCTvyWiRjVowUpahC4wQR1J99-xblIR6PHAA6M-sLlaebhq9HNMQ5z834jQDQ/s1600/CodeCogsEqn+(4).gif" /></a></div>
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
onde <i><b>t<span style="font-size: x-small;">r</span></b></i> é o tempo de reação do condutor, <i><b>µ</b></i> é o coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o pavimento e <b><i>g</i></b> é a aceleração da força da gravidade. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Esta distância depende linearmente com a velocidade e com o tempo de reação do condutor, e quadraticamente com a velocidade. Pouco importa a marca ou o peso do veículo. Matematicamente é claro que os fatores que unicamente são importantes são a velocidade; o tempo de reação do condutor, que por exemplo aumenta bastante com o sono ou com o álcool; e o coeficiente de atrito dinâmico <i><b>µ</b></i> que é fortemente afetado pela qualidade dos pneus, a meteorologia e a qualidade do pavimento.</div>
<br>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLfmasHM69EsCTqDUX0EYflgAiHlB3csmnImVwsznwM_DVcKYvFLcjHcjSYi7cHCD-UXUiidPVhyVat9E4mVr4J7M-kJR4rOVimtDEZ_kih7Q_Lk7OpuUaAk7GsjTenNfuXJySQbTc521D/s1600/image026.png" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgLfmasHM69EsCTqDUX0EYflgAiHlB3csmnImVwsznwM_DVcKYvFLcjHcjSYi7cHCD-UXUiidPVhyVat9E4mVr4J7M-kJR4rOVimtDEZ_kih7Q_Lk7OpuUaAk7GsjTenNfuXJySQbTc521D/s1600/image026.png" height="258" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><a href="http://publicacoesfq.do.sapo.pt/boletim%204.htm">Imagem</a> da prof. Raquel Ribeiro<u></u></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><u><br /></u></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><u><br /></u></td><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><u><br /></u></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Interessa agora tentar aferir qual é o valor do coeficiente de atrito dinâmico <i style="font-weight: bold;">µ. </i>Para tal iremos combinar a fórmula acima com alguns testes empíricos sobre distâncias de travagem, considerando que os testes realizados não têm em conta o tempo de reação do condutor. Usaram-se as seguintes experiências obtidas de uma revista da especialidade.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjORLV5G0mbLrOXkqT5w5QD3CiwVAfGIPwuUEOYGYSES1xvqHIZHya-W9Za0jHuY6aC8i0rzVF0uycqUXJKAeBAyTUXtX1knCElbM6VGieFBIxTPqKxNi1DzjygvBHTnVr0cSgK1yXTXIMF/s1600/Imagem-9.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjORLV5G0mbLrOXkqT5w5QD3CiwVAfGIPwuUEOYGYSES1xvqHIZHya-W9Za0jHuY6aC8i0rzVF0uycqUXJKAeBAyTUXtX1knCElbM6VGieFBIxTPqKxNi1DzjygvBHTnVr0cSgK1yXTXIMF/s1600/Imagem-9.jpg" width="500" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
Tem-se como referência o veículo Porsche Carrera, um dos que apresenta melhor desempenho do mercado, no domínio da distância de travagem. Considera-se ainda que a aceleração da gravidade é <b><i>g</i></b>=10 ms<sup>-2</sup> e que o tempo de reação do condutor nesta experiência é zero, pois as medidas foram efetuadas a partir do momento em que o veículo começa a travar. É necessário ainda aplicar um fator divisor para converter <b><i>km/h</i></b> para <i><b>m/s </b></i> (1 <b>m/s</b>=3.6 <b>km/h</b>), unidade SI para medir velocidades.<br />
<br />
Assim, a fórmula fica<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvlPsHSfpr3ELj4EcTxGqC0QJjtP8OW3SEr6eo_bghHZerCwrb8Pn4rtXveN8ECGHtMbfF8atP6G8JG0vX3SkQqTIzLVSbfxTv53oe8uA7ZejNLJ27zO11FG2zahNEWJbrgPp26Ecgkgp2/s1600/CodeCogsEqn+(5).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhvlPsHSfpr3ELj4EcTxGqC0QJjtP8OW3SEr6eo_bghHZerCwrb8Pn4rtXveN8ECGHtMbfF8atP6G8JG0vX3SkQqTIzLVSbfxTv53oe8uA7ZejNLJ27zO11FG2zahNEWJbrgPp26Ecgkgp2/s1600/CodeCogsEqn+(5).gif" /></a></div>
<br />
onde <b><i>v<span style="font-size: xx-small;">k </span></i></b>é a velocidade em <b><i>km/h</i></b> e <b>D</b> é a distância de travagem. Aplicando os valores obtidos para o teste efetuado com o Porsche Carrera, mas também para <a href="http://forum.autohoje.com/forum-geral/133130-por-que-e-necessario-moderar-velocidades-nas-zonas-residenciais.html#post1068270266">outros veículos</a> mais comuns cujos testes a revista apresentava, obtemos a seguinte tabela.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZR3AQc_qxotoyrKGL4FlLdT2BixRKYd0yt4YGAobEF-N_DGrreF0koL8dU0SZSg2Hynej6NBga-7cBraojtsBu1kUUdRhCWpbFPFZ8Q-IN3rKSjLzZ_3Zanw8lu4MqECoUXTKmm-pJsis/s1600/tabela.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgZR3AQc_qxotoyrKGL4FlLdT2BixRKYd0yt4YGAobEF-N_DGrreF0koL8dU0SZSg2Hynej6NBga-7cBraojtsBu1kUUdRhCWpbFPFZ8Q-IN3rKSjLzZ_3Zanw8lu4MqECoUXTKmm-pJsis/s1600/tabela.JPG" width="510" /></a></div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
É aceitável então, por questões de aproximação, adotar doravante um coeficiente de atrito dinâmico igual a <i><b>µ=</b></i>0,9. É possível então criar um gráfico da Distância de travagem <b>D</b>, em função da velocidade <b><i>v<span style="font-size: x-small;">k</span></i></b>, velocidade apresentada em <b>km/h.</b><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUqZEDZ3UMxc3IjiFWAxuxeKRoyh7Mo1Uxg7K31SS3gmxTtMxzEl5dHNNaJ6NyyLjciT0FYGl1bGxrqvEFa3yptkzPaSSrNDG4GnWUistPL9RWUi1T8LSV0xjhN0N8-0eIJg0v35yfCiAi/s1600/graf.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUqZEDZ3UMxc3IjiFWAxuxeKRoyh7Mo1Uxg7K31SS3gmxTtMxzEl5dHNNaJ6NyyLjciT0FYGl1bGxrqvEFa3yptkzPaSSrNDG4GnWUistPL9RWUi1T8LSV0xjhN0N8-0eIJg0v35yfCiAi/s1600/graf.png" width="510" /></a></div>
<b><br /></b>
</div>
<div style="text-align: justify;">
Na seguinte imagem 3D, que compara a distância de travagem <b>D </b>(eixo vertical<b> z</b>), com o tempo de reação <b><i>t<span style="font-size: x-small;">r</span></i></b> (eixo <b>x</b>, num intervalo entre meio segundo e 3 segundos) e a velocidade <b>v</b> (eixo <b>y</b>, num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que quer a velocidade, quer o tempo de reação, tomam um papel muito importante na distância de travagem. O coeficiente de atrito dinâmico foi estabelecido em <i><b>µ</b></i>=0,9.</div>
<br>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi63e6Y02IeBIZVt71Nhiej8gvXFZp0YqHVivELw7isQYytV9JYJpRQw4l0A8PZVExNmjpPTHBoYcztKE46hlK9Z5L1gw09viptIjhyghB9zMfb1UUsxx_Kt2dUeE5wqADTcH5AyCM1PMRK/s1600/graf3d.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi63e6Y02IeBIZVt71Nhiej8gvXFZp0YqHVivELw7isQYytV9JYJpRQw4l0A8PZVExNmjpPTHBoYcztKE46hlK9Z5L1gw09viptIjhyghB9zMfb1UUsxx_Kt2dUeE5wqADTcH5AyCM1PMRK/s1600/graf3d.JPG" width="510" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b style="font-size: medium;">Distância de travagem em função da velocidade e tempo de reação<br />D</b><span style="font-size: small;">=</span><b style="font-size: medium;">z ; y</b><span style="font-size: small;">=</span><b style="font-size: medium;"><i>v</i></b><span style="font-size: small;">=[0,50]km/h ; </span><b style="font-size: medium;">x</b><span style="font-size: small;">=</span><b><i><span style="font-size: small;">t</span><span style="font-size: x-small;">r</span></i></b><span style="font-size: small;">=[0.5,3] segundos ; </span><i style="font-size: medium; text-align: justify;"><b>µ</b></i><span style="font-size: small; text-align: justify;">=0,9</span></td></tr>
</tbody></table>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: justify;"><br /></span>
<span style="text-align: justify;">Já todavia no seguinte gráfico 3D que compara a distância de travagem </span><b style="text-align: justify;">D </b><span style="text-align: justify;">(eixo vertical</span><b style="text-align: justify;"> z</b><span style="text-align: justify;">), com o coeficiente de atrito dinâmico </span><i style="text-align: justify;"><b>µ </b></i><span style="text-align: justify;">(</span><span style="text-align: justify;">num intervalo entre 0.3 e 1) e a velocidade </span><i><b style="text-align: justify;">v</b></i><span style="text-align: justify;"> (</span><span style="text-align: justify;">num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que o estado do pavimento ou a qualidade dos pneus </span><span style="text-align: justify;"><span style="text-align: justify;">(</span><i><b>µ</b></i>), são fatores extremamente importantes na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades mais elevadas. Repare-se que ao longo do plano </span><i style="text-align: justify;"><b>v</b></i><span style="text-align: justify;">=</span><span style="text-align: justify;">20km/h a altura </span><b style="text-align: justify;">D</b><span style="text-align: justify;">=</span><b style="text-align: justify;">z</b><span style="text-align: justify;"> pouca varia com a qualidade do pavimento e dos pneus (</span><i><b>µ</b></i>), mas ao longo do plano <i><b>v</b></i>=50km/h a qualidade dos pneus e do pavimento (<i><b>µ</b></i>) tomam um papel fulcral na distância de travagem (<b>D</b>).</div>
<br>
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh91U41gkBnjjsiAI61yrSMMKmvTE87r2W-3ZhWERdYEAuuQlXKAbZwrrNU0xjyyQHYvqOzE-h-H2eQoKdv8Ut5hp6urVl1T6GkqW1iuBG-6rR0nLb7edPWCri0tS8lCOaiZbCAnDyOLiJq/s1600/graf3d2.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh91U41gkBnjjsiAI61yrSMMKmvTE87r2W-3ZhWERdYEAuuQlXKAbZwrrNU0xjyyQHYvqOzE-h-H2eQoKdv8Ut5hp6urVl1T6GkqW1iuBG-6rR0nLb7edPWCri0tS8lCOaiZbCAnDyOLiJq/s1600/graf3d2.JPG" width="510" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><b><span style="font-size: medium;">Distância de travagem em função da velocidade e coeficiente de atrito dinâmico</span><br /><span style="font-size: small;">D</span></b><span style="font-size: small;">=</span><b style="font-size: medium;">z ; </b><b style="font-size: medium;"><i>v</i></b><span style="font-size: small;">=[0,50]km/h ; </span><i style="font-size: medium; text-align: justify;"><b>µ</b></i><span style="font-size: small;">=[0.3,1] ; </span><span style="text-align: justify;"><b><i><span style="font-size: small;">t</span><span style="font-size: x-small;">r</span></i></b><span style="font-size: small;">=1s</span></span></td></tr>
</tbody></table>
<b><br /></b>
<b>Conclusão</b><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
A distância de travagem varia substancialmente com a velocidade a partir de pequenas velocidades de cerca de 20 km/h. Considerando ainda que a Energia Cinética de um veículo varia com o quadrado da velocidade e é um dos fatores mais importantes para a fatalidade de utilizadores vulneráveis como peões ou ciclistas, o autor aconselha o legislador para que imponha sérios limites em termos de velocidade de veículos, essencialmente em meios com elevada densidade populacional, como zonas urbanas residenciais. É por isso essencial que as autoridades de prevenção rodoviária implementem medidas que melhorem consideravelmente a fiscalização das velocidades praticadas e medidas de acalmia de tráfego, nomeadamente o estabelecimento de zonas 30. A qualidade dos pneus e o do pavimento, tomam também um papel extremamente importante na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades acima dos 30 km/h como pode ser constatado no último gráfico, o que enfatiza o facto, de ser deveras importante diminuir os limites de velocidade em meios onde existe elevada concentração de pessoas. </div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-46664870895393523012014-09-05T19:04:00.000+01:002016-01-03T21:05:23.232+00:00Dívida, Défice e Crescimento; como interagem?<div style="text-align: justify;">
Muitos poderão pensar que a dívida pública e o défice público, se cingem a questões de opções políticas, mas na realidade uma das ciências que está bem presente em finanças públicas e economia, é a matemática. A iliteracia matemática de um certo povo, pode explicar em parte, o desequilíbrio que esse país tem nas suas finanças públicas, pois as mesmas nos estados democráticos, são muito afetadas por escolhas políticas. O modelo apresentado é um modelo simplificado, baseado em <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Sistema_din%C3%A2mico_discreto">sistemas dinâmicos discretos</a>, que explica como interagem a dívida, o défice e o crescimento económico de um Estado. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O défice público, simplificando, é a diferença entre as despesas e as receitas de um Estado. Quando um país tem mais receitas que despesas, tem <i>superavit</i>, ou excedente orçamental; quando esse país tem mais despesas que receitas, esse país tem défice. Quando há défice orçamental, o país necessita de contrair dívida para colmatar esse défice, que pagará com juros. Assim, um modelo simplificado do sistema poderá ser o seguinte </div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6gXr3YeEA7dSRq7IWL8QWnNY30DkiSF5AwOgvObhv8aPdKpAZ43_orQOh97POws1RcL_nWiblISNyoedArDSbO6rf0Q8we9np534hi6UcW3z2u-1wl7eDK9lRsMy9zjncYDdiQpi30P3P/s1600/CodeCogsEqn(4).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi6gXr3YeEA7dSRq7IWL8QWnNY30DkiSF5AwOgvObhv8aPdKpAZ43_orQOh97POws1RcL_nWiblISNyoedArDSbO6rf0Q8we9np534hi6UcW3z2u-1wl7eDK9lRsMy9zjncYDdiQpi30P3P/s1600/CodeCogsEqn(4).gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
onde <i>DV<sub>k</sub></i>, <i>TJ<sub>k</sub></i> e <i>DF<sub>k</sub></i> são a Dívida, a Taxa de juro em percentagem e o Défice respetivamente no ano <i>k</i>. É fácil perceber que a Dívida no ano <i>k+1</i>, será a Dívida no ano <i>k</i> mais a componente dos juros, somando ainda o Défice do ano <i>k</i>.</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Este modelo não inclui engenharias financeiras, nem contabilidade paralela, como sucedeu em Portugal com <i>swaps</i>, PPPs, ou dívidas contraídas pelas empresas públicas, se essas despesas não constarem nas contas oficiais do défice. Este modelo também obedece a outra simplificação. O Estado por norma contrai dívida através dos chamados títulos de dívida pública, emitidos com um certo prazo de maturidade, estando aquando da sua emissão já definidos a taxa de juro e o prazo. No modelo que se apresenta a Taxa de Juro aplica-se ao montante total da dívida no ano <i>k</i>, e não parcelado como realmente acontece com os títulos da dívida. Pode-se demonstrar que para períodos de tempo algo alargados, o erro deste modelo é bastante diminuto, se na Taxa de Juro se colocar o valor médio que o Estado tem pago de juros ao longo desse mesmo período de tempo.<br />
<br />
Já o crescimento económico no ano <i>k</i>, ou seja o crescimento do valor do Produto Interno Bruto (PIB) do ano <i>k</i> para o ano <i>k+1</i>, ou seja <i>CE<sub>k</sub></i>, obedece a outra equação semelhante<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiyTNLMa8mUPXNwnMi0jsYiKIRWqJ5Rr_jaCGwlODRQ1ZB8vrWkXgRSHWjGJNEwt0EzNFUgHfggCiOjf8hwo8Dhm_zeg0bHPzEGr07hnVzqpGioUc0APlvfiLX7A1Y0eqpMh4GtP6GBt2j/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgiyTNLMa8mUPXNwnMi0jsYiKIRWqJ5Rr_jaCGwlODRQ1ZB8vrWkXgRSHWjGJNEwt0EzNFUgHfggCiOjf8hwo8Dhm_zeg0bHPzEGr07hnVzqpGioUc0APlvfiLX7A1Y0eqpMh4GtP6GBt2j/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Se dividirmos a primeira equação pelo PIB no ano <i>k+1</i>, multiplicando ainda implicitamente todos os termos da equação por 100, ficamos exatamente com uma outra equação, mas com a Dívida e o Défice, representados em percentagem do PIB.<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2lvn2NJWmLLfOOwWqXYOhQFiOOZ_wPQLkga_Kkv9NI7UJW4Nw4jAtOeYsFXJs7aGI-zVhALlx4qalkstEkqAMlR3YfZ4qXTEDRHsmNp_8vC_nxGq2nK3yE-hhjoho7xyVLym6VyW18xgq/s1600/CodeCogsEqn(1).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="161" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg2lvn2NJWmLLfOOwWqXYOhQFiOOZ_wPQLkga_Kkv9NI7UJW4Nw4jAtOeYsFXJs7aGI-zVhALlx4qalkstEkqAMlR3YfZ4qXTEDRHsmNp_8vC_nxGq2nK3yE-hhjoho7xyVLym6VyW18xgq/s1600/CodeCogsEqn(1).gif" width="400" /></a></div>
</div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
onde <i>DVp</i> e <i>DFp</i> representam respetivamente a Dívida e o Défice em percentagem do PIB. Podemos ainda apresentar a equação acima de forma diferente, escrevendo<br />
<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEKEggUWTBSxoxQk9RlrVTijkeOEGaxBn61qmx9L3PvECyBH_xojn7VkhFPSSZoSc9ZyWcO-xEkqxajuIH9zB2roBqJxNPYvSqUEjNkJ5oE7xP8AQx3mNCeqBOX1dio-PbpJtb4hJJBlhZ/s1600/CodeCogsEqn(3).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiEKEggUWTBSxoxQk9RlrVTijkeOEGaxBn61qmx9L3PvECyBH_xojn7VkhFPSSZoSc9ZyWcO-xEkqxajuIH9zB2roBqJxNPYvSqUEjNkJ5oE7xP8AQx3mNCeqBOX1dio-PbpJtb4hJJBlhZ/s1600/CodeCogsEqn(3).gif" width="500" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgMBa1ZUtclSIR4rErp0hJceMCgXWA443rfuNBWjkkS_xDS4W_cJ39hFC8z4pQIBeOjKAlYWYs338v7m3ABKJ82NeT0wr3xWFwKwRBS7aXqI0CYoUuJ56vJ9pU6FyylioFeclxxwu7T6gB3/s1600/CodeCogsEqn(2).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><br /></a></div>
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
</div>
<div style="text-align: justify;">
Se agora aplicarmos os conceitos da aproximação dos sistemas dinâmicos discretos aos sistemas dinâmicos contínuos obteremos <a href="http://pt.wikipedia.org/wiki/Equa%C3%A7%C3%A3o_diferencial_linear#Equa.C3.A7.C3.A3o_diferencial_linear_de_ordem_1">uma equação diferencial linear de primeira ordem</a><br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijmZ4ntNReb25tPi_KlfXGZ8Tw8IXdstMhe9VBq0gwLwBUWJ4MiNF9O34okSJ5516nHS7D_uXDDnYU5uB1J35RrrAOPnXIJHmWDADBq7lJvJPH3eo_3Q2dgzczk8oX3EzG77MzVCaWrv76/s1600/CodeCogsEqn(4).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEijmZ4ntNReb25tPi_KlfXGZ8Tw8IXdstMhe9VBq0gwLwBUWJ4MiNF9O34okSJ5516nHS7D_uXDDnYU5uB1J35RrrAOPnXIJHmWDADBq7lJvJPH3eo_3Q2dgzczk8oX3EzG77MzVCaWrv76/s1600/CodeCogsEqn(4).gif" width="500" /></a></div>
<br />
A solução geral desta equação diferencial é<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN7VSaMnPWXbUFTyL7IPRAGeF0wF-hVak-PygQiTvXCqDamTbyA0q32iAr47nPzyAPFoYBWerj1ferQuoMJ3vysMVR9WSljKRTdTzMNSi-8UUSiiaDW1P8Z5b0srI3iKrr4Nne6nrFL5Hv/s1600/CodeCogsEqn(6).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgN7VSaMnPWXbUFTyL7IPRAGeF0wF-hVak-PygQiTvXCqDamTbyA0q32iAr47nPzyAPFoYBWerj1ferQuoMJ3vysMVR9WSljKRTdTzMNSi-8UUSiiaDW1P8Z5b0srI3iKrr4Nne6nrFL5Hv/s1600/CodeCogsEqn(6).gif" width="500" /></a></div>
<br />
onde <i>DVp(t)</i> e <i>DVp(0)</i> representa a Dívida em percentagem do PIB no ano <i>t</i> e no ano <i>0</i> respetivamente, <i>TJ </i>a Taxa de juro da dívida<i>, CE</i> a percentagem de crescimento económico do PIB, e <i>DFp</i> o Défice público em percentagem do PIB.<br />
<br />
<br />
<b>E para o caso de Portugal (1980-2010)</b><br />
<br />
Se considerarmos agora para o caso português, um período de cerca de 30 anos, de 1980 a 2010, com um défice público <a href="http://www.pordata.pt/Portugal/Administracoes+Publicas+defice+excedente+publico+em+percentagem+do+PIB-834">médio de aproximadamente</a> 5%, uma taxa de juro média de 4% e um crescimento económico médio de 3%, ficamos com<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUw1PilpbWqwmTjS0F9_VNSFJmjaqXzJmoDKR8fw4_XRgV_bAJ03UNkjqGtAIQx897SAideXIiev3T0tWi78KzeBpF1F52KQ8ZU79Ehys7DfBBP2r2uG9tBfORfwWJ_C57ITm5ppsZ5mZJ/s1600/CodeCogsEqn(5).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjUw1PilpbWqwmTjS0F9_VNSFJmjaqXzJmoDKR8fw4_XRgV_bAJ03UNkjqGtAIQx897SAideXIiev3T0tWi78KzeBpF1F52KQ8ZU79Ehys7DfBBP2r2uG9tBfORfwWJ_C57ITm5ppsZ5mZJ/s1600/CodeCogsEqn(5).gif" /></a></div>
<br /></div>
<br />
cujo <a href="http://www.wolframalpha.com/input/?i=y%28t%29%3D540*e^%28t%2F103%29-540%2C+from+0+to+30">gráfico da expressão <i>DVp</i></a> é o seguinte:<br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFfkAODYNoXrTErr8FOH5mwpPuvk9BrDKy_4VO0cjUyTSzGw8XSQziA_bl4VJTlioZLLgVn7K2AUHGiobfmCYtPHLFPGWCnH093X67WSaJyP5kd-gb5BynPMEaXxUG0gW8snxo-tY8NPIl/s1600/graf.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" height="322" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjFfkAODYNoXrTErr8FOH5mwpPuvk9BrDKy_4VO0cjUyTSzGw8XSQziA_bl4VJTlioZLLgVn7K2AUHGiobfmCYtPHLFPGWCnH093X67WSaJyP5kd-gb5BynPMEaXxUG0gW8snxo-tY8NPIl/s1600/graf.JPG" width="400" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;">Simulação segundo o modelo, t=0 corresponde a 1980; [1980,2010]<br />
Taxa de juro média da dívida de 4%,<br />
Crescimento económico de 3%,<br />
Défice Público médio de 3%</td></tr>
</tbody></table>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Penso que a dívida pública apenas não atingiu os valores acima sugeridos pelo gráfico, cerca de 180% do PIB, porque o Estado foi alienando ativos que foram sendo abatidos à dívida, que muitas vezes não entravam nas contas do Défice, como algumas das sucessivas privatizações que se têm realizado desde 1980.<br />
<br />
O decréscimo futuro da dívida exige obrigatoriamente excedente orçamental e/ou crescimento económico. A dívida que o modelo sugere, deveu-se essencialmente a variados anos de défices públicos sucessivos, com a agravante que à medida que em cada ano havia défice, contraía-se dívida, que por sua vez tinha de ser paga com juros. Este modelo demonstra que a dívida nestas condições de défices sucessivos tem um crescimento exponencial, que em situação de anos consecutivos de défices altos, leva à situação do crescimento exponencial acentuado da dívida, cujo controlo por parte do executivo, se torna crítico.<br />
<br />
O que altera a dinâmica da Dívida neste sistema dinâmico, segundo o modelo, é a expressão <i>TJ-CE</i>, ou seja, a Taxa de Juro da dívida tem de ser inferior ao crescimento económico, para que a Dívida decresça. </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Resumidamente, poderá matematicamente comprovar-se aquilo que a generalidade dos cidadãos já tinha como implícito, que <u>o défice de hoje, é a dívida de amanhã</u>.</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-73354176578176735572014-09-01T07:50:00.000+01:002015-11-07T19:02:51.360+00:00Afinal o que são e para que servem as tabelas de percentis?<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Todas os pais as conhecem, as famosas
tabelas de percentis de altura e peso dos bébés e crianças. Representam para
muitas mães motivo de angústia sobretudo se o seu rebento se encontra nos
“percentis mais baixos” ou se “descem de percentil”. Têm normalmente aspeto
semelhante a este.</span></span><br />
<br />
<table align="center" cellpadding="0" cellspacing="0" class="tr-caption-container" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align: center;"><tbody>
<tr><td style="text-align: center;"><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgf4IUexhOf5JfTkjfzi1SXGdtlCh8iYkt_W-hEOrevN0TnwaM084KqiLgQ6cZl_JbI80aZCCFpXRahmAFL-id7z0Rlu-Spd-owmgvNo_VPPMn4hIG8NDaBxaaf3jkUIXKBoXMblXguLA/s1600/Figura+dos+percentisIV.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: auto; margin-right: auto;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgf4IUexhOf5JfTkjfzi1SXGdtlCh8iYkt_W-hEOrevN0TnwaM084KqiLgQ6cZl_JbI80aZCCFpXRahmAFL-id7z0Rlu-Spd-owmgvNo_VPPMn4hIG8NDaBxaaf3jkUIXKBoXMblXguLA/s1600/Figura+dos+percentisIV.jpg" height="640" width="486" /></a></td></tr>
<tr><td class="tr-caption" style="text-align: center;"><span lang="PT" style="font-family: "Calibri","sans-serif"; font-size: 11pt; line-height: 115%; mso-ansi-language: PT; mso-ascii-theme-font: minor-latin; mso-bidi-font-family: "Times New Roman"; mso-bidi-language: AR-SA; mso-bidi-theme-font: minor-bidi; mso-fareast-font-family: SimSun; mso-fareast-language: ZH-CN; mso-fareast-theme-font: minor-fareast; mso-hansi-theme-font: minor-latin;">Figura
1. Tabelas de percentis de altura e peso de bébés dos 0 aos 2 anos, segundo o
standard da Organização Mundial de Saúde.</span></td></tr>
</tbody></table>
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Mas afinal o que é que são e o que
representam os percentis? Para responder a esta questão teremos que rever umas
das medidas importantes da estatística, os quantis. Tal como a média, a mediana
ou a moda, os quantis são medidas de
posição. </span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">A mediana (m) é a medida de localização
dos elementos numa amostra da população. A mediana é tal que 50% dos elementos da
amostra são menores ou iguais a m e os outros 50% maiores ou iguais a m. </span></span><br />
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;"></span></span><br />
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Ao
generalizar esta noção para definir outros intervalos de divisão dos elementos
da amostra populacional, obtêm-se os genericamente designados quantis. Diz-se
que um quantil de ordem p (com 0<p<1) é o valor Q<sub><span style="font-size: x-small;">p</span></sub> tal que 100xp%
dos elementos da amostra são menores ou iguais a Q<sub><span style="font-size: x-small;">p</span></sub> e os restantes
100x(1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Q<sub><span style="font-size: x-small;">p</span></sub>. Ou
seja, toma-se toda a amostra de população, ordena-se todos os elementos por
ordem crescente e divide-se a população em p partes iguais<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Aplicando esta definição à mediana,
verificamos que esta não é mais do que o quantil de ordem p=1/2, estamos a
dividir a população em duas partes iguais.<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Existem outras definições de quantis de
ordem específica que são muito utilizados, os quartis, os decis e os percentis.
Os nomes são sugestivos: nos quartis a população é dividida em 4 partes iguais,
nos decis em 10 partes iguais e nos percentis em 100 partes iguais.<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Por exemplo, aplicando esta noção aos
quartis, isto quer dizer que em cada quartil estão contidas ¼ ou 25% das
observações realizadas. Os quartis estão organizados da seguinte forma:</span></span></div>
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<ul>
<li><span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Q<sub><span style="font-size: x-small;">1</span></sub>=1º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=1/4</span></span></li>
</ul>
</div>
<span style="font-family: Calibri;"></span><br />
<ul>
<li><span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Q<sub><span style="font-size: x-small;">2</span></sub>=2º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=1/2</span></span></li>
</ul>
<span style="font-family: Calibri;"></span><br />
<ul>
<li><span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Q<sub><span style="font-size: x-small;">3</span></sub>=3º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=3/4<o:p></o:p></span></span></li>
</ul>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Note-se que o 2º quartil coincide com a
mediana, m.<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Pela mesma ordem de ideias, os centis ou
percentis, dividem a série ordenada em 100 partes iguais, contendo cada uma
delas 1/100, ou seja, 1% das observações.<span style="mso-spacerun: yes;">
</span>Assim, por exemplo:<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li><div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">C<sub><span style="font-size: x-small;">1</span></sub>=1º percentil, corresponde ao centil de ordem p=1/100<o:p></o:p></span></span></div>
</li>
</ul>
<br />
<ul style="text-align: left;">
<li><div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">C<sub><span style="font-size: x-small;">50</span></sub>=50º percentil, corresponde ao centil de ordem p=50/100=1/2<o:p></o:p></span></span></div>
</li>
</ul>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; margin: 0in 0in 10pt; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Com os valores correspondentes dos
percentis é possível criar gráficos com curvas de evolução de altura e peso
para cada percentil. Estes gráficos são denominados pelos pediatras como
tabelas de percentis. Tendo em conta o que foi dito, é fácil de perceber que as
curvas representadas nas tabelas de percentis dependem directamente da amostra de
população considerada, ou seja, para cada sub-grupo da população mundial
considerado poder-se-ia construir tabelas de percentis com aspectos diferentes
dependendo dos critérios de selecção utilizados para construir esse subgrupo.
Quer isto dizer que a mesma criança poderia pertencer a percentis de peso e
comprimento diferentes se os critérios de amostragem não fossem os mesmos.</span></span><br />
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;"></span></span><br />
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Numa
tentativa de uniformizar as tabelas, em meados dos anos 70 o “National Center
for Health Statistics” americano e a Organização Mundial de Saúde estabeleceram
tabelas de referência recomendadas para uso internacional. Estas tabelas de
referência apresentavam várias limitações ao nível do processo de amostragem e
dos métodos estatísticos utilizados, pelo que nos anos 90 foram revistas e
criou-se ou standard internacional para as tabelas de percentis. As crianças e
bébés incluídos na amostra de população deste novo standard consistiu de crianças
saudáveis a viver em condições favoráveis ao seu crescimento e à concretização
do seu potencial genético; as mães dessas crianças seguiam um estilo de vida
saudável, dos quais se destacam a abstenção de fumar e a amamentação dos bébés
com leite materno. Foram incluídas crianças de seis países diferentes (Brasil,
Ghana, Índia, Noruega, Oman e EUA), pelo que a amostra contém grande variedade
genética e étnica e variação cultural nos cuidados com as crianças. A principal
característica deste estudo é o estabelecimento da criança alimentada com leite
materno como o modelo para o crescimento e desenvolvimento (no estudo anterior
as crianças eram alimentadas maioritariamente com leite em pó).<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; line-height: normal; margin: 0in 0in 0pt; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">O novo
standard define como as crianças devem crescer, o que quer dizer que é mais
fácil identificar crianças com problemas ou patologias relacionadas com o
crescimento. À medida que a criança vai crescendo a sua altura e peso são
registadas no gráfico, para verificar se seguem uma determinada curva, o que
quer dizer que a criança se vai mantendo no mesmo percentil. Se a criança segue
uma determinada curva consistentemente de medição em medição, então tem um
crescimento saudável. Por exemplo, uma criança que segue a curva do percentil
C5 de altura é apenas uma criança saudável mais baixa do que a média, ao passo que uma
no percentil C90 é mais alta do que a média. Se o padrão de crescimento de uma
criança se altera repentinamente e o seu peso aumenta ou diminui
significativamente em termos de percentis, então o pediatra sabe que pode haver
um problema e actua no sentido de o identificar.<o:p></o:p></span></span></div>
<br />
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; line-height: normal; margin: 0in 0in 0pt; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify;">
</div>
<div class="MsoNormal" style="-ms-text-justify: inter-ideograph; line-height: normal; margin: 0in 0in 0pt; mso-layout-grid-align: none; text-align: justify;">
<span lang="PT" style="mso-ansi-language: PT;"><span style="font-family: Calibri;">Apenas uma
nota final para indicar que, embora os novos standards estejam disponíveis
desde 2006 para utilização por todos os países que o queiram fazer, e em 2012
tenha sido anunciado que as novas tabelas de percentis seriam adoptadas pelo Direcção-Geral
de Saúde em Portugal (<a href="http://www.publico.pt/sociedade/noticia/portugal-vai-adoptar-novas-curvas-de-crescimento-para-bebes-e-criancas-1566206">http://www.publico.pt/sociedade/noticia/portugal-vai-adoptar-novas-curvas-de-crescimento-para-bebes-e-criancas<span id="goog_1242424647"></span><span id="goog_1242424648"></span>-1566206</a>),
até hoje ainda não o fizeram, pelo que os bébés portugueses ainda são “classificados”
segundo as tabelas dos anos 70, que desfavorecem os bébés amamentados com leite
materno, cujo crescimento é normalmente um pouco mais lento nos primeiros meses
de vida.</span></span></div>
</div>
Ana Silvahttp://www.blogger.com/profile/06666936824832518623noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-8947303990237166272014-06-25T20:42:00.000+01:002019-11-07T10:35:11.721+00:00Média, mediana e moda - exemplo simples<div style="text-align: justify;">
Anda muita confusão na cabeça de muita gente com algo que é muito simples de entender.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Imaginemos 5 irmãos que vão à pasterlaria com a sua mãe. O primeiro irmão come 1 bolo, o segundo 2
bolos, o terceiro 3 bolos, o quarto 7 bolos, e o quinto 7 bolos, ou seja:<br />
<style>
#brothers td{
border: 1px solid black;
padding: 5px;
}
#brothers{
border-collapse: collapse;
margin: 0 auto;
}
</style>
<br />
<div style="text-align: center;">
<table id="brothers">
<tbody>
<tr><td>Irmão</td><td>Bolos comidos</td></tr>
<tr><td>1º</td><td>1</td></tr>
<tr><td>2º</td><td>2</td></tr>
<tr><td>3º</td><td>3</td></tr>
<tr><td>4º</td><td>7</td></tr>
<tr><td>5º</td><td>7</td></tr>
</tbody>
</table>
</div>
<br />
<b><br /></b>
<b>Média</b><br />
<br />
A<b> média</b> será apenas a soma do número total de bolos comidos, a dividir pelo número total de irmãos, ou seja, a sua mãe tem de saber o <u>número total de bolos comprados</u> e apenas dividir pelo <u>número total de filhos</u>, para saber quantos bolos come <u>em média</u> cada filho:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJniaWrjDbFIeCR1re0VMX_yZtOWDY2-fX_Qne5LFOCT_7jSnj-_vT5qTs4a9fh-v0ZKf0jCZzW7X559335T-2SVFzes4dJNK36qwj0-pipSS43FduI-E6e40Rn90pMf2NPys0G8Rna2Kh/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiJniaWrjDbFIeCR1re0VMX_yZtOWDY2-fX_Qne5LFOCT_7jSnj-_vT5qTs4a9fh-v0ZKf0jCZzW7X559335T-2SVFzes4dJNK36qwj0-pipSS43FduI-E6e40Rn90pMf2NPys0G8Rna2Kh/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
Cada filho, em média, come 4 bolos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Mediana</b><br />
<br />
Todavia a <b>mediana</b> será 3. Excluindo o filho do meio que comeu 3 bolos, <u>metade dos filhos comeu menos de 3 bolos</u> sendo que a <u>outra metade comeu mais de 3 bolos</u>. Ou seja, a mediana é o número de bolos que comeu o "filho do meio", quando os filhos estão ordenados pelo número de bolos que comem.<br />
<br />
Neste caso, como o filho do meio comeu 3 bolos, a mediana será 3.<br />
<br />
<b>Moda</b></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A <b>moda</b> será 7, pois <u>é o número de pedidos que aparece em maior número;</u> houve dois irmãos que comeram 7 bolos. O empregado de mesa (garçon) da pastelaria a quem a mãe fez os pedidos, lembra-se-á que há vários pedidos, mas há um pedido que aparece em duplicado, ou seja, em maior número, neste caso é 7, pois dois dos irmãos pediram 7 bolos, enquanto nos restantes, todos os pedidos são diferentes.<br />
<br />
Caso o primeiro, o segundo e o terceiro irmãos tivessem pedidos todos, cada um, 1 bolo, a moda seria 1, pois haveriam três pedidos de 1 bolo, e apenas dois pedidos, de 7 bolos.</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-56935100614385487882014-05-01T19:37:00.000+01:002015-11-07T19:08:58.563+00:00Como encontrar raízes de polinómios de terceiro grau<div style="text-align: justify;">
Este é de facto um tema não debatido ao longo da nossa formação em Matemática, mas definitivamente muito útil nas mais diversas tarefas com que alguém se pode deparar, desde a simples análise da expressão de uma função até ao cálculo de limites, integrais, etc. Note-se que existe sempre pelo menos uma raiz real de um polinómio de terceiro grau, pelo que este problema tem sempre, pelo menos, uma solução real.<br />
<br />
Antes de mais, devemos recordar o teorema fundamental da álgebra e as implicações naturais que derivam deste. O resultado mais relevante que daqui se pode retirar é:</div>
<br />
Dado um polinómio complexo de ordem <i>n</i>,<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQpr8qefdFLeQiXZpno7dhyWrp18opKCA_V941LmrHxAy3y899v1SRS0tcAyhi9KOEzpdiTfFBUW_66wOP6HTtvBoTCOj3x9mi8SK86C3sz_n_iEeLK7CeChfef7wP2EX3OtbAa8-03Z0t/s1600/CodeCogsEqn.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjQpr8qefdFLeQiXZpno7dhyWrp18opKCA_V941LmrHxAy3y899v1SRS0tcAyhi9KOEzpdiTfFBUW_66wOP6HTtvBoTCOj3x9mi8SK86C3sz_n_iEeLK7CeChfef7wP2EX3OtbAa8-03Z0t/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
este terá <i>n</i> raízes complexas<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhl0bQBjrhPBR1sBjnPxUIH78UTM_I8sIG-mPlxZjh-A7emE4MQ1C6Y-DrUqPMFxBkE3cyE-VPHk9DTqgZd9aG8etaYvRDk2F_EQUztJLPHQvio3ldxSN0ztgS39jb7fiqCqSZibNS9_UI/s1600/CodeCogsEqn(1).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjhl0bQBjrhPBR1sBjnPxUIH78UTM_I8sIG-mPlxZjh-A7emE4MQ1C6Y-DrUqPMFxBkE3cyE-VPHk9DTqgZd9aG8etaYvRDk2F_EQUztJLPHQvio3ldxSN0ztgS39jb7fiqCqSZibNS9_UI/s1600/CodeCogsEqn(1).gif" /></a></div>
<br />
(excluindo multiplicidades) e podemos escrever:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7yhxNZpdV6GhcTZZE3BN0-sfWnBDrSNAJdIPZI0IYv6QI9VutprYcG6F3p9QO_PZy9R3xhGaVAwYPvUQTn8LPPYeptMtkBvsERJrxLUVtCehj7mIsmtouYpSi0Hfy3hMI3-dgah9F8jCn/s1600/CodeCogsEqn(2).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg7yhxNZpdV6GhcTZZE3BN0-sfWnBDrSNAJdIPZI0IYv6QI9VutprYcG6F3p9QO_PZy9R3xhGaVAwYPvUQTn8LPPYeptMtkBvsERJrxLUVtCehj7mIsmtouYpSi0Hfy3hMI3-dgah9F8jCn/s1600/CodeCogsEqn(2).gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Num contexto real, devemos ter em conta que poderão não existir as n raízes, mas nunca poderá dar-se o caso de nenhuma raiz existir. A minha sugestão é proceder-se sempre ao cálculo das raízes complexas e, se o exercício apenas tomar uma dimensão real, desconsiderar as raízes em que a parte imaginária é diferente de zero. Tendo em conta o uso da fórmula resolvente, o facto de se considerar números complexos não obrigada a um vasto conhecimento desta área, mas antes da igualdade fundamental desta dimensão</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie1wj6mcID8k_O_oICxzNWWQ9vxSzruUVT_mhYECxAg_i26hNO-IPPcRJ_dk86xoJdOYBHtvAlc4m-apQ52S9O4gic7BWptfE2mkKX4X1nS3m_T6CUyLP24LF-ffCGJjnf2yMkbNUegoP8/s1600/CodeCogsEqn(3).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEie1wj6mcID8k_O_oICxzNWWQ9vxSzruUVT_mhYECxAg_i26hNO-IPPcRJ_dk86xoJdOYBHtvAlc4m-apQ52S9O4gic7BWptfE2mkKX4X1nS3m_T6CUyLP24LF-ffCGJjnf2yMkbNUegoP8/s1600/CodeCogsEqn(3).gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Portanto o problema de encontrar raízes de terceiro grau é resumido ao problema de encontrar uma raiz em um polinómio de terceiro grau. Muito honestamente, isto usualmente faz-se por um processo tentativa erro, apesar de existir uma "fórmula resolvente" para polinómios do terceiro grau (com uma expressão geral pouco prática)</div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Posto tudo isto, então como se procede para encontrar as raízes de um polinómio de terceiro grau?
De uma forma geral, podemos definir este polinómio como:<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhT5zK1GW4_8O_PMJ20J-vdB-IsD1pxPcumWVHCs8Ed4R1lFxfO7mPe7zBTVks8B9Nmy90Nnwu1Np6FYIgVF50hyphenhyphenQUNkf0_dDUTFePqp5EbcBvqKXBpyPobhOYgnorlrRfT7G_GJQjmOWu-/s1600/CodeCogsEqn(4).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhT5zK1GW4_8O_PMJ20J-vdB-IsD1pxPcumWVHCs8Ed4R1lFxfO7mPe7zBTVks8B9Nmy90Nnwu1Np6FYIgVF50hyphenhyphenQUNkf0_dDUTFePqp5EbcBvqKXBpyPobhOYgnorlrRfT7G_GJQjmOWu-/s1600/CodeCogsEqn(4).gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
onde <b>a</b>, <b>b</b>, <b>c</b>, <b>d</b> são os coeficientes, constantes, do polinómio de terceiro grau. Ora, <b>d</b> não depende de <b>x</b>, portanto faz sentido tentar igualar tudo o que depende da nossa variável a este valor independente. Para isso, tomamos os divisores de <b>d</b>, isto é, os números que permitam que a divisão de <b>d</b> por eles dê resto nulo. Um desses divisores será uma raiz do polinómio e, através desta, podemos fatorizar o polinómio de terceiro grau num produto de um polinómio de primeiro grau com um de segundo.
<br />
<br />
Finalmente, podemos aplicar a fórmula resolvente ao polinómio que obtemos como coeficiente desta divisão de polinómios e encontrar as restantes raízes do polinómio de terceiro grau. Note-se que esta não é uma técnica infalível mas apenas uma muito útil na grande maioria dos casos. Para além desta, costuma ser útil colocar <b>x</b> em evidência, ou expressões de primeiro grau, dado que assim já determinámos uma raiz para o problema.
<br />
<br />
Nota: A divisão supra referida pode ser simplesmente feita através da chamada regra de Ruffini; um exemplo explicado pode ser encontrado em <a href="http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html">http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html</a>.<br />
<br />
Por exemplo, tomemos o polinómio<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1uAGrytg8Jf6QlQQoGrPH1aIojXx176mfmTQgVEiwLAL2tFpXBIvQTIUngUQWfTEhvJWzEfUdP3tlSaqWdtkXYPqv-xBAoFD5ZTnjff2yQ_lJYTYIOCAgCrBxJKLj6KufIuPLKGhWMdah/s1600/CodeCogsEqn(5).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEi1uAGrytg8Jf6QlQQoGrPH1aIojXx176mfmTQgVEiwLAL2tFpXBIvQTIUngUQWfTEhvJWzEfUdP3tlSaqWdtkXYPqv-xBAoFD5ZTnjff2yQ_lJYTYIOCAgCrBxJKLj6KufIuPLKGhWMdah/s1600/CodeCogsEqn(5).gif" /></a></div>
<br />
Os divisores de 1 são 1 e -1. Substituindo <b>x</b> por -1 na expressão percebemos que este é de facto uma raiz do polinómio. Assim, temos que<br />
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUi6LXZRrhjWLxgdweJLkNpTy4RGjAASxsCuM_KSwJaVxloqHQHNxRcazZKa1MAJ45VngpMDXfxJIqiTjK3Y55EQaeO4BIwuMKNgJZrYzgWnxLLvqzQRymQaNzailXbYcdOUXAZye63Ae1/s1600/CodeCogsEqn(6).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgUi6LXZRrhjWLxgdweJLkNpTy4RGjAASxsCuM_KSwJaVxloqHQHNxRcazZKa1MAJ45VngpMDXfxJIqiTjK3Y55EQaeO4BIwuMKNgJZrYzgWnxLLvqzQRymQaNzailXbYcdOUXAZye63Ae1/s1600/CodeCogsEqn(6).gif" /></a></div>
<br />
Claramente que<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjolSa8Spm4FBI-Uxrq64UGVHRiHFvJN2zA5eUKwfTocyFn963ATxHIEv4rHy5PrZnJuGLqxxRbrtD78ZvAoRLpmJH-zMyRezfSVk5pBgsGnKpLnDWRR0dswNhhXBV3a6p29Q8nWwG3pxMD/s1600/CodeCogsEqn(7).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjolSa8Spm4FBI-Uxrq64UGVHRiHFvJN2zA5eUKwfTocyFn963ATxHIEv4rHy5PrZnJuGLqxxRbrtD78ZvAoRLpmJH-zMyRezfSVk5pBgsGnKpLnDWRR0dswNhhXBV3a6p29Q8nWwG3pxMD/s1600/CodeCogsEqn(7).gif" /></a></div>
<br />
e realizando a divisão dos polinómios chegamos a<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMUd5LDBKgDzgWYqqpO8oO4YZerc-C2SRY_uCRKxB5WtoGL3ZUgfoDSQdj_fb-p_j540G29SpL6vOqJs36G9M0J2sKNS3aN0oZ8D4twetDx9dft6HwdthYpyWCmzcmMhkWfHITIXaujs5e/s1600/CodeCogsEqn(8).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMUd5LDBKgDzgWYqqpO8oO4YZerc-C2SRY_uCRKxB5WtoGL3ZUgfoDSQdj_fb-p_j540G29SpL6vOqJs36G9M0J2sKNS3aN0oZ8D4twetDx9dft6HwdthYpyWCmzcmMhkWfHITIXaujs5e/s1600/CodeCogsEqn(8).gif" /></a></div>
<br />
e este último terá como raízes i e -i. Assim, as raízes de <b>P(x)</b> são <b>-1</b>, <b>i</b> e <b>-i</b>.<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Este mesmo processo pode ser aplicado a polinómios com coeficientes diferentes da unidade. Seja</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoLt0pIpUn0rEabhRkIs9SwGkO6DumTx83C0AZ8bMO6f8DxH-MIP4-jJSwvQqzfgVo1i2b6nGLm2Sj63I3youwuOJLoJC-mhLLx-B2MG4-zZdZ4eUxp59GUX2mqYx4fPIHc-cspqFWfRzH/s1600/CodeCogsEqn(9).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhoLt0pIpUn0rEabhRkIs9SwGkO6DumTx83C0AZ8bMO6f8DxH-MIP4-jJSwvQqzfgVo1i2b6nGLm2Sj63I3youwuOJLoJC-mhLLx-B2MG4-zZdZ4eUxp59GUX2mqYx4fPIHc-cspqFWfRzH/s1600/CodeCogsEqn(9).gif" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
os divisores de 18 são 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9. Claro que o processo parece moroso, tendo em conta o número de divisores de 18 tem, mas à priori podemos, fazendo aquilo a que se chama uma análise "a olho", excluir 9, -9, 6, -6 dado que<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiryMkCoNiLZVU6wHTvsqQuImaMaUutcZmeyK1PKSojEHgco6Kxo2YiF4qax9Zk8QYO0vqXoe5vv3rIL8YFC6TAB7unZDOCeTAr9bvyIB_Macq7_LY1AAp01TXNl4irhu2loJKgBcRF51Dt/s1600/CodeCogsEqn(10).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiryMkCoNiLZVU6wHTvsqQuImaMaUutcZmeyK1PKSojEHgco6Kxo2YiF4qax9Zk8QYO0vqXoe5vv3rIL8YFC6TAB7unZDOCeTAr9bvyIB_Macq7_LY1AAp01TXNl4irhu2loJKgBcRF51Dt/s1600/CodeCogsEqn(10).gif" /></a>e<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLkoWwkWRR_2bNfOpFNfM960rUcoML-6hDyZAplcnMH_sbMGTMBNCOSzqfRnU7I_6_met5wINttBz5Ghc1FGcB1zqEBZjpb-h1sc3KJAvOHu4RYjA1MnRaverUWlrGBEmdh4yfkh2Z6SPQ/s1600/CodeCogsEqn(11).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiLkoWwkWRR_2bNfOpFNfM960rUcoML-6hDyZAplcnMH_sbMGTMBNCOSzqfRnU7I_6_met5wINttBz5Ghc1FGcB1zqEBZjpb-h1sc3KJAvOHu4RYjA1MnRaverUWlrGBEmdh4yfkh2Z6SPQ/s1600/CodeCogsEqn(11).gif" /></a>que são números demasiado elevados para conseguirmos anular com o remanescente da expressão) e (por um motivo contrário) 1 e -1. Testando chegaríamos mesmo a que -3 é raiz do polinómio e assim ficávamos com:</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiecsElhggLs89tMqyQJYKTnJ11wSUA5f4z8BkMEhcz9JJyRATGOaqV_1tBvewmcbWs3Pvd0nl2JUtsiSnN-Ppz7zTb_erdGph87TFd1iBwvzoTJ_X2qn2LR6gZNI3otmwVNWZMl4-rl-7/s1600/CodeCogsEqn(12).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiiecsElhggLs89tMqyQJYKTnJ11wSUA5f4z8BkMEhcz9JJyRATGOaqV_1tBvewmcbWs3Pvd0nl2JUtsiSnN-Ppz7zTb_erdGph87TFd1iBwvzoTJ_X2qn2LR6gZNI3otmwVNWZMl4-rl-7/s1600/CodeCogsEqn(12).gif" /></a></div>
<br />
e de uma forma natural seríamos capazes de determinar que as raízes do polinómio serão:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWU22EmLgUOMCXTDVQ2oJjEMm_upRK55RUrjA6WQsW1loW8ktnwVtX4TRfU0DsIss2UMvM3aDzuAyiv5WGSZZyq3_W6S7pmvqkOdem1Ek-W7p95QSZor9gkswZDvIsItUbPNIysvNgYU21/s1600/CodeCogsEqn(13).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWU22EmLgUOMCXTDVQ2oJjEMm_upRK55RUrjA6WQsW1loW8ktnwVtX4TRfU0DsIss2UMvM3aDzuAyiv5WGSZZyq3_W6S7pmvqkOdem1Ek-W7p95QSZor9gkswZDvIsItUbPNIysvNgYU21/s1600/CodeCogsEqn(13).gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Quando nenhuma manipulação ou teste permitir chegar a qualquer raiz do polinómio (que não deverá acontecer em qualquer cadeira/disciplina de matemática que tomem ao longo da formação académica) sobram os processos numéricos, como o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson, ou a "fórmula resolvente" para grau 3, que pode ser encontada em "Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X".
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/02755966269068701020noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-5333526720697360162014-04-02T12:11:00.000+01:002015-11-07T19:07:00.177+00:00Programação Linear - Apresentação nas formas Geral, Canónica e Standard<div class="separator" style="clear: both; text-align: left;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">Como foi visto no anterior artigo de Programação Matemática, um
Problema de Programação Linear (PPL) após a sua formulação apresenta-se na forma:</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<br />
Max (ou Min) z = F(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>)
= c<sub>1</sub> x<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> x<sub>2</sub> + ... +
c<sub>n</sub> x<sub>n</sub><br />
s.a.<br />
g<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>)
= a<sub>1</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>12</sub> x<sub>2</sub>
+ ... + a<sub>1n</sub> x<sub>n</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, =,</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">b</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1</sub><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
g<sub>2</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>)
= a<sub>2</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>22</sub> x<sub>2</sub>
+ ... + a<sub>2</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, =,</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">b<sub>2</sub></span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; vertical-align: sub;">...</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> g<sub>m</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,
..., x<sub>n</sub>) = a<sub>m</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>m2</sub>
x<sub>2</sub> + ... + a<sub>m</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, =,</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">b<sub>m</sub></span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><sub><br />
</sub></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; text-align: justify;">Mas esta forma na maior parte das vezes não é adequada como
ponto de partida para uma resolução. Existem muitos métodos para
resolver problemas de programação linear, e a maior parte deles requer
uma simplificação que se traduz na adaptação à notação matricial, e
que esta facilmente pode ser introduzida em qualquer aplicação ou folha
de cálculo que possua algoritmos de resoluções deste tipo de problemas.
Assim, dever-se-á determinar todos os coeficientes efectivos necessários
ao uso de qualquer método e algoritmo.</span><br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br />
<b>Forma Geral</b><br />
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Aos coeficientes c<sub>i</sub> dá-se geralmente o nome de <i>custos</i>.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Este PPL diz-se estar na <i>forma geral</i> porque a função
objectivo (f.o.) pode ser maximizada ou minimizada e as restrições
podem apresentar qualquer das três formas {</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">,=,</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">}.</span></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
Nesta forma admite-se que um PPL possa apresentar variáveis,</div>
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">não
negativas:</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWnxYqeskB2S0XsAuB705eJmfMtY_F_BwccZfFHpUwPMMBDFZz4a6li8FEIDfc2npfFRSKIt-iBZ-Glqf_PyzZ3XijYEp4Z9OpP6Fzuzk_7GTJ9CMc-gp2I5v_482k6GzZ3djOotPwclM/s1600/6+xi+n%C3%A3o+negativo.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWnxYqeskB2S0XsAuB705eJmfMtY_F_BwccZfFHpUwPMMBDFZz4a6li8FEIDfc2npfFRSKIt-iBZ-Glqf_PyzZ3XijYEp4Z9OpP6Fzuzk_7GTJ9CMc-gp2I5v_482k6GzZ3djOotPwclM/s1600/6+xi+n%C3%A3o+negativo.JPG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">não positivas:</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUbNEoMZl5hYP_tpYJIa9EkEWNmM07ap45jXubf-g4WegT9GC9q5_1-liyLrbN5jo3meI9UwXBs7xsIv_7D7Re0Q5hP5tkeVg7ZETNnBhwAqjlWaYW4lRqOq-rV7p4mom-W0I2p1np39Q/s1600/6+xi+n%C3%A3o+positivo.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiUbNEoMZl5hYP_tpYJIa9EkEWNmM07ap45jXubf-g4WegT9GC9q5_1-liyLrbN5jo3meI9UwXBs7xsIv_7D7Re0Q5hP5tkeVg7ZETNnBhwAqjlWaYW4lRqOq-rV7p4mom-W0I2p1np39Q/s1600/6+xi+n%C3%A3o+positivo.JPG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">livres ou independentes:</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfdsv5jSy3Szvm_ksYDd9C_VgkTjRWz6GQmLTely_yM-TeMpbrSZXZ25uo5X3Ovn4WT_K8SFaLu9zGGXOGu4AQnrNcpwsA9UGTuET4pWM1BdrFS_YA4DzZN_9kfJw3PBNtS0ZU4RsVkmM/s1600/6+xi+real+livre.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfdsv5jSy3Szvm_ksYDd9C_VgkTjRWz6GQmLTely_yM-TeMpbrSZXZ25uo5X3Ovn4WT_K8SFaLu9zGGXOGu4AQnrNcpwsA9UGTuET4pWM1BdrFS_YA4DzZN_9kfJw3PBNtS0ZU4RsVkmM/s1600/6+xi+real+livre.JPG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
Um PPL diz-se estar na <i>forma canónica</i> quando:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- pretende-se maximizar a função objectivo;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- as restrições forem do tipo</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a>;</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- todas as
variáveis forem não negativas:</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWnxYqeskB2S0XsAuB705eJmfMtY_F_BwccZfFHpUwPMMBDFZz4a6li8FEIDfc2npfFRSKIt-iBZ-Glqf_PyzZ3XijYEp4Z9OpP6Fzuzk_7GTJ9CMc-gp2I5v_482k6GzZ3djOotPwclM/s1600/6+xi+n%C3%A3o+negativo.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWnxYqeskB2S0XsAuB705eJmfMtY_F_BwccZfFHpUwPMMBDFZz4a6li8FEIDfc2npfFRSKIt-iBZ-Glqf_PyzZ3XijYEp4Z9OpP6Fzuzk_7GTJ9CMc-gp2I5v_482k6GzZ3djOotPwclM/s1600/6+xi+n%C3%A3o+negativo.JPG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
Ainda, diz-se que um PPL encontra-se na <i>forma standard</i>
quando:</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- pretende-se maximizar a função objectivo;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- as restrições forem
do tipo = ;</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- todas as variáveis forem não negativas:</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWnxYqeskB2S0XsAuB705eJmfMtY_F_BwccZfFHpUwPMMBDFZz4a6li8FEIDfc2npfFRSKIt-iBZ-Glqf_PyzZ3XijYEp4Z9OpP6Fzuzk_7GTJ9CMc-gp2I5v_482k6GzZ3djOotPwclM/s1600/6+xi+n%C3%A3o+negativo.JPG" imageanchor="1" style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiWnxYqeskB2S0XsAuB705eJmfMtY_F_BwccZfFHpUwPMMBDFZz4a6li8FEIDfc2npfFRSKIt-iBZ-Glqf_PyzZ3XijYEp4Z9OpP6Fzuzk_7GTJ9CMc-gp2I5v_482k6GzZ3djOotPwclM/s1600/6+xi+n%C3%A3o+negativo.JPG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Para resolver um PPL, é geralmente necessário que se encontre na sua
forma mais amigável - a <i>forma standard</i>.</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<b><div style="text-align: justify;">
<b>Forma Canónica</b></div>
</b>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Em ordem a transformar um problema na forma geral para a forma
canónica, deve tornar-se o problema numa maximização com restrições
de sinal</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">e variáveis não negativas.</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
1. No caso de o problema ser uma minimização pode dizer-se que
minimizar uma função é equivalente a maximizar a sua simétrica, isto
é,</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Min F = Max G (em que G = -F).</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">2. Para esta forma, pretende-se que todas as restrições figurem com o sinal</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">. Quando as restrições tiverem sinal</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">ou = ,
deveremos rescrevê-las:</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- Se se tiver uma restrição com sinal</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">devemos
multiplicar toda a restrição por -1 (Esta operação nem sempre será
útil, pois afectará também o termo independente que poderá ficar
negativo).</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
- Se se tiver uma restrição com sinal = é possível
rescrevê-la,</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
a<sub>i</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>i</sub><sub>2</sub>
x<sub>2</sub> +...+ a<sub>i</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub> = b<sub>i</sub> <=></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">a<sub>i</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>i</sub><sub>2</sub>
x<sub>2</sub> +...+ a<sub>i</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub></span> <=<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><sub> </sub></span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">b<sub>i</sub> e a<sub>i</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>i</sub><sub>2</sub>
x<sub>2</sub> +...+ a<sub>i</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub></span> >= b<sub>i</sub></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
3. Quanto à imposição de não negatividade das variáveis:</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- Quando se tem
uma variável não positiva x<sub>i</sub> <= 0, deve considerar-se y<sub>i</sub> = - x<sub>i</sub> >= 0, e assim substituir todos os x<sub>i</sub> por -</span>y<sub>i</sub> tanto na f.o.
como em todas as restrições.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">- Quando se tem uma variável livre</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfdsv5jSy3Szvm_ksYDd9C_VgkTjRWz6GQmLTely_yM-TeMpbrSZXZ25uo5X3Ovn4WT_K8SFaLu9zGGXOGu4AQnrNcpwsA9UGTuET4pWM1BdrFS_YA4DzZN_9kfJw3PBNtS0ZU4RsVkmM/s1600/6+xi+real+livre.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfdsv5jSy3Szvm_ksYDd9C_VgkTjRWz6GQmLTely_yM-TeMpbrSZXZ25uo5X3Ovn4WT_K8SFaLu9zGGXOGu4AQnrNcpwsA9UGTuET4pWM1BdrFS_YA4DzZN_9kfJw3PBNtS0ZU4RsVkmM/s1600/6+xi+real+livre.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, deve
tomar-se em conta que pode escrever-se x<sub>i</sub> como diferença
de duas variáveis artificiais não negativas: </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">x<sub>i</sub>
= y<sub>i</sub> - z<sub>i</sub> , com y<sub>i</sub> , z<sub>i </sub></span>>= <span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">0 (observe-se que x<sub>i</sub> permanece livre).</span></div>
</span><br />
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<b></b></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><b><b>Forma Standard</b></b></span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A passagem à <i>forma standard</i> é mais simples por não envolver mais
alterações na f.o. nem nas variáveis, ficando apenas por transformar todas as restrições em igualdades. Este procedimento é conseguido
com a introdução de novas variáveis designadas por <i>folgas </i>ou <i>desvios</i>
( f<sub>i</sub></span> >= <span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">0).</span></div>
</span><br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Com
efeito, verifica-se facilmente que para a restrição i existe um
real </span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">f</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">i</sub> >= <span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">0, tal que,</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">a<sub>i</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>i</sub><sub>2</sub>
x<sub>2</sub> + ... + a<sub>i</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">b<sub>i</sub> <=> a<sub>i</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>i</sub><sub>2</sub>
x<sub>2</sub> + ... + a<sub>i</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub> + f<sub>i</sub>
= b<sub>i</sub> (*)</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
Em notação matricial, pode escrever-se um PPL na <i>forma standard</i>:</div>
</span><br />
<br />
<div style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwd6MxUcNBrUkt1XeR2MFFJRCEFbztwB-eD1Oy52r_swrFbZm_OjlsFXVK1L8pciw73P6PXsXrLt3pXVeuFWdoHLLgqtofMzlW481pn6QJmbzmmfhoG6eUffZfl8cpfz1F4mOJkpaIYgs/s1600/6+PPL+fo+nota%C3%A7%C3%A3o+matricial.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgwd6MxUcNBrUkt1XeR2MFFJRCEFbztwB-eD1Oy52r_swrFbZm_OjlsFXVK1L8pciw73P6PXsXrLt3pXVeuFWdoHLLgqtofMzlW481pn6QJmbzmmfhoG6eUffZfl8cpfz1F4mOJkpaIYgs/s1600/6+PPL+fo+nota%C3%A7%C3%A3o+matricial.JPG" /></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
s.a.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPSgcI0oXxgO9IU4OT3PfvtNc8ZPsgnF8j2BkP-ixUn0ASDNhVLIbyIZ0bjN57XMmffgf6HGbXGbVddkcp994H4CiVApr-7VyJ2WkephByDwLDQ7wCJA7ITBIBtwvjECtJ3O7GquSrRb4/s1600/6+PPL+nota%C3%A7%C3%A3o+matricial.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhPSgcI0oXxgO9IU4OT3PfvtNc8ZPsgnF8j2BkP-ixUn0ASDNhVLIbyIZ0bjN57XMmffgf6HGbXGbVddkcp994H4CiVApr-7VyJ2WkephByDwLDQ7wCJA7ITBIBtwvjECtJ3O7GquSrRb4/s1600/6+PPL+nota%C3%A7%C3%A3o+matricial.JPG" /></a></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> </span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPg2uyPVE-oj3K-3bCfoJYrvBiQJdxjQbBJ-LgUwBhL8jA7aTS7bIzfzh5PTnPeP9SCiD-aSbIos5fNU3nK-v27SSaT3f55h7wFmxeFfJPEPRhw_BWFyFpabyjGOLNfQDUyiqVGpU_DFI/s1600/6+PPL+coeficientes+nota%C3%A7%C3%A3o+matricial.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjPg2uyPVE-oj3K-3bCfoJYrvBiQJdxjQbBJ-LgUwBhL8jA7aTS7bIzfzh5PTnPeP9SCiD-aSbIos5fNU3nK-v27SSaT3f55h7wFmxeFfJPEPRhw_BWFyFpabyjGOLNfQDUyiqVGpU_DFI/s1600/6+PPL+coeficientes+nota%C3%A7%C3%A3o+matricial.JPG" /></a></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">onde X é vector-coluna das variáveis incluindo as folgas e outras
variáveis artificiais que mais tarde poderão figurar no sistema; </span>C<sup>T </sup><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">é o
vector-linha dos custos correspondentes; A é matriz de coeficientes
das restrições; B é o vector-coluna dos termos independentes (t.i.)
das equações das restrições.</span></div>
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Usualmente a resolução por qualquer método de programação linear
parte de uma solução inicial ou de arranque, que no caso da Origem
do referencial ser uma solução admissível, será poderá ser essa a solução inicial; fazendo x</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">1</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">,
x</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">2</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">, ..., x</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">n</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> = 0 então tem-se X = 0 e em (*) f</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">i</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
= b</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">i</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> o que significa que se X</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">f</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> for o
vector-coluna apenas das variáveis de folga e artificiais então X</span><sub style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">f</sub><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
= B.</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"></span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Exemplo 2: Colocar o seguinte programa na <i>forma </i><i>standard</i>:</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
</span><br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHA5epWnECuNs-POIHHT2zqSQ-i5IPEUbMJDIu1vPDjpcwJTlHI5wrNrahhhCTdBM2y-of4aFQFlO099KL3RnNrEi0DiWauoePx6cjtE5mSV0iEtu8aKCRou30zbsL441VtBLxcBFR5Fg/s1600/6+x1+x2+x3+PPL.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhHA5epWnECuNs-POIHHT2zqSQ-i5IPEUbMJDIu1vPDjpcwJTlHI5wrNrahhhCTdBM2y-of4aFQFlO099KL3RnNrEi0DiWauoePx6cjtE5mSV0iEtu8aKCRou30zbsL441VtBLxcBFR5Fg/s1600/6+x1+x2+x3+PPL.JPG" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRPYnPsoRhlaiXA-nzoIwtA-9v-vVdeT94MhxXL29eYSAAQMGywZgxHiNCq6oKy0-qENLZjtz2U7bwZfWaMIgA-CnjGzFUJ3WW1ZA3zCh0QL9pkBoqVhQXOHT8_dHN5sD-i79bL3y3AC0/s1600/6+x1+x2+x3.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgRPYnPsoRhlaiXA-nzoIwtA-9v-vVdeT94MhxXL29eYSAAQMGywZgxHiNCq6oKy0-qENLZjtz2U7bwZfWaMIgA-CnjGzFUJ3WW1ZA3zCh0QL9pkBoqVhQXOHT8_dHN5sD-i79bL3y3AC0/s1600/6+x1+x2+x3.JPG" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Pode observar-se que de facto o problema encontra-se na <i>forma geral</i> de acordo com o que se dispôs anteriormente. M</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">as devem ser feitas algumas alterações para reformulá-lo, primeiro para a </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">forma canónica</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> e depois para a </span><i style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">forma standard</i><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">: </span></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
<u style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Na função objectivo</u><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">: uma vez que Min F = Max G (com G = -F),</span></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Min F = 8 x<sub>1</sub> + 4 x<sub>2</sub> - 5 x<sub>3</sub><sub> </sub> <=> Max
G = - 8 x<sub>1</sub> - 4 x<sub>2</sub> + 5 x<sub>3</sub><sub> </sub> </div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Quando for determinado o valor óptimo G*, então ter-se-á também F* = -G*</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<u><div style="text-align: justify;">
<u>Nas restrições</u></div>
</u>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A primeira restrição já está com o tipo que se pretende para a forma canónica.</div>
<div style="text-align: justify;">
A segunda restrição será multiplicada por -1, e obter-se-á,</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> -3 x<sub>1</sub> + 2 x<sub>2</sub> - 5 x<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">-12</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A terceira restrição poderá ser rescrita como o sistema,</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> - x<sub>1</sub> + 2 x<sub>2</sub> + 2 x<sub>3</sub> = 10 <=> - x<sub>1</sub> + 2 x<sub>2</sub> + 2 x<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">10 e - x<sub>1</sub> + 2 x<sub>2</sub> + 2 x<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">10</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
e portanto</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> - x<sub>1</sub> + 2 x<sub>2</sub> + 2 x<sub>3</sub> = 10 <=> - x<sub>1</sub> + 2 x<sub>2</sub> + 2 x<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">10 e x<sub>1</sub> - 2 x<sub>2</sub> - 2 x<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a>-<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">10</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<u><div style="text-align: justify;">
<u>Nas variáveis</u></div>
</u>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A variável x<sub>1</sub> é não negativa e não precisa de ser alterada.</div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A variável x<sub>2</sub> é não positiva, logo devemos considerar y<sub>2</sub> = - x<sub>2</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">0 que é não negativa.</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">A variável x<sub>3</sub> é livre, mas podemos rescrevê-la como diferença entre duas outras variáveis não negativas: x<sub>3</sub> = y<sub>3</sub> - z<sub>3</sub> , y<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">0 , z<sub>3</sub></span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjt2sc9Ak7eXo0oLSKxTbNoOKkWrA_0SFthw0Cu7GCdzSxiIOkGOyxWt-qKbaCQBvWyN9OLTZvAL_MmyzwTPoeNoHSWTeOjcq5IhmIqdug91d02TXayd1pVse-RSBRyvW2_u8a2DcxRITk/s1600/6+gte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">0.</span></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><br /></span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">
<div style="text-align: justify;">
Em resumo, apresenta-se o problema na <i>forma canónica</i>,</div>
</span><br />
<br />
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihkoH4C5pOHPB50mlHKQmhtFXwXCuHCq9wei6VcmcoSbXAnNGF8dfaBAxKvGQvoxv11o9eLSXFjfWfSVSk0X9JrAt1CCsONUqg9OcQHs0O4ltohJQ1rFvRLsyrB5-uNuWLckHcx8WbU4Q/s1600/6+x1+x2+x3+PPL+forma+can%C3%B3nica.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEihkoH4C5pOHPB50mlHKQmhtFXwXCuHCq9wei6VcmcoSbXAnNGF8dfaBAxKvGQvoxv11o9eLSXFjfWfSVSk0X9JrAt1CCsONUqg9OcQHs0O4ltohJQ1rFvRLsyrB5-uNuWLckHcx8WbU4Q/s1600/6+x1+x2+x3+PPL+forma+can%C3%B3nica.JPG" /></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;">Finalmente para concretizar o problema na forma standard, quanto à
função objectivo e quanto às variáveis não há nada a alterar; bastará
portanto transformar as restrições de</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhSqgiPw-SBNErluQWaqMpFyTL-vDttxRrt39d3c6ldr5918Ea5xmxoTmasS5Vnzye9M3ZQtQoYmELrp3YHNPn4ULsnqMmed_dEATJgxITqaCImofFThjp2YoFXu1tm8KYrcxMNkEBkyzM/s1600/6+lte.JPG" /></a><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"> para = , bastando introduzir as variáveis folga respectivas em cada equação:</span></div>
</span><span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Em resumo, apresenta-se o problema na <i>forma standard</i>,</div>
</span><br />
<br />
<div style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: justify;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioq3mI5_wktX9fnwVP65a_fGuAhagZNu4SgDxnyaPfNC7JwuEXt_ld2Ec-8GD3jTsH7cXbd0RU5mu_L4mKLqC_q5j814GQetDzIqmtvosP672b7yPE6q80qNIfGsNhVFmw19oERFa2vKo/s1600/6+x1+x2+x3+PPL+forma+standard.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEioq3mI5_wktX9fnwVP65a_fGuAhagZNu4SgDxnyaPfNC7JwuEXt_ld2Ec-8GD3jTsH7cXbd0RU5mu_L4mKLqC_q5j814GQetDzIqmtvosP672b7yPE6q80qNIfGsNhVFmw19oERFa2vKo/s1600/6+x1+x2+x3+PPL+forma+standard.JPG" height="168" width="320" /></a></div>
<span style="font-family: Arial, Helvetica, sans-serif;"><div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</span>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/18143964724288576248noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-32705556976077061842014-03-06T14:54:00.001+00:002015-11-07T19:07:00.161+00:00Programação Matemática. Uma introdução à programação linear - Formulação<b>Problemas de Optimização</b><br />
<br />
Num <i>problema de optimização</i> procura-se maximizar ou minimizar uma quantidade específica que se designa <i>objectivo</i>, a qual depende de um número finito de variáveis iniciais (ou de <i>input</i>). Estas variáveis podem ser independentes entre si ou podem encontrar-se relacionadas através de uma ou mais <i>restrições</i>.<br />
<br />
Exemplo 1: O seguinte é um problema de optimização para o objectivo z. (Obs. s.a. = sujeito a...)<br />
<br />
Min z = x<sup>2</sup> + 2 x y + y<sup>2</sup><br />
s.a.<br />
x + y = 2<br />
x, y >= 0<br />
<br />
As variáveis iniciais são x e y, que se encontram restringidas de três formas: x e y devem sempre totalizar 2 e tanto x como y devem ser não negativos. Pretende-se encontrar valores para as variáveis iniciais que minimizem z, o quadrado da sua soma, sujeitos às limitações impostas pelas restrições.<br />
<br />
Um <i>Problema de Programação Matemática</i> (PPM) é um problema de optimização no qual o objectivo e as restrições são apresentados como funções matemáticas e relações funcionais. É usual representar um PPM na forma<br />
<br />
optimizar: z = f(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>)<br />
s.a.<br />
g<sub>1</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) <=, =, >= b<sub>1</sub><br />
g<sub>2</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) <=, =, >= b<sub>2</sub><br />
...<br />
g<sub>m</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) <=, =, >= b<sub>m<br />
</sub><br />
onde cada uma das m restrições envolve um dos três sinais de relação <=, =, >=. <br />
<br />
<b>Problema de Programação Linear</b><b> (PPL)</b><br />
<br />
Um <i>problema de programação matemática </i>diz-se linear se f e todas as g<sub>i</sub> , i =1, 2, ..., m são funções lineares para todas as variáveis iniciais. Isto é, se<br />
<br />
f(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) = c<sub>1</sub> x<sub>1</sub> + c<sub>2</sub> x<sub>2</sub> + ... + c<sub>n</sub> x<sub>n</sub><br />
e<br />
g<sub>i</sub>(x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, ..., x<sub>n</sub>) = a<sub>i</sub><sub>1</sub> x<sub>1</sub> + a<sub>i</sub><sub>2</sub> x<sub>2</sub> + ... + a<sub>i</sub><sub>n</sub> x<sub>n</sub><br />
<br />
com c<sub>i</sub> e a<sub>ij</sub> (i =1, 2, ..., m ; j =1, 2, ..., n) constantes conhecidas.<br />
<br />
Qualquer outro problema que não esteja nesta forma diz-se <i>não linear</i>. Então, o exemplo 1 descreve um problema de programação não linear, na função objectivo z.<br />
<br />
<b>Programação Linear</b><b> Inteira</b><b> (PPLI)</b><br />
<br />
Um <i>problema de programação linear inteira</i> é um PPL com restrições adicionais que obrigam as variáveis iniciais a serem valores inteiros. Não é necessário que os coeficientes c<sub>i</sub> e a<sub>ij</sub> (i =1, 2, ..., m ; j =1, 2, ..., n) da função objectivo e das restrições sejam inteiros, apesar de muitas vezes o serem.<br />
<br />
<b>Programação Quadrática </b><b>(PQ)</b><br />
<br />
Um <i>problema de programação</i> quadrática é um problema de programação matemática no qual cada restrição g<sub>i</sub> é uma função linear e a função objectivo é da forma<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
com c<sub>ij</sub> , d<sub>i</sub> constantes conhecidas.<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghw8-VkBYTHVROlPWMpE9j-0qCwUav3iI-gPXtuDa-IzhegLCfHws77mdKz7idswjX19cZ48JqvppJYSmYWyrwvyV0IlaCu6lxlEXQgS32NGdiJ3QLEzxQMd-Ic6crpf4m4_k7kOglnuk/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEghw8-VkBYTHVROlPWMpE9j-0qCwUav3iI-gPXtuDa-IzhegLCfHws77mdKz7idswjX19cZ48JqvppJYSmYWyrwvyV0IlaCu6lxlEXQgS32NGdiJ3QLEzxQMd-Ic6crpf4m4_k7kOglnuk/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.JPG" height="49" width="320" /></a></div>
<br />
O Exemplo 1 é um problema de programação quadrática. As três restrições são lineares, e a função objectivo segue a forma quadrática com n=2 e (fazendo x = x<sub>1</sub> e y = x<sub>2</sub>) c<sub>11</sub> = c<sub>22</sub> = 1 e c<sub>12</sub> = c<sub>21 </sub>= 1 e d<sub>1</sub> = d<sub>2</sub> = 0.<br />
<br />
<b>Formulação de Problemas</b><br />
<br />
Quase sempre os problemas de optimização académicos são apresentados de forma verbal ou escrita, definindo a optimização pretendida e descrevendo as relações entre as variáveis iniciais. A determinação da solução começa por formular o problema em programação matemática e resolvê-lo recorrendo a técnicas e métodos que serão descritos futuramente em outros artigos neste blog. Para transformar um problema verbal em um problema de programação matemática geralmente seguem-se três passos fundamentais:<br />
<br />
1. Determinar a quantidade a ser optimizada e expressá-la numa função matemática. Aqui se definem as variáveis iniciais e a função objectivo.<br />
<br />
2. Indentificar todos os requisitos, constragimentos e limitações sobre as variáveis iniciais e expressá-los matematicamente. Estes requisitos constituirão as restrições.<br />
<br />
3. Expressar todas as condições ocultas. Estas condições não são estipuladas explicitamente no problema na forma verbal mas são aparentes na situação física que se propõe modelar. Geralmente, envolvem requisitos de não negatividade ou de integridade (valores inteiros) sobre as variáveis iniciais.<br />
<br />
<b>Solução</b><br />
<br />
Num problema de programação matemática pretende-se encontrar solução, e se forem encontradas várias soluções igualmente optimais então qualquer uma servirá como solução optimal. Cada conjunto de restrições definirá um espaço de <i>soluções admissíveis</i> designado por <i>poliedro</i><i> de admissibilidade</i>. A solução optimal do PPM estará sempre sobre a fronteira deste espaço que separa as soluções admissíveis das não admissíveis.<br />
<br />
<b>Problema 1</b><br />
<br />
Consideremos que num talho onde se fazem diferentes rolos de carne, se pretende optimizar o custo e a quantidade de gordura no rolo de carne tradicional que consiste numa mista de carne de bovino e de porco. As peças de carne de bovino contêm 75% de carne e 25% de gordura e custa 3 €/kg; as peças de porco contêm 65% de carne e 35% de gordura e custa 3,5 €/kg. Quanto de cada tipo de carne deverá o talho usar em cada kg de rolo de carne se pretender minimizar o custo e manter a quantidade de gordura máxima em 30%?<br />
<br />
O objectivo será a minimização do custo z (€) de cada kg de rolo de carne, onde z = 3 x peso de carne bovina + 3,5 x peso de carne de porco.<br />
Definindo<br />
<br />
x = peso de carne bovina usada em cada kg de rolo de carne<br />
y = peso de carne de porco usada em cada kg de rolo de carne<br />
<br />
a função objectivo então será<br />
<br />
Min z = 3 x + 3,5 y<br />
<br />
Cada kg de rolo de carne conterá 0,25 x de gordura de bovino e 0,35 y de gordura de porco. O total de gordura contida em cada kg de rolo de carne não deverá conter mais de 0,30 kg. Logo,<br />
<br />
0,25 x + 0,35 y <= 0,30<br />
<br />
As quantidades de carne de vaca e de porco que serão usadas em cada kg de rolo de carne deve portanto somar 1 kg.<br />
<br />
x + y =1<br />
<br />
Por fim, uma vez não é concebível e portanto não é admissível usar quantidades negativas de carne, ter-se-á as duas restrições escondidas adicionais x >= 0 e y >=0.<br />
<br />
Então tem-se a formulação do PPM seguinte:<br />
<br />
Min z = 3 x + 3,5 y<br />
s.a.<br />
0,25 x + 0,35 y <= 0,30<br />
x + y =1<br />
x >= 0, y >=0<br />
<br />
Como se pode entender este é um problema de programação linear de apenas 2 variáveis pelo que poderá recorrer-se a uma resolução gráfica.<br />
<br />
Observando a figura anexa, a região de admissibilidade - conjunto dos pontos (x,y) que satisfazem todas as restrições é o segmento de recta a cheio. Para determinar o valor minimal de z (z*) deve representar-se graficamente as restrições e a função objectivo. Atribuindo os valores arbitrários z = 2,5 e z = 3,5, obtém-se os objectivos respectivamente <br />
<br />
2,5 = 3 x + 3,5 y e 3,5 = 3 x + 3,5 y<br />
<br />
representados pelas linhas tracejadas.<br />
<br />
<img alt="" src="data:image/png;base64,iVBORw0KGgoAAAANSUhEUgAAAeIAAAHiCAIAAAC7i1j0AAAS/UlEQVR4nO3dXXqbvBqGUc9/bBpHv2FkHyRhO+bHgAE9Euu91kGb4IS4yV0VA32Uf/8BkOnr6+tRfScAmCPTANFkGiCaTANEk2mAaDINEE2mAaLJNEA0mQaIJtMA0WQaIJpMA0STaYBoMg0QTaYBosk0QDSZBogm0wDRZBogmkwDRJNpgGgyDRBNpgGiyTRANJkGiCbTANFkGiCaTANEk2mAaDINEE2mAaLJNEA0mQaIJtMA0WQaIJpMA0STaYBoMg0QTaYBosk0QDSZBogm0wDRZBogmkwDRJNpgGgyDRBNpgGiyTRANJkGiCbTANFkGiCaTANEk2mAaK+ZfvzOwmOGDZY32+TtJz3Wmq+x+p8NQHnJ9HOb5kI8vOXwsF5WxpV/xyg1kGAp05Mr68l4DeF7edS4+5NePtH4M4735PlTvHzGt3+RvOzby/Zn/FsBYLf9q+nJLceJnHzv5Adc2HJym7nfTj5kzQ6/fSDA9Q7IdJk6Wj0u6fLadnnLkzI9t0Jf+EoBLvZRphfWy3MlHVuz5Xmr6ZVfKUAtb870mFvbTq5DxzO86/kXY3MPefsZ53Z4/OvlTzd+Y5FpIMPEedMLPa3l2P2Za/fLr9OeBOCeZi9vyYnU5Ir+84+5/Ilyvnzg5lyFCBBNpgGiyTRANJkGiCbTANFkGiCaTANEk2mAaGdles0FKWdctwLQmRNX02syXf3rBwhXOdNKDbCsZqbnNhvfrA7gtqpleuF+oeoMMDgl04+/8/zG8WaTD6/+vACESDwhT6YBBjINEE2mAaLJNEA0mQaIJtMA0WQaIJpMA0QLzbQrxQG+hWa6+j4AhJBpgGgyDRBNpgGiyTRANJkGiCbTANFkGiCaTANEk2mAaKGZdrE4wLfQTFffB4AQMg0QTaYBosk0QDSZBogm0wDRZBogmkwDRJNpgGgyDRAtNNMuFgf4Fprp6vsAEEKmAaLJNEA0mQaIJtMA0WQaIJpMA0STaYBoMg0QTaYBooVm2sXiAN9CM119HwBCyDRANJkGiCbTANFkGiCaTANEk2mAaMdkes1pzuNt5s6PlmmAwWGr6eW2Du993mzuITINMLgo05PbzK3BZRpgcF2m16+dH09T/QkCqOvqgx7jtzg2DbDggEw//s7zGye3eXnj5Aes/rwAhHBCHkA0mQaIJtMA0WQaIJpMA0STaYBoMg0QTaYBooVm2pXiAN9CM119HwBCyDRANJkGiCbTANFkGiCaTANEk2mAaDINEE2mAaLJNEC00Ey7WBzgW2imq+8DQAiZBogm0wDRZBogmkwDRJNpgGgyDRBNpgGiyTRANJkGiHZ8pr8+jqyLxQEGp6ymPyy1QAMMzjro8UmpZRpgcOKx6d2llmmAwfGZfo7svlLLNMDglNX08wuAO0ot0wCDEw967C61TAMMzj1vel+pZRpgcPrlLcMBkPWllmmAwUVXIW4qtUwDDK67WHx9qWUaYFDhnh5vSy3TAIM6t15aLrV7egAMqt0hb6HUAg0wqHkj07lSyzTAoPL9pidLLdMAg/r/LcC41DINMKif6cfj8VJqmQYY1M90GZVapgEGEZkuf0st0wCDmpkenxz9XWqZBhhUXk2Pi/zlwhaAJ3GZLkf83+QA3UjM9PdxateLA5TYTBdraoB//5WKmX78nZd3/eycUgO3l3JC3rPP/29ygG6kZ7ooNXBvDWS6KDVwY21kuig1cFfNZLooNXBLLWW6uEYRuJ/GMl2UGriZ9jJdfkst1sAdhGb6bYXdSw+4idBMr9p1pQZuoOFMl6dSizXQq7YzXZ7O0lNqoEvHZ/rx8QfcGlylBjp2ymr68fX4JNY7auvKF6BXJx702F3qfYtipQa6dO6x6X2l3n3sQqmB/pz+EuKOAyCfHGJWaqAzF53psanUH74SqNRAT647IW99qT8/YUOpgW5cet70ygMgay4Wf/+FPT3ciXpAuypc3vK21EdVVamBDtS5CnF5WX1gUpUaaF3Ni8XnSn1sT19KLdZAWyrf02Oy1IeX9OUVRaUGGlL/1kvjAyBnZFSpgUbVz/S351JfkOmTPgvA4VIyXZ5KfVJAlRpoUVCmy+8BkPPq6bIXoDlZmf72+R2rl75gpQaakpjpUsqHd6x+8zUrNdCO0Ex/j1IDRGdaqQHSM33qARClBvI1kOlTl9WTpXaiHpCjmUyft6xWaiBZS5k+b1mt1ECs9jJ9canFGqiryUyfdABk7hVFpQYqajXTJy2rlRpI03amz1hWKzUQpflMn7GsVmogx/GZPqBlu+aaUgNc7JTV9Kel3jvHHgBRaiDBWQc9Pir1Z6PUQE9OPDa9/6Tjj+fAZbVSA3Wd/hLinlIfNEoNdOCKMz02l/q4UWqgdRedkLet1IfOUQdAFkrtRD3gPNedN72hZSeMUgONOibTb18tfDzN+I2v258zhyyrlRq42AGZHvK00KnJbWa3P3POLrVYA8e6KNPjjctC1E6eU0u98nkAWOnSTE9ucNlBj5dSfxhrpQauUS3TS4+6apQayHfWS4iTBzTWbFP+XZfp8vGyWqmBs9W/kWnF1fRzrPc/g1oMnKl+psu41DVGqYFMEZkuLwdAKs0nB0CUGjhJSqa//ZS66ig1ECUr0+W71LVn97JaqYHDxWW6ZJS67F1WKzVwrMRMl1L6LrUT9YD1QjNdkkq9I9ZKDRwlN9NRo9RALTK9dnYsq9eUWqyBZTK9bQ4vdbGsBhbJ9OZRauBKMr1nth4AUWpgN5neP0oNXKC9TIecqPc9m5bVrnwBdmgv0yWs1GXLslqpga2azHQp5edUtphRauAkrWb6J45hpV4Za6UG1ms70yWs1GX1slqpgZWaz3SJPACyJtZKDazRQ6Z/4phU6rJuWb2y1E7UgzvrJ9NFqYEedZXpwFlzAESpgQUyfcUcWGqxhruR6Yvm7bJ6/SuKSg23ItOXzttSOwACvJDpq+eoZbVSw03IdI35959SAyvdItNpJ+p9z1GHqoG+3SLTJbjUC7FWaqDcJ9MltdRlcVmt1MCNMl3y7v4xzMKyWqnh5u6V6Z8mRpa6zL+uqNRwZ3fMdIkt9fwBEKWG27pppkt2qSdjvanUztWDbtw30yW41GVmWa3UcEO3znT4TC6rlRruRqazZ+p1RaWGW5HpBubzUos1tEum25jxAZCt536INTRKptuZ0QGQHWfpKTU0R6YnJvwMkOdYO58auifT05Nc6vJ3Wa3U0DeZnp3oUv9dVis1dEymlyb2Vk0/87SsVmrolUy/H6UGKpLpVRNd6qcDIEoN/ZHptRNe6vK7rN5XaifqQSyZ3jDppf5dVis19ESmu5t//yk19OSsTK+5NPnxO6/vMh/OZ6UWa4hySqaHn/PlH/jZ95ojZnep3/7BAVeqnOnpDcxB83h8PR5fH/4hAnXVzPTsNuaI+W704/dVxU/+HIGKqmV6aRtz0Cg1dOC6lxDXvOVHa5N8ot7npQbqckLeMdNQqcUa2iLTh00rpS5T/78iEEumj5zkO+opNTRKpo+fhkot1pBPpk+ZVkpdLKshnkyfNW2VemusnagHl5HpE6ehUpfty2qlhmvI9E1HqaEVMn3fmSv1pli7ox6cTaZvPZOlLpbVkESm7z4Lpd66rK7/nQM9kmkzW+qycVmt1HAGmTalKDUEk+kKk3mi3nKpXQUDtch0nWmu1MX1ilCJTFcbpQbWkOmak3lHvbelFmu4kkzXn+ZKXSyr4UIyHTGNllqs4QIynTItlrqsXlY7UQ92k+mgUWpgTKbNm1lZ6jWxVmrYQabN+1lT6rJuWe2OerCVTJtVc2Cpi2U1bCHTZu2sL7UDIHAgmTYbZmWpy+oDIPW/2SCeTJtts6nUb2Ot1PCWTDcwaSfqrS91cb0ifEym2xilhtuS6Wam9VKLNewj0y1N2h31NpW6WFbDLjLd3rRearGGTWS6yWm61MWyGraQ6Van71I7UQ8GMt3wdFDqhVgrNXyTaXPY7Ch1WVxWKzUUmTbHzhmlFmtuTqbNwbO71JbVMEmmzfGzr9TFARCYItPmlPmk1HOxVmruSabNWbO71GV+Wa3U3JBM9zkh5+qdUWq4G5nudvootViDTPc8HZS6WFZzezLd+XRTarHmtmS6/+mj1MWymruS6VtMyI2qlRp2kOkbTTelHsfaiXp0TKbvNX2Uukwtq5WaXh2T6TX3xxlv8/id141N73NUqV9i7T5NdOmATA8/GAs/IZPbzG5vbjCHlLpYVnMDF2V6coPZtY+5xyg1rHFdpufe66DHnefAUjsAQq+uPuix6lHmTnNUqYtlNZ066yXEl7c8nmbhUT/MzebYUo+X1dV/zOATTsgzpQScqHdgqYurYOiLTJufUWrIJNPm/9NfqcWaDsi0+TPV7/5xbKmLZTXtk2kzMf2VWqxpl0yb6ems1MWymmbJtJmdvkvtRD1aIdNmabos9RBrpaYJMm2i54xSl6dltVKTT6ZN+pxX6u9Yu/sH4WTaNDAnlbpYVtMCmTZtjFJzWzJtmplTSz0cAKn//Q9/ybRpac4rdfldVis1aWTa7JmKJ+qdXWpXwZBGps3O6bXUxfWKhJFps3+UGi4g0+ajqXhHvQtKLdYkkGlzwPRa6mJZTQCZNsdM36UWayqSaXPYdFzqYllNPTJtjpzuS+2saq4n06aTua7UgT8ydE2mTT9zTamLAyBcS6ZNV3NlqcWaa8i06W2uK/VDqbmCTJsOR6npiUybPufiUos155Fpc8VUOVHvslJ/U2pOItPmorlJqcWaw8m0uW7uUOpiWc3RZNpcOlXuqFel1GLNUWTaVJg7lLpYVnMQmTZ1pvtSf9/9Q6n53PGZPuDeNOYec59SizWfOGU1/WmpzW3mJqUultV84KyDHj+vFO17uDFnzvWltqzmE+cem95ZamNOngrnflhWs9fpLyHuKbUx50/dU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/><br />
<br />
Assim, pode perceber-se que a solução minimal z* será atingida na extremidade alta do segmento de admissibilidade, e que é o ponto de intersecção das duas linhas<br />
<br />
0,25 x + 0,35 y = 0,30 e x + y =1<br />
<br />
Logo z* = 3,25€ onde x* = 0,5 kg e y* = 0,5 kg é o ponto solução do sistema linear destas duas equações.Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/18143964724288576248noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-23758601037763686052014-02-04T18:28:00.004+00:002015-11-07T19:08:58.552+00:00The Doomsday (O Algoritmo)<div style="text-align: justify;">
Na sequência do meu artigo no final do mês de Dezembro, gostaria de partilhar convosco uma das técnicas de cálculo mental que mais consegue impressionar, como os juristas dizem, o homem médio. Não é por coincidência que refiro os juristas; de facto, tomei conhecimento desta técnica por um professor de Direito do ensino superior. Este professor, quando os alunos lhe entregavam o documento de identificação, deduzia sempre o dia da semana em que esse aluno teria nascido. Talvez não sirva para impressionar uma pessoa do ponto de vista afetivo (<i>if you know what I mean</i>), mas intelectualmente penso que esta técnica consegue ter grande impacto. Todos os alunos que conheci desse professor diziam-me que ele era uma pessoa genial, simplesmente por utilizar uma técnica de cálculo mental (não estou a dizer que o Sr. Doutor não era genial, dado que de tal não tenho conhecimento).<br />
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOQMD2IArJ-_d_QNr_wMM3dO-lFGNtscghAPMXpjSIN4HcSlIb8gwkkcC0dY1eRu5u2oA5_ikTWQHKi8YYYg2-CEEgJBL9Ie6KEbtgpQK2JLDlgBiyzpeaOpuYSV0p-B-Zb_Ysleq1eOQ/s1600/Conway.JPG" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhOQMD2IArJ-_d_QNr_wMM3dO-lFGNtscghAPMXpjSIN4HcSlIb8gwkkcC0dY1eRu5u2oA5_ikTWQHKi8YYYg2-CEEgJBL9Ie6KEbtgpQK2JLDlgBiyzpeaOpuYSV0p-B-Zb_Ysleq1eOQ/s1600/Conway.JPG" height="320" width="240" /></a></div>
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Se tiverem dado uma vista de olhos nas provas do campeonato mundial de cálculo mental, vão verificar que, desde a sua primeira edição, este conta com uma prova de cálculo de calendário. Na realidade, o algoritmo para este cálculo, o doomsday algorithm (a tradução não faz sentido, daí irei referir sempre o nome do algoritmo em inglês), foi publicado em 1982 por John Horton Conway. É um algoritmo muito simples de aplicar, no entanto envolve alguma memorização. Para esta memorização são propostas várias mnemónicas (claro, todas em inglês), no entanto, pessoalmente, não gosto muito deste tipo de técnicas de memorização, pelo que as omitirei do respectivo algoritmo. Assim, segue-se a explicação do algoritmo que permite calcular que dia da semana foi qualquer data que seja apresentada.<br />
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<b>Doomsday é definido como o último dia de Fevereiro</b>, 28 ou 29, dependendo se o ano é bissexto ou não. A forma mais simples de determinar se um ano é bissexto é dividir o ano por 4. Se essa divisão der resto 0, então o ano é bissexto. No entanto, devo fazer a ressalva de que se o ano for divisível por 100 (1900 é um exemplo), este ano será bissexto se for divisível por 400 (por exemplo, o ano 1900 é divisível por 4, por 100 mas não por 400, pelo que não é um ano bissexto, como pode ser verificado).<br />
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Voltando ao nosso algoritmo, então o Doomsday deste ano é sexta-feira. Então, sabe-se que:</div>
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Para os meses pares: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 e 12/12 também serão sextas-feiras (peço que verifiquem, pelo menos para uma das datas); Para os meses ímpares: 0/3, 5/9, 9/5, 7/11 e 11/7 também serão sextas-feiras (claro que a data 0/3 não existe, mas estas datas servem apenas como pontos de referência). Em relação ao mês de Janeiro, num ano bissexto será 4/1 enquanto que num ano "normal" será 3/1. Esta parte, claramente, obriga-nos a memorizar estes pontos de referência, mas depois de aplicar o algoritmo uma dúzia de vezes, simplesmente passa a ser natural sabermos os doomsdays em cada mês.<br />
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Com estes dados, podemos deduzir, por exemplo, que dia da semana será o dia de Natal: 25/12. Ora 25-12=13, e 13 mod 7= (-1) mod 7, logo o natal será um dia antes de um doomsday de Dezembro, logo uma quinta-feira. Par os menos familiarizados com o conceito de mod, este apenas se refere ao resto da divisão de um número por sete, podem ver mais em textos de Álgebra, por exemplo <a href="http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg10.pdf">http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg10.pdf</a>.<br />
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Então conseguimos saber que dia da semana é cada dia de um ano, quando soubermos qual é o doomsday desse ano. O passo final será prolongar este algoritmo a qualquer ano. Para isso temos de saber qual é o doomsday de cada século. Tal será a última coisa que terão de memorizar:</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_JJNw5_uwx9aa9QUdvZyxDNmyhwEOj3IFIfKSXK8z5RDRJ28JI5E7Z3fVkKq8XHLYEyhlma9EV8_BGDmduDpztLjnnPa-j-SFb4TZzfz56Vm6y0P6K4SZqFmNwEPgVUd0lmTc3PlBaEw/s1600/Doomsdays+s%C3%A9culos.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEg_JJNw5_uwx9aa9QUdvZyxDNmyhwEOj3IFIfKSXK8z5RDRJ28JI5E7Z3fVkKq8XHLYEyhlma9EV8_BGDmduDpztLjnnPa-j-SFb4TZzfz56Vm6y0P6K4SZqFmNwEPgVUd0lmTc3PlBaEw/s1600/Doomsdays+s%C3%A9culos.png" height="80" width="400" /></a></div>
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Poderia-me estender sobre o porquê desta tabela, mas acho mais fácil simplesmente decorar. Na verdade, a maioria das pessoas que conhecemos nasceram no século XX, e como este algoritmo tem o particular interesse de determinar o dia em que os nossos amigos nasceram (entre outros...) parece-me simples decorar que o doomsday de 1900 é quarta-feira. A fórmula para determinar o doomsday de cada outro ano deste século, da forma 19YY, será: a+b+c mod 7, onde a será o quociente da divisão inteira de YY por 12, b será o resto desta divisão e c será o quociente de b a dividir por 4.<br />
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Exemplo: Qual é o doomsday de 1974?</div>
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a=74/12=6, b=2 e c=2/4=0, logo 6+2+0 mod 7= 1 mod 7, logo o doomsday de 1974 é quinta-feira (um dia depois de quarta-feira). Torna-se mais simples visualizar o processo dividindo à mão. Finalmente, sinto mais facilidade em converter o doomsday para um número e simplesmente calcular o mod da conta toda; por exemplo, se estivesse no século de 1900, o doomsday seria 4 para mim (eu uso a escala de domingo ser o dia 1 e sábado o dia 7, mas claro que qualquer escala serve, desde que se lembrem em que escala estão a trabalhar).<br />
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Assim, para a data 25/04/1974: já vimos que 1974=5, e como 4/4 é doomsday, 25-4 mod 7=21 mod 7= 0 mod 7, logo 0 mod 7 + 5 mod 7= 5 mod 7, logo o dia 25 de Abril de 1974 foi uma quinta-feira.</div>
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Já a implantação da República Portuguesa, 5/10/1910 poderá ser calculada por:</div>
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4+(0+10+2)+(-5) mod 7= 11 mod 7=4 mod 7, logo foi uma quarta-feira (o primeiro 4, vem de quarta-feira ser o doomsday de 1900, (0+10+2) é a soma de a, b e c, respectivamente, e -5= 5-10, onde 5 é a nossa data e 10 é o doomsday de Outubro.<br />
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Portanto a fórmula que eu uso para uma data dd/mm/yyyy é: s+(a+b+c)+(dd-t) mod 7, onde a, b e c foram definidos anteriormente, s refere-se ao domsday do século que estamos a tratar e t será o dia do doomsday do respectivo mês. Este cálculo toma a forma de algoritmo se o subdividirmos em pequenos cálculos, como foi apresentado pelo autor do mesmo.<br />
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Claro que mentalmente, cada um utilizará diferentes variantes deste algoritmo (com ou sem mods negativos, somando ou não ou não o doomsday, etc.) mas é este o algoritmo base, e sem a fórmula de cálculo dos doomsdays para cada ano não será possível implementar o algoritmo. Pessoalmente, eu imagino sempre a divisão inteira por 12 na minha cabeça, onde depois posso somar o quociente com o resto e com o resto a dividir por 4.<br />
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O recorde mundial data de 4 de Dezembro de 2010, pertence a Yusnier Viera Romero e corresponde ao cálculo de 93 datas em 1 minuto. Duvido que alguma vez consiga bater este recorde, mas desde que estudei pela primeira vez este algoritmo estou cada vez a ser mais rápido (conseguindo quase determinar 3 num minuto...). Assim, aconselho a praticarem alguns dias, antes de tentarem impressionar alguém com ele.</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/02755966269068701020noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-11017363017542362982013-12-27T19:15:00.000+00:002015-11-07T19:08:58.546+00:00Como efetuar cálculo mental<div style="text-align: justify;">
Entendemos por cálculo mental todos os cálculos que são feitos sem orientação de papel e caneta, calculadora ou outras instrumentos físicos. Apesar de este conceito ser ambíguo (pode ver-se Buys, K. (2001) - <i>Children learn Mathematics</i>) no âmbito 'Mental Calculation World Cup' ele não levanta quaisquer dúvidas. </div>
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A cada dois anos é organizado, numa cidade alemã, um campeonato mundial de cálculo mental. O primeiro campeonato aconteceu na cidade alemã Annaberg-Buchholz a 30 de Outubro de 2004 e envolvia quatro modalidades: somas de dez números com dez dígitos cada, produto de dois número com oito dígitos, raízes quadradas de números com seis dígitos e, finalmente, cálculos com calendários determinando o dia da semana a que determinada data corresponde. Tarefas que seriam facilmente executadas por calculadoras ou com um suporte escrito, que claramente são proibidos no torneio. O vencedor final de todo o torneio, que inclui a ponderação de todas as modalidades, foi o britânico Robert Fountain. </div>
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<br /></div>
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Entretanto as provas existentes foram ficando mais exigentes e foram acrescentadas outros desafios de cálculo mental. Por exemplo, no primeiro torneio os concorrentes tinham de realizar em dez minutos dez somas de dez números com dez algoritmos, já em 2012 apenas lhes era dado sete minutos. Em 2012 foram apresentados dez tipos de desafios completamente diferentes que envolviam tarefas de memorização e ainda o chamado "most versatile calculator", cuja organização descreve como sendo cinco desconhecidas "surprise tasks". No último campeonato o campeão foi Naofumi Ogasawa, que nesse mesmo campeonato bateu o recorde mundial de soma de dez números com dez algarismos cada 191 segundos (pouco mais de três minutos, menos de metade do tempo dado para a prova).</div>
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<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio8YQz4TxQ2sCP3pCvg3M2UppfpSbyZx-Mgy1iyaQaJ2eNF_YLe7E5jNKvkJwSZ16hYTXa-wAMSxauSiggnXKXnFs1nNrpZ9_jqWg71zwfDBJjYfYZ16Mhp03AZvnQkK1i-oNH2BEcAA0/s1600/coto1.jpg" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"><br /><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEio8YQz4TxQ2sCP3pCvg3M2UppfpSbyZx-Mgy1iyaQaJ2eNF_YLe7E5jNKvkJwSZ16hYTXa-wAMSxauSiggnXKXnFs1nNrpZ9_jqWg71zwfDBJjYfYZ16Mhp03AZvnQkK1i-oNH2BEcAA0/s320/coto1.jpg" height="320" width="226" /> <img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhGULWFSU6BJ9E7C66mLDAW70K-4g3qdtYvVi77bX7jdeSI9QZGlmhcF5dNHeHOugHEcRX3SgFdsR5gEa9lgwKrzXrljxyrCy1kRDcGmPZxMleUwXZ8C3A31C1zxIN6iTOGQB09Q-EOFIk/s320/coto.png" height="320" width="209" /> </a></div>
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<div style="overflow: visible ! important;">
O recorde anterior (222 segundos) era detido por aquele que podemos considerar como a mais famosa calculadora humana, o espanhol Alberto Coto García. Durante o primeiro campeonato mundial de cálculo mental, Alberto Coto estabeleceu o recorde mundial desta mesma prova em 350 segundos, o que demonstra que todos os humanos conseguem desenvolver as suas capacidades de cálculo mental de forma significativa. Os mais interessados podem ver os desafios propostos em <a href="http://www.recordholders.org/downloads/worldcup/tasks-2010/tasks2010.pdf" target="_blank">2010</a><a class="btncitenpl citenpl" href="http://dfpcorec-p.internal.epo.org/wf/web/citenpl/citenpl.html?_url=http%3A//www.recordholders.org/downloads/worldcup/tasks-2010/tasks2010.pdf" name="MIKELink" target="_blank" title="Cite this document: http://www.recordholders.org/downloads/worldcup/tasks-2010/tasks2010.pdf"></a> e <a href="http://www.recordholders.org/downloads/worldcup/tasks-2012/tasks2012.pdf" target="_blank">2012</a><a class="btncitenpl citenpl" href="http://dfpcorec-p.internal.epo.org/wf/web/citenpl/citenpl.html?_url=http%3A//www.recordholders.org/downloads/worldcup/tasks-2012/tasks2012.pdf" name="MIKELink" target="_blank" title="Cite this document: http://www.recordholders.org/downloads/worldcup/tasks-2012/tasks2012.pdf"></a>. O campeonato de 2014 ainda não está marcado, mas seguindo a tradição será expectável que seja numa cidade alemã entre Julho e Novembro do próximo ano.</div>
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Para conseguir ter bons resultados nestas provas, não basta fazer todas as aplicações móveis de cálculo mental, é preciso aprender e treinar os chamados "numerical shortcuts", os truques de cálculo numérico. Alguns destes truques são explicados pelas calculadoras humanas, outros são simplesmente aquilo a que alguns leigos chamam de "matmagia", que irei exemplificar de seguida.</div>
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<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Multiplicar número por 11, 111 ou por qualquer sequência de uns:</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Tomemos um número com dois algarismos na forma [M,N], onde M representa o primeiro algarismo e N o segundo. Então o produto de MN por 11 será dado por [M, M+N, N], caso M+N<10, caso contrário será [M+1, M+N, N].</div>
<div style="text-align: justify;">
Por exemplo, 72*11=792 e 86*11=946.</div>
<div style="text-align: justify;">
A demonstração é facilmente feita decompondo MN em 10M+N e 11 em 10+1 e aplicando a distributividade do produto face à soma.</div>
<div style="text-align: justify;">
Da mesma forma, para o caso do produto de um número da forma [M, N, O] por 111 teríamos [M, M+N, M+N+O, N+O, O] (e quando a soma ultrapassa o limite de 9 teríamos de somar 1 à 'casa' anterior).</div>
<div style="text-align: justify;">
Por exemplo, 123*111= 13653 e 346*111=38406.</div>
<div style="text-align: justify;">
E assim sucessivamente, para qualquer sequência de uns, desde que tenhamos o mesmo número de algarismos nos dois números que compõem o produto.</div>
<div style="text-align: justify;">
<b><br /></b></div>
<div style="text-align: justify;">
<b>Quadrados de números acabados em 5:</b></div>
<div style="text-align: justify;">
Seja um número da forma [M, 5], onde M representa o primeiro algarismo e 5 o segundo. Assim, este número ao quadrado será dado por [M*(M+1), 25], onde neste caso cada 'casa' corresponde a dois algarismos.</div>
<div style="text-align: justify;">
Por exemplo, 75*75= 5625 e 15*15=225.</div>
<div style="text-align: justify;">
A demonstração é facilmente feita usando o caso notável do quadrado da soma e decompondo qualquer número na soma de 10M+5.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
No final das demonstrações dos respectivos truques podemos reflectir sobre uma outra definição para o cálculo mental: Metodologia para realizar cálculos complexos através de cálculos mais elementares, utilizando as propriedades algébricas dos números inteiros.</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/02755966269068701020noreply@blogger.com2tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-183866839331850012013-12-05T10:33:00.000+00:002015-11-07T19:04:00.405+00:00A Magia do Primeiro Algarismo<div style="text-align: justify;">
Pensemos na sucessão das potências de 2: 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512, 1024... Agora, consideremos, não esta sucessão, mas a sucessão do primeiro algarismo significativo (diferente de zero) de cada um dos termos. Esta nova sucessão começa obviamente por 2, 4, 8, 1, 3, 6, 1, 2, 5, 1... Esta sucessão de primeiro algarismo toma, obviamente, apenas 9 valores: os inteiros 1 a 9. O que sugere imediatamente a pergunta: qual é a frequência assimptótica com que surge nesta sucessão cada um dos inteiros? Intuitivamente, a resposta deveria ser que todos os inteiros surgem com igual frequência, ou seja, 1/9, ou aproximadamente 11,1%. Não há razão óbvia a priori para que o primeiro algarismo de uma potência de 2 tenha preferência por tomar algum valor particular. O número 6 parece tão legítimo como 9 ou 1. No entanto, eis a primeira surpresa. A distribuição está muito longe de uniforme: pelo contrário, aproxima-se muito bem de uma distribuição logarítmica, em que <br /><br /><div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3SsSGUZhPm7MKSkcpAPWcVv4ApTfJVN14Xr9NERZCwwVS6sVYxIRnvza_KFlR8Om8dQawiHycrie2emeLM2aUo_Lx1MWkvIUdYE9-BbrCIPzsfxD83TX4mqzsPgTaoysKfbvZCa4DS6tU/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.jpg"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh3SsSGUZhPm7MKSkcpAPWcVv4ApTfJVN14Xr9NERZCwwVS6sVYxIRnvza_KFlR8Om8dQawiHycrie2emeLM2aUo_Lx1MWkvIUdYE9-BbrCIPzsfxD83TX4mqzsPgTaoysKfbvZCa4DS6tU/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.jpg" /></a></div>
<br />onde P(n) é a probabilidade de ocorrência do algarismo n.<br /><br />Esta distribuição apresenta-se na linha 1 da tabela 1. O leitor pode achar isto uma pequena e insignificante curiosidade. Talvez a formação das potências de 2 introduza um mecanismo oculto de desvio da distribuição, e é tudo. No entanto, isso não é verdade: se em lugar de potências de 2 considerar potências de 3, 4, ... 9, 11, ... obterá a mesma distribuição logarítmica. <br /><br /><div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZI2LMpzJelYjmMfM77653G1HRUAaip9mNl8Vf5kV84xJXly6Gq5R7z8QF3uYkzieYVKuCzH5IKm1yZDgGBIb-9O9BC-22JWOelEQQcXv_ZqPpF0mVoaSpYTJlwM6N4vfrKxkgPO2BL_5O/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.jpg"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiZI2LMpzJelYjmMfM77653G1HRUAaip9mNl8Vf5kV84xJXly6Gq5R7z8QF3uYkzieYVKuCzH5IKm1yZDgGBIb-9O9BC-22JWOelEQQcXv_ZqPpF0mVoaSpYTJlwM6N4vfrKxkgPO2BL_5O/s400/Sem+t%C3%ADtulo.jpg" /></a></div>
<br /> No gráfico 1 comparam-se os valores de log10(1+1/n) com a frequência relativa da ocorrência do algarismo n para as primeiras 1000 potências de 2 e de 7. <br /><br /><div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidrbLkwsuH2I6LChHbly2kGPNxf_QVeVvxoi4hv2yjaA2HfrVJ9QLxWm6zCa6l-tXt88YduQ_2HpGj0p6rqBISau7cpyDitTJQJjv3lS3SK7dHipFncfpucwnodqVFrUTefWNpasb0i7hW/s1600/Sem+t%C3%ADtulo.jpg"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEidrbLkwsuH2I6LChHbly2kGPNxf_QVeVvxoi4hv2yjaA2HfrVJ9QLxWm6zCa6l-tXt88YduQ_2HpGj0p6rqBISau7cpyDitTJQJjv3lS3SK7dHipFncfpucwnodqVFrUTefWNpasb0i7hW/s400/Sem+t%C3%ADtulo.jpg" /></a></div>
<br /> Estranho! Muito mais estranho é o que se passa com a tabela 1.Nela apresentam-se as frequências do primeiro algarismo de números recolhidos do «mundo real»: cotações de acções na bolsa portuguesa no dia 16 de Outubro de 2002 (apenas 58, o que dá uma amostra estatística pequena); número de porta de 307 pessoas ao acaso (obtidas abrindo a lista telefónica de Lisboa ao acaso); pesos moleculares de 1800 compostos; áreas (em milhas quadradas) de centenas de rios americanos; população de 3500 cidades americanas; números que aparecem numa edição ao acaso das Selecções do Reader's Digest. <br /><br />Os resultados são difíceis de acreditar. O leitor provavelmente esperaria encontrar uma distribuição uniforme nas frequências dos primeiros algarismos; uma vez que estes números não estão correlaccionados entre si, todos os algarismos deveriam ser igualmente prováveis. Pois bem, isso é falso: a distribuição de qualquer destas frequências é logarítmica, descrita por (1). Segunda surpresa: a distribuição dos primeiros algarismos parece ser sempre a mesma distribuição logarítmica, independentemente da natureza dos números.<br /><br />Como em todos os factos científicos, a magia não existe. Esta história começa em 1881 com o astrónomo Simon Newcomb. Num pequeno artigo no American Journal of Mathematics, Newcomb observa que os livros de tabelas de logaritmos davam sinais de muito maior uso nas primeiras páginas do que nas últimas — o que era estranho, porque uma tabela de logaritmos não é exactamente como um romance que se deixa ao fim de algumas páginas se não agradar. Newcomb propôs mesmo, sem grande justificação, a lei logarítmica acima referida.<br /><br />Em 1938, o físico Frank Benford, da General Electric, fez exactamente a mesma observação, exactamente pelos mesmos motivos (desgaste dos livros de tabelas de logaritmos), e propôs exactamente a mesma lei logarítmica. Benford compilou uma tabela de distribuição do primeiro algarismo para amostras significativas de 20 tipos de números diferentes (na verdade, os dados da tabela 1 sobre pesos moleculares, áreas de rios e população de cidades são os apresentados por Benford), chegando à conclusão de que independentemente da natureza dos dados a distribuição era sempre a mesma. Mais ainda: se somasse todos os dados independentemente da sua natureza, ficava com um conjunto de 20 229 dados que seguia a lei quase perfeitamente — muito melhor do que qualquer um dos 20 conjuntos isoladamente. O artigo de Benford não passou despercebido, e hoje a lei fenomenológica (1) é conhecida como Lei de Benford.<br /><br /> Nos 60 anos que se seguiram à publicação do artigo de Benford, foram realizadas por matemáticos, físicos, estatísticos e até amadores muitas tentativas de demonstração da lei de Benford. No entanto, estas tentativas nunca tiveram sucesso completo.<br /><br />Em 1996 o matemático Theodore Hill, do Georgia Institute of Technology, conseguiu finalmente resolver o problema de uma forma muito elegante e verdadeiramente matemática: substituiu o problema original por outro aparentemente mais difícil. Observou que uma lei universal para a distribuição do primeiro algarismo deveria ser invariante de base: isto é, deveria ser válida em qualquer base inteira, e não apenas na base 10. Analisando esta hipótese de invariância de base, Hill descobriu que ao considerar conjuntos de diferentes tipos de números, e não os próprios números, os problemas matemáticos desapareciam. Hill conseguiu assim demonstrar formalmente que a lei de Benford é a única distribuição de probabilidade invariante de base. A lei de Benford é, portanto, um teorema. Não há magia no fenómeno do primeiro algarismo.<br /><br />Uma outra demonstração de Hill considera a mistura de muitas distribuições de dados de natureza diferente em simultâneo. O que se mostra é que, mesmo que cada distribuição não siga individualmente a lei de Benford, o conjunto de todas as distribuições (uma espécie de «amostras aleatórias de distribuições aleatórias») o faz. Assim, a própria demonstração esclarece a observação algo misteriosa de Benford: a de que a união dos seus dados fenomenológicos satisfazia muito melhor a sua lei do que qualquer dos conjuntos de dados isoladamente. Da mesma forma, a mistura dos valores das cotações das acções em Bolsa, combinadas com as moradas e com os rios americanos verifica mais precisamente a lei de Benford do que qualquer dos dados separadamente!<br /><br /> O exemplo mais espectacular é sem dúvida a aplicação da lei de Benford à fiscalização de impostos e à auditoria financeira. A observação essencial é a seguinte: dados contabilísticos reais constantes das declarações fiscais satisfazem com probabilidade 1 a lei de Benford. Ora o que se verifica é que as pessoas são, do ponto de vista da lei de Benford, «más» a inventar dados. Dados fictícios fabricados pela mão humana raramente satisfazem a lei de Benford — talvez por razões psicológicas: pela intuição, falsa, de que a distribuição do primeiro algarismo é uniforme.<br /><br /><br /> adaptado do capítulo 3 - "A magia do primeiro algarismo", do livro Da falsificação de Euros aos Pequenos Mundos, de Jorge Buescu</div>
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Ferécides e o seu aluno passeavam desde o meio-dia, conversando sobre temas muito diversos, quando decidiram deter-se para se consolarem e contemplarem melhor a paisagem, recostando-se sobre a erva de um prado numa pequena colina.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
... Mantiveram-se em silêncio até o Sol percorrer boa parte do trajecto necessário para consumar a tarde. O rebanho de ovelhas tinha-se aproximado deles. Ferécides, olhando de soslaio para o seu aluno, perguntou-lhe então:</div>
<div style="text-align: justify;">
- Observaste como as ovelhas, vendo-se dispersas, começam a girar em torno do pastor? Este rebanho que temos diante de nós deslocou-se por várias ocasiões. De cada vez que o pastor se sentava num lugar diferente, pouco a pouco, as ovelhas iam criando um círculo novo em seu redor.</div>
<div style="text-align: justify;">
- E que tem isso de particular?</div>
<div style="text-align: justify;">
- É uma demonstração de que a natureza se desenvolve formando círculos.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Explica-me isso, mestre, para que possa submeter à minha reflexão.</div>
<div style="text-align: justify;">
Ferécides inclinou-se de novo sobre o prado e, contemplando o infinito, começou a dissertar, lentamente, dando uma entoação poética às suas palavras enquanto se recreava com a sua própria escuta.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Tanto o cosmos como a natureza avançam em círculos, ou seja, dando passos que regressam ao mesmo lugar. O final assemelha-se ao início, até se confundem, do mesmo modo que é impossível dizer em que ponto começa e onde termina um círculo. Observa, por exemplo, como os homens, chegados a uma certa idade longeva, se tornam semelhantes às crianças tanto nos seus gostos como no seu comportamento, no seu desamparo e na sua despreocupação pelas coisas do mundo. De um modo inverso, os recém-nascidos assemelham-se a pequenos velhos calvos, enrugados, ausentes do mundo, com a consciência completamente dirigida para o seu interior.</div>
<div style="text-align: justify;">
Observa também de que maneira quem se sente à beira da morte procura regressar, movido por um impulso imperioso, ao sítio onde nasceu.</div>
<div style="text-align: justify;">
Olha como se repetem ao estações: nora que gira ininterruptamente através das idades e que permite à árvore despojar-se das suas folhas para se vestir de novo com elas na Primavera. Contempla a água que desce das montanhas, formando rios até chegar ao mar. Aí, as névoas densas, elevando-se, terminam transformando-se em nuvens; ao viajarem impulsionadas pelo vento, uma vez nas montanhas, descarregam a sua água em forma de neve que, finalmente, depois do Inverno, se derrete dando forma a caudalosos rios que descem até ao oceano, cumprindo assim um rito infatigável.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Pitágoras interrompeu o discurso do seu mestre.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Tudo o que dizes parece-me muito certo, mas, na realidade, não estamos a falar de um círculo.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Como assim...? - inquiriu Ferécides, saindo do êxtase que produziam em si as suas próprias palavras.</div>
<div style="text-align: justify;">
Pitágoras insistiu no seu ponto de vista.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Não, porque certamente a Primavera regressa depois de cada Inverno, mas não é a mesma Primavera. Para que fosse um círculo deveria ser um retorno ao mesmo lugar e ao mesmo tempo.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Vês, Pitágoras, como não sabes interpretar correctamente uma metáfora? De acordo; se falarmos com absoluta precisão, a natureza não descreve um círculo, mas antes uma espiral. Mas por acaso a espiral não é circular? Por favor, meu filho, tem flexibilidade com as imagens metafóricas.</div>
<div style="text-align: justify;">
Pitágoras, como bom discípulo, permaneceu pensativo tentando corrigir o seu erro, o que permitiu a Ferécides embarcar novamente no seu discurso.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Os fenómenos próprios da natureza descrevem círculos, mas também os fenómenos cósmicos dispõem do mesmo proceder, uma vez que os planetas e o Sol giram através de um círculo formado pelas constelações zodiacais. Cada dia, a abóbada celeste completa uma rotação em torno da nossa terra. De doze em doze anos, o planeta Júpiter regressa ao mesmo ponto do céu. Para alcançar a mesma estrela que deixou para trás no seu percurso, Saturno precisa de vinte e oito anos. Dois anos necessita Marte para fazer outro tanto.</div>
<div style="text-align: justify;">
Enquanto Ferécides pronunciava estas palavras, a tarde avançava e as andorinhas começavam a apropriar-se do céu. O mestre encontrou a ocasião óptima para relembrar um velho texto poético que escreveu enquanto jovem, e acomodou-o aos seus comentários sobre a circularidade da vida.</div>
<div style="text-align: justify;">
- No mês de Abril regressam as andorinhas. Com o seu ir e vir descrevem anéis cujo perímetro abrange o distante Sul e as nossas latitudes, anéis que enlaçam uma Primavera com a seguinte. Sim, a vida deleita-se expandindo-se ao longo das curvas sensuais que formam os sulcos invisíveis do universo. E tudo quer que cada movimento implique uma partida que não finaliza até regressar ao seu ponto de origem.</div>
<div style="text-align: justify;">
O sol pensava já em retirar-se para a sua mansão subterrânea. Quando se dispuseram a empreender o caminho de regresso, o pastor já se afastava com o seu rebanho.</div>
<div style="text-align: justify;">
- Já não formam um círculo à volta dele - advertiu Pitágoras com ironia!</div>
<div style="text-align: justify;">
- Mas amanhã regressarão ao mesmo prado - respondeu Ferécides, impetuoso.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
[...]</div>
<div style="text-align: justify;">
E um facto inquestionável é que nada, visto com suficiente distância, se move em linha recta, mas, finalmente, o que julgávamos ser rectilíneo é tão só um segmento de um imenso círculo.</div>
<div style="text-align: justify;">
[...]</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
<i>in </i>Pitágoras, o Filho do Silêncio, Benigno Morilla</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkzxfIxF2eAlRInIWOsOSQflOO6EBHkMqPaqGp7xPbLICfjepN6MDCqjRkUazp02up0vIv-0FU_2lfMIzUYOfz3SI3PBA9OfQHeGmP-XdbXpSaIpaz3lipaHMhw590ZpC8Ix4eJLIpV0E/s1600/Cp_pitagoras.jpg" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="320" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgkzxfIxF2eAlRInIWOsOSQflOO6EBHkMqPaqGp7xPbLICfjepN6MDCqjRkUazp02up0vIv-0FU_2lfMIzUYOfz3SI3PBA9OfQHeGmP-XdbXpSaIpaz3lipaHMhw590ZpC8Ix4eJLIpV0E/s1600/Cp_pitagoras.jpg" width="223" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/18143964724288576248noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-28107655405233541952013-11-30T20:25:00.000+00:002015-11-07T19:08:58.558+00:00O jogo do Nim<div>
<div style="text-align: justify;">
Nim é um jogo em que se considera um conjunto de pilhas de objectos. Dois jogadores jogam de forma alternada e retiram um determinado número de objectos de uma das pilhas. Inclusivamente, é possível que todos os objectos de uma pilha sejam retirados. O último jogador a intervir, ganha.<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Assim, a família de jogos Nim é vasta, uma vez que pode variar o número de pilhas e o número de objectos, mas claramente nenhum desses jogos pode terminar em empate. Então, existe um jogador que ganha. Será que podemos, a partir do número de pilhas e objectos iniciais, determinar uma estratégia que nos permita ganhar o jogo?<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Vamos exemplificar um jogo de Nim simples, com 2 pilhas com 2 objectos cada. O jogador A, que começa e retira os dois objectos de uma das pilhas. De seguida o jogador B retira os dois objectos da restante e ganha o jogo. Começam outro jogo, o jogador A sabe que não pode retirar dois objectos de uma pilha, portanto retira apenas um; de seguida o jogador B retira um objecto da outra pilha, obriga o jogador A a limpar uma pilha e o jogador B volta a ganhar. O jogador B consegue sempre ganhar o jogo, independentemente do que o jogador A faça, dizemos que o jogador B tem uma estratégia ganhadora.<br />
<br /></div>
</div>
<div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
Naturalmente que em versões mais complexas do Nim somos obrigados a um trabalho muito mais exaustivo para determinar a estratégia ganhadora, e o jogador a que corresponde. Uma forma muito mais simples passa por analisar a decomposição binária do número de objectos em todas as pilhas, isto é, decompomos cada número de objectos numa soma de potências de 2. Por exemplo, assumimos um jogo com 3 pilhas, com 4, 5 e 8 objectos. Então representamos a situação inicial do jogo pelo seguinte quadro, dado que <p style="text-align: center;">$4=2^2, \ 5=2^2+2^0,\ e\ 8=2^3$</p>
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwpQlrZEeM7IYfhNXngpWXsvWL36_41UrAavxsQbjfBpX8b2Vgnh7RBbuSScFa5X5L_Cn4bbJrJbHhPaUC71RgLhE4Y8-aVLBf5AMHo5EHz7mDNUU3TyW5hZOE4zz-jMmQu7eTz0S44Xk/s1600/tabela1.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="102" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjwpQlrZEeM7IYfhNXngpWXsvWL36_41UrAavxsQbjfBpX8b2Vgnh7RBbuSScFa5X5L_Cn4bbJrJbHhPaUC71RgLhE4Y8-aVLBf5AMHo5EHz7mDNUU3TyW5hZOE4zz-jMmQu7eTz0S44Xk/s320/tabela1.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<span style="text-align: center;"><br /></span></div>
</div>
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
</div>
<div class="" style="clear: both; text-align: justify;">
Dizemos que uma colecção de pilhas se encontra em equilíbrio se todas as potências de 2 ocorrem em número par (por convenção, 0 toma o significado de número par). Portanto a colecção de pilhas anterior encontra-se em desequilíbrio. Se o jogador A retirar 7 objectos da última (ordenação a partir da organização da tabela) pilha, esta passa a ter apenas um objecto, o que irá fazer com a colecção de pilhas passe a estar equilibrada:<br />
<br /></div>
<div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVV2I3cwr5DacEXftOOfLOO2SZcbALgpx5qNM41rHVmrygb5wm0NpiRhxpxaEDNY3ttzwmjlf08aoQnNZBhNC5zrVcml8PQu-orbw2oJV824MhxK2YgJ9W1lQtHbfp_PZiC4zMpsVzucQ/s1600/tabela2.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" height="102" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiVV2I3cwr5DacEXftOOfLOO2SZcbALgpx5qNM41rHVmrygb5wm0NpiRhxpxaEDNY3ttzwmjlf08aoQnNZBhNC5zrVcml8PQu-orbw2oJV824MhxK2YgJ9W1lQtHbfp_PZiC4zMpsVzucQ/s320/tabela2.png" width="320" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
De facto, conclui-se que a estratégia ganhadora consiste em transformar a colecção de pilhas de desequilibrada em equilibrada, sucessivamente, até que a posição de equilíbrio seja com apenas zeros na última linha, isto é, até à situação final de jogo. Se uma colecção de pilhas estiver em equilíbrio, o outro jogador é forçado a desequilibrar a colecção, dado que é impossível retirar objectos de uma pilha sem desequilibrar a colecção.<br />
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Podemos então concluir que se a colecção de pilhas inicial se encontrar em desequilíbrio o jogador A tem uma estratégia ganhadora, e portanto pode ganhar o jogo independentemente das jogadas do adversário. Caso contrário, será o jogador B a ter a estratégia ganhadora. Em ambos os casos as estratégias ganhadoras passam por equilibrar a colecção de pilhas, que se encontrava em desequilíbrio.</div>
</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/02755966269068701020noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-63341050466115472072013-11-26T21:54:00.000+00:002015-11-07T19:07:34.125+00:00Horário de 40 horas é um corte salarial de 12,5% <div style="text-align: justify;">
A Matemática Viva não é uma instituição político-partidária, por isso que não se tirem interpretações políticas sobre a Matemática Viva, aquando da publicação desta mensagem. Queremos apenas elucidar matematicamente os cidadãos sobre matérias relevantes e que são comuns da opinião pública.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Qual o valor exato do corte salarial com a lei das 40 horas semanais para a função pública? As contas são simples: se um trabalhador do estado que trabalhava 7 horas, passou a trabalhar 8 horas ganhando o mesmo salário, o corte é exatamente igual a 12,5%.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A percentagem de um corte numa dada grandeza é dada por:</div>
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXcfgRsYerJw4x2jBao9dy9EFpBqFmOKuhrfgs2yJNHMSzLc2MSc6buZNW91kHxSoCexDvgA0Us47x82qmWTmJ2VSQsBTNvzdwNeaiIgqQFI0tKPdgsWKPV2kw7WrXBqtl3ezYguiUfJoG/s1600/CodeCogsEqn.gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjXcfgRsYerJw4x2jBao9dy9EFpBqFmOKuhrfgs2yJNHMSzLc2MSc6buZNW91kHxSoCexDvgA0Us47x82qmWTmJ2VSQsBTNvzdwNeaiIgqQFI0tKPdgsWKPV2kw7WrXBqtl3ezYguiUfJoG/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<br />
onde:<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnXfjXkIuLkUXIXy9stIuDyoXcYZOx4PuLABVAb2vyyPKDkBF7ECdvCcFktqpEyTF6MTy2hP245YI-lrck3wXQQXBO-KXu6JJLO35CnYSGkaDztdvMrKLvgB4jg4M9thxNbkAySzOst5qZ/s1600/CodeCogsEqn(1).gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhnXfjXkIuLkUXIXy9stIuDyoXcYZOx4PuLABVAb2vyyPKDkBF7ECdvCcFktqpEyTF6MTy2hP245YI-lrck3wXQQXBO-KXu6JJLO35CnYSGkaDztdvMrKLvgB4jg4M9thxNbkAySzOst5qZ/s1600/CodeCogsEqn(1).gif" /></a></div>
<br />
Consideremos <i><b>x</b></i> o vencimento por dia de um funcionário público, então o valor de corte será:<br />
<br />
<div style="text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWQwwsueB8AOWqZL-oSn2y1I9eK_Dq9CRMxFPpbV-tfAl_sSzIjr2yIjJ1o8dYrm41TmTl0s0Bkac5naDZSxRVZvEEs2C8zE8sE4xDyVUQG5kvji4fNZfYZEvVLROS9YV5sV38KtPMOeW3/s1600/CodeCogsEqn(2).gif" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEjWQwwsueB8AOWqZL-oSn2y1I9eK_Dq9CRMxFPpbV-tfAl_sSzIjr2yIjJ1o8dYrm41TmTl0s0Bkac5naDZSxRVZvEEs2C8zE8sE4xDyVUQG5kvji4fNZfYZEvVLROS9YV5sV38KtPMOeW3/s1600/CodeCogsEqn(2).gif" height="35" width="400" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br />
Estas medidas representam assim, em termos reais, um corte salarial de 12,5%.</div>
João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-70611335872862557912013-11-22T20:30:00.000+00:002015-11-07T19:22:44.157+00:00Natureza Matemática <div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/IhRCjK78qx0?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<br />
<br />
<div style="text-align: justify;">
Gostava de partilhar convosco uma abordagem mais filosófica e em termos de Natureza da Matemática.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
E para isso vou recorrer a este excelente trabalho da BBC,para quem já viu fica a ideia para repetir e tentar relacionar com esta publicação.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Diz-se que uma pessoa que mais saiba matemática nunca ultrapassa o dois por cento da sabedoria toda da Matemática.Muitos classificam matemática não como uma ciência,mas sim uma humanidade com repercussão na Ciência.As grandes doutrinas históricas e filosóficas dos Matemáticos são :</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Formalismo - Uma corrente assente em ideias de Kant.Esta corrente foca-se na lógica ,tudo se desenrola sobre as leis da lógica,mas nega que estas (axiomas) sejam por si um principio com essência ou natureza real.Desenvolve toda a matemática numa grande escrita humana que obedece a vários princípios da regra lógica,mas não lhes dá fundamento de essência.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Construtivismo -Admite a existência de entidades abstractas, mas somente na medida que são construídas pela mente da pessoa,a Matemática é entendida como construção mental e não como um conjunto de teoremas como no logicismo.O idealizador desta escola foi Brower.</div>
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/qcSI6d3GIVM?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Platonismo - A Matemática existe independente dos pensamentos e leis formuladas pelas mentes humanas, pois está em alguma parte, no mundo das ideias platónicas. Acredita-se que os objectos matemáticos existem, mesmo que não tenhamos conhecimento sobre eles.Existe essência em tudo o que se explica matematicamente e tudo tem "lugar"na realidade que se situamos.</div>
<div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
A minha opinião aproxima-se muito do que é o platonismo,apesar de se poder absorver e interligar várias características das outras correntes que enriquecem ainda mais o pensamento matemático.Com a evolução da matemática em todas as áreas nos últimos anos, leverá a uma reconstrução de estes pensamentos e mesmo o aparecimento de fusões e novos conceitos.</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
O documentário que se segue,na minha opinião,favorece mais a corrente platonismo.No entanto é apenas a minha mais que humilde opinião,e fica esta publicação um desafio a um discutir e relançar estes temas para cima da mesa,pois parece que nos últimos tempos a matemática tem fugido muito para apenas a sua aplicação ou ensino,uma fuga para o que o livro experiência matemática apelidava de engenharia matemática.</div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
</div>
<div>
<div style="text-align: center;">
<iframe allowfullscreen='allowfullscreen' webkitallowfullscreen='webkitallowfullscreen' mozallowfullscreen='mozallowfullscreen' width='320' height='266' src='https://www.youtube.com/embed/eoCNPusKRSU?feature=player_embedded' frameborder='0'></iframe></div>
<div style="text-align: center;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify;">
Este documentário é retratado como tudo o que existe e acontece está escrito e postulado numa espécie de código,sendo esse código a essência e o "ADN" de tudo o que existe,e esse código é a matemática.</div>
</div>
</div>
Carlos Danielhttp://www.blogger.com/profile/06677185394344205810noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-72399586211378360722013-11-19T11:54:00.000+00:002015-11-07T19:22:44.162+00:00A Matemática nas Escalas Musicais<div dir="ltr" style="text-align: left;" trbidi="on">
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
</div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">A matemática e a música têm funções muito
diferentes na sociedade. No entanto, estão mais intimamente relacionadas do que
geralmente se pensa. A música, com toda a sua paixão e emoção, também é baseada
em relações matemáticas. Noções como a de oitava, acorde, escala ou tonalidade
podem ser desmistificadas e compreendidas logicamente, usando a matemática.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">A matemática também está relacionada com questões de
estética musical. Por exemplo, um músico experiente consegue ouvir um trecho
musical, observar a sua estrutura musical e acompanhá-la correctamente, mesmo
sem conhecer ou ter ensaiado previamente a melodia, por ser capaz de reconhecer
padrões e formas familiares. Este tipo de raciocínio assemelha-se muito ao que
acontece quando se estuda matemática, onde a identificação de relações e
padrões é parte essencial.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Uma das estruturas musicais que está intimamente
relacionada com a matemática, é a noção de escala musical. Uma escala musical é
uma sequência ordenada de tons pela frequência vibratória de sons, (normalmente
do som de frequência mais baixa para o de frequência mais alta), que consiste
na manutenção de determinados intervalos entre as suas notas. Vejamos então
como a matemática está envolvida na construção desta estrutura musical.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Conceitos importantes<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Antes de falar sobre as escalas propriamente ditas,
é conveniente clarificar alguns conceitos, nomeadamente os conceitos de:<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Som - onda (ou conjunto de ondas) que se propaga no
ar com uma certa frequência; para as que se situam na faixa de 20 a 20.000 Hz,
o ouvido humano é capaz de vibrar à mesma proporção, captando essa informação e
produzindo sensações neurais, às quais o ser humano dá o nome de som. <o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Nota musical - termo empregue para designar o elemento
mínimo de um som, formado por um único modo de vibração do ar. A cada nota
corresponde uma duração e está associada uma frequência.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Intervalo - uma diferença de tom entre duas notas;
denominam-se intervalos harmónicos se os dois tons soam simultaneamente e
intervalos melódicos se eles soam sucessivamente.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Acorde - é a escrita ou execução de duas ou mais
notas simultaneamente.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Vejamos agora algumas escalas
importantes em termos musicais e a sua relação com a matemática.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Escala Pitagórica<o:p></o:p></span></b></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Pitágoras desenvolveu a primeira escala musical com
base matemática da história ocidental. Na Escola Pitagórica a Música era
considerada como estando ao mesmo nível da Aritmética, Geometria e Astronomia.
A Música era a ciência do som e da harmonia.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Os antigos gregos descobriram que, para uma nota de
uma determinada frequência só as notas cujas frequências eram múltiplos
inteiros da primeira poderiam ser convenientemente combinadas (consonantes).
Se, por exemplo, a nota de frequência 220 Hz era tocada, as notas com maior
consonância com a mesma seriam as de frequências 440 Hz, 660 Hz, 880 Hz, etc. e
seriam percebidas como versões mais agudas ou graves da mesma nota. A razão
mais importante entre frequências é, por isso, de 1:2, que no sistema de
notação musical ocidental é chamado de um intervalo de oitava (por existirem 8
notas, ou tons inteiros, entre as duas frequências). Sempre que a razão entre
frequências é de 1:2 estamos em presença de um intervalo de oitava. Outras
razões permitem construir outros intervalos os de quinta (2:3), quarta (3:4),
terceira maior (4:5) e terceira menor (5:6), todos importantes para a criação
dos acordes.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">A diferença entre uma quinta e uma quarta era
definida como um tom inteiro, e resulta numa razão de 8:9.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">A afinação de um intrumento pela escala pitagórica
define todas as notas e intervalos de uma escala musical a partir de uma série
de quintas com uma razão de 3:2. Assim sendo é, não só um sistema
matematicamente elegante mas também um dos mais simples de afinar.<o:p></o:p></span></div>
<div style="background: white; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Partindo do intervalo de oitava
dado pelas frequências genéricas f<sub>o</sub><span class="apple-converted-space"> </span>e 2f<sub>o</sub><span class="apple-converted-space"> </span>pode-se formar a escala pitagórica,
desde que se mantenha os intervalos (ou seja as razões numéricas) entre as
notas. As notas obtidas formam a chamada escala diatónica de sete notas que
conhecemos vulgarmente por <span style="background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;">Dó, Ré, Mi, Fá, Sol,
Lá, Si. Se calcularmos os intervalos entre todas as alturas da escala diatónica
teremos apenas dois valores: (9/8) e (256/243), chamados respectivamente de<span class="apple-converted-space"> </span>tom pitagórico diatónico<span class="apple-converted-space"> </span>e<span class="apple-converted-space"> </span>semitom pitagórico diatónico. Obtém-se assim uma escala com 7
notas diferentes como as da figura</span><o:p></o:p></span></div>
<div style="background: white; text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><span style="background-position: initial initial; background-repeat: initial initial;"><br /></span></span></div>
<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<span style="background-color: white; background-position: initial initial; background-repeat: initial initial; color: #ce6300; font-size: 13.5pt;"><!--[if gte vml 1]><v:shapetype
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<div align="center" class="MsoNormal" style="text-align: center;">
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXZNGg7fczdCFt9gLpnx3GXnDUzpkeoSqvl1jfEgX13d0Zy3QPfgMmToOyBTo2SSGED_3pdBoDVBGB5269PFMjgdW1Os8p88yNyTUgqhyphenhyphen7Jk04jk4w38B4If5IKEH9Rm7xbL7NdwqHEg/s1600/Escala+Pitag%C3%B3rica.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhXZNGg7fczdCFt9gLpnx3GXnDUzpkeoSqvl1jfEgX13d0Zy3QPfgMmToOyBTo2SSGED_3pdBoDVBGB5269PFMjgdW1Os8p88yNyTUgqhyphenhyphen7Jk04jk4w38B4If5IKEH9Rm7xbL7NdwqHEg/s1600/Escala+Pitag%C3%B3rica.png" /></a></div>
<span style="background: white; color: #ce6300; font-size: 13.5pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background: white; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Os estudos de
razões “harmónicas” e proporções eram a essência da música durante a época dos
pitagóricos. A partir da Idade Média, no entanto, com o desenvolvimento de
música mais complexa, observou-se que, embora as razões fossem “perfeitas”,
ocorriam problemas quando acordes particulares, diferentes tonalidades ou escalas
com mais notas eram utilizadas.<o:p></o:p></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background: white; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background: white; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">O problema
derivava da definição dos intervalos de terceira, quinta e oitava quando
definidos por números inteiros. Ao adicionar vários intervalos de terceira e
quinta sucessivamente a uma nota de base, nunca se consegue atingir novamente uma
oitava da nota de base. Quer isto dizer que adicionar tons inteiros definidos
pela razão 9:8 a uma nota de base de frequência </span><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">f<sub>o</sub><span style="background: white;">, nunca
permite criar uma nova nota de frequência 2</span>f<sub>o</sub><span style="background: white;">, 3</span>f<sub>o</sub><span style="background: white;">,
4</span>f<sub>o</sub><span style="background: white;"> ou semelhantes.<br />
<!--[if !supportLineBreakNewLine]--><br />
<!--[endif]--><o:p></o:p></span></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=3338939795050372649" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=3338939795050372649" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=3338939795050372649" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=3338939795050372649" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><a href="http://www.blogger.com/blogger.g?blogID=3338939795050372649" imageanchor="1" style="clear: right; float: right; margin-bottom: 1em; margin-left: 1em;"></a><span style="background: white; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Surgiu assim a
necessidade de um sistema de afinação alternativo e de outras definições de
escala.<o:p></o:p></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="background: white; font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal">
<b><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Escala Bem Temperada e Igualmente
Temperada<o:p></o:p></span></b><br />
<b><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span></b></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Johann Sebastian Bach
introduziu, no século XVIII o sistema do “bom temperamento”. O temperamento envolve
o ajuste dos intervalos da escala pitagórica de tal forma que uma oitava era
dividida em intervalos que permitiam tocar em qualquer tonalidade e eliminar o
problema das notas nas oitavas não serem coincidentes. Inicialmente existiam
vários métodos de afinação “bem temperada”. O que sobreviveu até aos nossos
dias foi o sistema com </span><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">uma
escala de doze semitons igualmente distribuidos pela oitava (escala igualmente temperada). O pai de Galileo, um
músico teórico, foi um dos primeiros a propor este sistema, no século XV, embora
este só tenha sido adoptado como referência no século XIX.</span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span>
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Nesta escala, um tom inteiro já
não é definido pela razão 9:8=1,125 mas por dois semitons (cada um expresso
como</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfVbVEPANQW9uv6WjHBc12bzOcY3RTgVJjTjM5-UjcBTYgiJ1XWDPTMfsdXM-uadm1DVFdNFd7H3DSoaS6tNW4x7endAZYcns8k2zUAVkNTg5GYwle4ByYqEJSCR3U9QqsIOPZswhEKg/s1600/Semitom.png" imageanchor="1" style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt; margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhfVbVEPANQW9uv6WjHBc12bzOcY3RTgVJjTjM5-UjcBTYgiJ1XWDPTMfsdXM-uadm1DVFdNFd7H3DSoaS6tNW4x7endAZYcns8k2zUAVkNTg5GYwle4ByYqEJSCR3U9QqsIOPZswhEKg/s1600/Semitom.png" /></a><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">) obtendo o valor numérico de</span><a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWL6yIu824o8qSQ2cdawVYb8yTg50C3laRGCC2cDecvpwhAoyv_vhaVsoqx3XN555N05cg0-WFJk5eecBSZOZmYHu6N_k5A-i_yenPzeHdaZcqTS9aLx-YdYx4Plju4X2bNR77SnN1HA/s1600/Tom.png" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em; text-align: center;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhWL6yIu824o8qSQ2cdawVYb8yTg50C3laRGCC2cDecvpwhAoyv_vhaVsoqx3XN555N05cg0-WFJk5eecBSZOZmYHu6N_k5A-i_yenPzeHdaZcqTS9aLx-YdYx4Plju4X2bNR77SnN1HA/s1600/Tom.png" /></a><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">. Assim sendo, se chamamos <i>i</i><span class="apple-converted-space"> a</span>o intervalo entre cada semitom da
escala temperada, um intervalo de quinta (7 semitons) é i<sup>7</sup>, um
intervalo de quarta (5 semitons) é i<sup>5</sup>, um intervalo de segunda maior
(2 semitons) é i<sup>2</sup>, e assim por diante. O intervalo de oitava (12
semitons), dado por i<sup>12</sup>, tem a relação de 2/1, que corresponde à
oitava pitagórica.<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Pode-se calcular qualquer outro
intervalo da escala temperada usando-se a expressão i<sub>n</sub><span class="apple-converted-space"> </span>= 2<span class="apple-converted-space"> </span><sup>n/12</sup>,
onde n é o número de semitons contido no intervalo. Por exemplo, para calcular
a frequência de um Mi quinta acima (7 semitons) de um Lá de 440 Hz temos:<o:p></o:p></span><br />
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">F<sub>i</sub><span class="apple-converted-space"> </span>= f<sub>o</sub><span class="apple-converted-space"> </span>* 2<span class="apple-converted-space"> </span><sup>n/12</sup><span class="apple-converted-space"> </span>= 440 * 2<span class="apple-converted-space"> </span><sup>7/12</sup><span class="apple-converted-space"> </span>= 440 * 1.498 = 659,25 Hz<o:p></o:p></span></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;"><br /></span></div>
<div class="MsoNormal" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Foram propostas e existem
actualmente várias escalas temperadas. No entanto, a escala de doze semitons igualmente temperada é
a única escala igualmente temperada que contém os sete intervalos consonantes
com uma boa aproximação (cerca de 1% de variação em relação ao intervalo “puro”,
ver tabela) e contém mais intervalos consonantes que dissonantes. Por isso, é
provavelmente a melhor solução de compromisso de todas as escalas possíveis,
sendo essa a razão pela qual é a escala de referência no mundo ocidental e a
sua utilização é comum em todo o mundo.<o:p></o:p></span></div>
<div class="MsoNormal">
<br /></div>
<div align="center">
<table border="1" cellpadding="0" cellspacing="1" class="MsoNormalTable" style="border: solid windowtext 1.0pt; margin-left: 20.75pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; mso-border-insideh: .5pt solid windowtext; mso-border-insidev: .5pt solid windowtext; mso-cellspacing: .7pt; mso-padding-alt: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 94%px;">
<tbody>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<b><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Nota<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<b><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Razão Intervalar
da Escala Pitagórica<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<b><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Razão Intervalar
da Escala Igualmente Temperada<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<b><span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">N<sup>o</sup> de Semitons<o:p></o:p></span></b></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Dó<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,000<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,000<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">0<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Dó# Réb<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,054<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,059<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Ré<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,125<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,122<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">2<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Ré# Mib<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,185<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,189<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">3<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Mi<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,266<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,260<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">4<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Fá<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,333<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,335<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">5<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Fá# Solb<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,405<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,414<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">6<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Sol<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,500<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,498<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">7<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Sol# Láb<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,580<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,587<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">8<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Lá<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,688<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,682<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">9<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Lá# Sib<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,778<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,782<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">10<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Si<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,898<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">1,888<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">11<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
<tr>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 17.6%;" valign="top" width="17%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Dó<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 26.22%;" valign="top" width="26%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">2,000<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 32.82%;" valign="top" width="32%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">2,000<o:p></o:p></span></div>
</td>
<td style="border: solid windowtext 1.0pt; mso-border-alt: solid windowtext .5pt; padding: 3.75pt 3.75pt 3.75pt 3.75pt; width: 22.52%;" valign="top" width="22%"><div align="center" style="text-align: center;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">12<o:p></o:p></span></div>
</td>
</tr>
</tbody></table>
<br /></div>
<div class="style1" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">A principal questão
das escalas e sistemas de afinação temperados é que embora o ouvido humano prefira
os intervalos “puros” pitagóricos, uma escala temperada é necessária para a
execução de música mais complexa com acordes e instrumentação variada. De um
modo geral, os indivíduos preferem escalas musicais com muitos intervalos
consonantes (que “soam bem”). Não existe uma lista definitiva de intervalos
consonantes porque o conceito de consonância envolve um julgamento estético
subjectivo. O que é facto é que os músicos actuais têm que se adaptar ás
pequenas dissonâncias da escala temperada para afinar os seus instrumentos. <o:p></o:p></span></div>
<div class="style1" style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<br /></div>
<div style="text-align: justify; text-justify: inter-ideograph;">
<span style="font-family: Verdana; font-size: 10.5pt;">Quer isto dizer que
vivemos agora num mundo de escalas igualmente temperadas? Não propriamente.
Actualmente vivemos num mundo onde a música de Bach será tocada num instrumento
bem temperado, a música medieval executada utilizando a escala pitagórica e
Chopin num piano igualmente temperado. A tendência actual é para tentar
reproduzir, sempre que possível, a sonoridade da época em que a composição
musical foi escrita. Para tal o conhecimento e uso de uma afinação específica e das relações
matemáticas entre as notas aqui abordadas é fundamental.<o:p></o:p></span></div>
</div>
Ana Silvahttp://www.blogger.com/profile/06666936824832518623noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-73823776442291070352013-11-15T23:24:00.001+00:002015-11-07T19:38:35.363+00:00Conto Árabe: divisão de camelos...<div style="text-align: justify;">
Um homem, que tinha 17 camelos e 3 filhos, morreu.<br /><br />Quando o testamento foi aberto, dizia que metade dos camelos ficaria para o filho mais velho, um terço para o segundo e um nono para o terceiro.<br /><br />O que fazer? Eram dezassete camelos; como dar metade ao mais velho? Um dos animais deveria ser cortado ao meio? <br /><br />Tal não iria resolver, porque um terço deveria ser dado ao segundo filho. E a nona parte ao terceiro. É claro que os filhos correram em busca do homem mais erudito da cidade, o estudioso, o matemático. Ele raciocinou muito e não conseguiu encontrar a solução. Matemática é matemática. <br /><br />Então alguém sugeriu: "É melhor procurarem alguém que saiba de camelos não de matemática". Procuraram assim o Sheik, homem bastante idoso e inculto, mas com muito saber de experiência feito. Contaram-lhe o problema. <br /><br />O velho riu e disse: "É muito simples, não se preocupem". <br /><br />Emprestou um dos seus camelos - eram agora 18 - e depois fez a divisão. Nove foram dados ao primeiro filho, que ficou satisfeito. Ao segundo coube a terça parte - seis camelos e ao terceiro filho, foram dados dois camelos - a nona parte. Sobrou um camelo: o que foi emprestado. <br /><br />O velho pegou seu camelo de volta e disse: "Agora podem ir". <br /><br />Esta história foi contada no livro "Palavras de fogo", de Rajneesh e serve para ilustrar a diferença entre a sabedoria e a erudição. Ele conclui dizendo: "A sabedoria é prática, o que não acontece com a erudição. A cultura é abstracta, a sabedoria é terrena; a erudição são palavras e a sabedoria é experiência." </div>
José Sousahttp://www.blogger.com/profile/10226538733647831050noreply@blogger.com6tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-5887071827603391512013-11-11T21:56:00.001+00:002015-11-07T19:07:34.120+00:00Notas dos alunos no Exame Nacional de Matemática<div style="text-align: justify;">
A desgraça continua a sagrar entre a população portuguesa no domínio da Matemática. Uma população matematicamente letrada, nunca autorizaria levar o saque que levou no BPN, pois sabe quantificar muito bem milhares de milhões; nem nunca autorizaria a promiscuidade das PPP, pois os valores andam na mesma ordem de grandeza. Já uma população matematicamente iletrada, deixa que a dívida pública tome proporções astronómicas, porque "não é comigo, é pública e alguém depois paga", e não percebe a enormidade dos valores quando se lhe diz o que o país paga só de juros, o equivalente a cerca de 5% do PIB, ou seja cerca de 7 mil milhões de euros (são 70 <i>jackpots</i> do Euromilhões só em juros). Enquanto a educação estiver nestes níveis ao nível da matemática, o futuro não é promissor, ainda para mais num exame nacional que era tudo, menos difícil. Fonte: Ministério da Educação</div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2vPqkBHQPXjM4EKpNP3oN13Tw_71xqRgV14Kc_nys5937VHro4GWpBxAB_bYTIkhzFSeswqyB1w-ZA8XkLLJafDdxE32dE6FdAIKu3Oms4rJnQJ2tT9_I00wP7D-ahavVilo7MtayEudR/s1600/Estat_matem%C3%A1tica.JPG" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEj2vPqkBHQPXjM4EKpNP3oN13Tw_71xqRgV14Kc_nys5937VHro4GWpBxAB_bYTIkhzFSeswqyB1w-ZA8XkLLJafDdxE32dE6FdAIKu3Oms4rJnQJ2tT9_I00wP7D-ahavVilo7MtayEudR/s1600/Estat_matem%C3%A1tica.JPG" width="540" /></a></div>
<div style="text-align: justify;">
<br /></div>
<br />
<br />João Pimentel Ferreirahttp://www.blogger.com/profile/11631276269498052418noreply@blogger.com1tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-90571157765664871282013-11-09T16:03:00.000+00:002015-11-07T19:22:44.179+00:00A Beleza da Matemática<center>
<iframe src="//player.vimeo.com/video/77330591" width="580" frameborder="0" webkitallowfullscreen mozallowfullscreen allowfullscreen></iframe> <p><a href="http://vimeo.com/77330591">BEAUTY OF MATHEMATICS</a> from <a href="http://vimeo.com/parachutestv">PARACHUTES.TV</a> on <a href="https://vimeo.com">Vimeo</a>.</p>
</center>Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03840346401111731318noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-3338939795050372649.post-21534115188203918152013-10-31T23:23:00.000+00:002016-09-25T13:04:04.140+01:00Ainda a Razão de Ouro.<div style="text-align: justify;">
Imagine que se pretende mensurar algo cujas dimensões se ignora por completo. Nestas situações é típico usar como referência uma escala/sucessão cujos valores consecutivos crescem de forma exponencial/geométrica.<br />
<br />
Se pensarmos numa sucessão geométrica, ela tanto pode ter, ainda que tal seja subjectivo, termos relativamente próximos uns dos outros, digamos: 1; 1.1; 1.21...(razão 11/10) ou termos mais díspares, por exemplo: 1; 10; 100; 1000 (razão 10).<br />
<br />
Podemos ainda observar que os dois primeiros termos da 1ª Sucessão (1 e 1.1) somados ultrapassam o valor do termo seguinte (terceiro, isto é, 1.21) ao passo que os dois primeiros termos da 2ª Sucessão (1 e 10) somados não ultrapassam o valor do 3º Termo (100).<br />
<br />
Perante isto podemos nos colocar a seguinte questão: será que alterando a razão duma sucessão geométrica é possível obrigar a que a soma dos primeiros dois termos desta sucessão sejam iguais ao valor do terceiro termo?</div>
<br />
Ou seja:
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4cAc-RT3tw6bvxLbE_6vBF_fqIb7XreQhBKJM0gCC_iZGXRUxw-wVVxqjWN-kuJ_KigyqTz18b3XnR3V82E9AEisOD1q75ccHYYrvAyu0RqRh5uzbbkmZI__V6tgcFgOGqFfBUAcg7KUr/s1600/CodeCogsEqn.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh4cAc-RT3tw6bvxLbE_6vBF_fqIb7XreQhBKJM0gCC_iZGXRUxw-wVVxqjWN-kuJ_KigyqTz18b3XnR3V82E9AEisOD1q75ccHYYrvAyu0RqRh5uzbbkmZI__V6tgcFgOGqFfBUAcg7KUr/s1600/CodeCogsEqn.gif" /></a></div>
<br />
Resolvendo:<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDa12NQaFBYM9m60-K94HNvZ6pgMScTUbA_mBeEFJifwti_zkxDuWkCiERParul3OstRVqu2DJxHQ9pdLku8boVi5cBs8_DMu8isCt5SiuCHMJj1i4Hm9TJcsZ-qk3FgLQZFpWRBBZ38dU/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhDa12NQaFBYM9m60-K94HNvZ6pgMScTUbA_mBeEFJifwti_zkxDuWkCiERParul3OstRVqu2DJxHQ9pdLku8boVi5cBs8_DMu8isCt5SiuCHMJj1i4Hm9TJcsZ-qk3FgLQZFpWRBBZ38dU/s1600/CodeCogsEqn+%25281%2529.gif" /></a></div>
<br />
Naturalmente desejamos uma sucessão que não seja constante, isto é,<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYH0dSKAwYkDaWTLGVq37FaeR2cgnLMjt7yKxubpz3HEngvpnV_GO-F6T18qdbhSqUYzZFk4K0Wk3VHNcVf8aObgDRzit4D16Ya5aZVnvH8anprofrHlmGLqExvTpnpU9C7ZjtqdgpuDI5/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgYH0dSKAwYkDaWTLGVq37FaeR2cgnLMjt7yKxubpz3HEngvpnV_GO-F6T18qdbhSqUYzZFk4K0Wk3VHNcVf8aObgDRzit4D16Ya5aZVnvH8anprofrHlmGLqExvTpnpU9C7ZjtqdgpuDI5/s1600/CodeCogsEqn+%25282%2529.gif" /></a></div>
<br />
Logo,<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1WZNYPPQPbcRKhvejGJKf910nSKI8RrD4BQaRHDecrAPsxQyHVkLcKWgUICIvWAiW7QQYRwhkxwwdzZ-V2SJkGNkKPan0krqoi7o7wEqqFrLnjKs9olSs7nwOiPLEp8Nmmc5KDLyBEIlt/s1600/CodeCogsEqn+%25283%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEh1WZNYPPQPbcRKhvejGJKf910nSKI8RrD4BQaRHDecrAPsxQyHVkLcKWgUICIvWAiW7QQYRwhkxwwdzZ-V2SJkGNkKPan0krqoi7o7wEqqFrLnjKs9olSs7nwOiPLEp8Nmmc5KDLyBEIlt/s1600/CodeCogsEqn+%25283%2529.gif" /></a></div>
<br />
Usando a fórmula resolvente do segundo grau,<br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMDsBP1Dw1albb38O-RUu0wPqlStu65aIIOULpoVy8p2Hsd-GNX5DUDFw0WocKP-Se6HPVx9wvoBQfCvlXAHLCxAtqa6NBy-CO5M9q95AMLYHNffJoV99pRNwnC39YHKYo8Vx_6hYUp3nQ/s1600/CodeCogsEqn+%25284%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEiMDsBP1Dw1albb38O-RUu0wPqlStu65aIIOULpoVy8p2Hsd-GNX5DUDFw0WocKP-Se6HPVx9wvoBQfCvlXAHLCxAtqa6NBy-CO5M9q95AMLYHNffJoV99pRNwnC39YHKYo8Vx_6hYUp3nQ/s1600/CodeCogsEqn+%25284%2529.gif" /></a></div>
<br />
<div style="text-align: justify;">
Naturalmente não nos interessa uma sucessão alternada logo o valor que procuramos é <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu2OM-42JfFFD2ikLCpSfOV5uloPJV34jh6J06YxdJtNDaCK-auZ7LCHFKDR0niQ6wFq0Q-8-zuiRcmL6q7TVoqM4es72qLj_XcXeVVgjurkeLvz0f58V2ancyMtJSMMP0Nf3g2g_NP4aq/s1600/CodeCogsEqn+%25285%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEgu2OM-42JfFFD2ikLCpSfOV5uloPJV34jh6J06YxdJtNDaCK-auZ7LCHFKDR0niQ6wFq0Q-8-zuiRcmL6q7TVoqM4es72qLj_XcXeVVgjurkeLvz0f58V2ancyMtJSMMP0Nf3g2g_NP4aq/s1600/CodeCogsEqn+%25285%2529.gif" /></a></div>
<br />
Ou seja a Razão de Ouro! A Razão de Ouro é um número que encontramos com frequência na natureza. Ao desfrutar da característica do termo consecutivo seguinte, duma sucessão geométrica de razão igual à Razão de Ouro, ser igual à soma dos dois termos imediatamente anteriores, é somente natural encontrá-la nos mais diversos fenómenos naturais em que o estado consequente destes depende da combinação aditiva dos dois estados imediatamente anteriores. Estando a natureza repleta dos mais diversos ciclos, continuamente a decorrerem, seja a substituição das gerações das espécies ou a dinâmica das marés ou atmosfera, é com relativa facilidade que a Razão de Ouro nos sorri. Consta que Leonardo Da Vinci considerava a Razão de Ouro a proporção ideal, da razão do comprimento com a largura duma folha de papel. Certamente que o génio renascentista encontrava argumentos para justificar um menor desperdício de espaço(papel) e flexibilidade de utilização da folha de papel quando pretendia representar algo com determinada medida na mesma.<br />
<br />
Proporção essa que nos dias de hoje foi sacrificada no formato de papel A, de modo a que dois tamanhos consecutivos desfrutem da propriedade de dobrarem a área, quando se passa dum númeo imediatamente superior (curiosamente aquele com maior número, certamente traduzindo um maior números de divisões consecutivas do formato de referência A0) para outro com um número imediatamente inferior consecutivo.<br />
<br />
Por conseguinte a razão do comprimento com a largura duma folha de papel de formato A é <br />
<br />
<div class="separator" style="clear: both; text-align: center;">
<a href="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTZjxSNb7cD2P4T7cGxLrAiMgl0WdNUJuzNWM5wnoL3ooO9jzzCOu8wUHb_wbW6CEBYRgU6LY4Pp8qQYZvDTVm8yO8A0niCjyq6jo1ZIiwiJD6e4YR1LBEDwNL1K3wlLPjQt5ivlHPA8de/s1600/CodeCogsEqn+%25286%2529.gif" imageanchor="1" style="margin-left: 1em; margin-right: 1em;"><img border="0" src="https://blogger.googleusercontent.com/img/b/R29vZ2xl/AVvXsEhTZjxSNb7cD2P4T7cGxLrAiMgl0WdNUJuzNWM5wnoL3ooO9jzzCOu8wUHb_wbW6CEBYRgU6LY4Pp8qQYZvDTVm8yO8A0niCjyq6jo1ZIiwiJD6e4YR1LBEDwNL1K3wlLPjQt5ivlHPA8de/s1600/CodeCogsEqn+%25286%2529.gif" /></a></div>
<br />
O compromisso encontrado para as folhas de papel de formato A.</div>
Anonymoushttp://www.blogger.com/profile/03293087307198354035noreply@blogger.com2