Entender a Refração da Luz, com a fuga do Lucas à polícia

Fonte: Wikipédia.

A refração da luz ocorre quando um feixe de luz, na imagem a vermelho, muda de um meio para outro meio com índice de refração diferente, ou seja, nestes diferentes meios (ar e água, por exemplo), a luz tem velocidades diferentes. Sabemos que a luz tem uma velocidade, que de acordo com a física moderna, representa o limite de velocidade máxima que alguma matéria com massa consegue atingir. Mas normalmente a velocidade da luz é apresentada como sendo a velocidade da luz no vácuo, sendo esta simbolizada pela letra c, e sendo igual a 299,792,458 metros por segundo. Para fácil memorizar, pode-mo-la aproximar a 300 mil km/s. Este valor representa sempre a velocidade da luz no vácuo, pois por exemplo a velocidade da luz no germânio é "apenas" cerca de 75 mil km/s, um valor bem inferior.

A fórmula que nos indica a relação entre os ângulos de incidência e refração, quando a luz atravessa de um meio para outro meio, é denominada por lei de Snell ou lei de Descartes. Mais precisamente, esta fórmula dá-nos o desvio angular sofrido por um raio de luz ao passar para um meio com índice de refração diferente do qual este estava percorrendo:

Para sabermos o índice de refração n de cada um dos meios, basta aplicarmos a seguinte fórmula:

Onde n é o índice de refração do meio escolhido (ar ou água, por exemplo); c é a velocidade da luz no vácuo (constante); e v é a velocidade que a luz tem no meio escolhido. Ou seja, basta dividir a velocidade da luz no vácuo pela velocidade da luz no meio escolhido, para termos o índice de refração desses mesmo meio. É por sabermos que o índice de refração n do germânio é aproximadamente igual a 4, que podemos inferir então que a velocidade da luz no germânio é cerca de 300 mil km/s a dividir por 4, ou seja, cerca de 75 mil km/s, como anteriormente referido.

Mas porque motivo um feixe de luz não segue "sempre em frente", e "desvia-se" quando passa de um meio para outro? E porque motivo a luz apenas se desvia quando entre num meio diferente na diagonal, ou seja "de lado", visto que quando o feixe de luz entra mesmo "de frente", ou seja, numa direção perpendicular à linha que separa os dois meios, a luz já não "se desvia"? Porquê?

A fuga do Lucas à polícia

O dia-a-dia do Lucas, bandido profissional, responde às perguntas anteriores. Imaginemos que o Lucas foge à polícia na sua favela, favela essa que conhece com bastante detalhe. Vem de um beco no fundo do lado esquerdo da imagem, e precisa de fugir para o topo do lado direito, para outro beco na favela. Mas entre os becos existe uma estrada de alcatrão, a cinzento na imagem, e uma pequena lagoa sem corrente, ou seja, com águas paradas, representada a azul e situada entre a estrada de alcatrão e o beco por onde o Lucas precisa de fugir da polícia. Qual o objetivo do Lucas? Obviamente chegar o mais rapidamente ao seu destino, visto que está a ser perseguido pela polícia ao longo dos becos da favela. E que trajeto deve tomar o Lucas? Normalmente, caso o meio que atravessa seja sempre o mesmo, o trajeto evidente é uma linha reta. Mas neste caso sabemos que o Lucas corre muito mais rapidamente do que nada, aliás como quase todas as pessoas. Logo, existirá um ponto divisório na transição entre o alcatrão e a lagoa, que minimiza o tempo que o Lucas leva a percorrer de um beco ao outro. E que ponto é esse? Embora o Lucas tenha um feeling, algo intuitivo visto conhecer bem a sua favela, que não deve seguir em linha reta para que possa chegar o mais rapidamente possível ao seu destino, é preciso "colocar a mão na massa" na Matemática, para achar com exatidão o referido ponto divisório entre estes dois meios.

O Lucas foge à polícia de um beco para outro beco, através de uma estrada de alcatrão onde corre e de uma lagoa onde nada. Qual o trajeto que o Lucas deverá fazer, para que o tempo que demora entre os dois becos seja o menor possível? Isto é, qual o trajeto que deverá fazer para chegar o mais rapidamente possível ao outro beco?

Assumamos os seguintes dados: a largura da estrada de alcatrão é d₁, e a largura da lagoa, admitamos retangular, é d₂. No alcatrão a velocidade do Lucas a correr é v₁ e na lagoa a sua velocidade a nadar é v₂. O ponto que queremos achar é a distância x, ou seja, a distância ao longo da direção da linha que separa os dois meios, entre o ponto de entrada do Lucas no alcatrão e o ponto de entrada na água. O ângulo de entrada na transição entre o alcatrão e a lagoa é θ₁ e o ângulo de saída dessa mesma transição é θ₂.

Sabemos que a velocidade média de um objeto é a variação do espaço percorrido em linha reta, sobre o tempo percorrido ao longo dessa linha:

Logo, concluímos que a variação do tempo, ou seja, o tempo decorrido é:

Também sabemos, pelo teorema de Pitágoras, que o espaço percorrido pelo Lucas, entre o ponto que entra no alcatrão e o ponto em que entra na água, ou seja, o espaço percorrido ao longo do alcatrão, é:

Equivalentemente, também sabemos pela imagem que o espaço percorrido pelo Lucas na água, é

Logo, combinando as fórmulas apresentadas, podemos concluir que o tempo total T que o Lucas demora a percorrer o alcatrão mais a água, é:

Agora que temos a função que correlaciona o tempo total do Lucas, ao longo do alcatrão e da água, em função da distância x, queremos achar o valor x que minimiza o valor T. Ou seja, estamos perante um exercício de otimização. Como em qualquer exercício de otimização, precisamos de cálculo diferencial, quer isto dizer que precisamos de achar a derivada de primeira ordem de T em função de x, e igualar tal derivada a zero para achar os extremos da função, neste caso, acharmos o mínimo da função T em função de x. Mais concretamente, precisamos de resolver a seguinte equação:

Considerando que lidamos com raízes, recordemos a regra das derivadas das raízes:

Logo, concluímos então, que:

Ou seja, queremos resolver a seguinte equação:

Resolver esta equação em função de x e de forma analítica, é deveras complexo, e após tentar resolver, chegamos a um polinómio de x de grau quatro, que não tem solução simples e evidente.

Todavia, considerando as regras de trigonometria, sabemos que o seno de um determinado ângulo num triângulo retângulo, é o cateto oposto a dividir sobre a hipotenusa. Logo, olhando para a imagem lá em cima, conseguimos deduzir as seguintes relações trigonométricas:

Logo, juntando estas duas últimas funções, concluímos que

Sabendo de antemão a regra que correlaciona os índices de refração com a velocidade, apresenta logo no início do artigo, podemos concluir que:

Logo, da equação anterior dos senos, conclui-se:

Resultando assim na famosa lei de Snell-Descartes, lei de Snell ou lei de Descartes.

Conclusão

Concluímos que se o Lucas garantir que o seno do ângulo de incidência dividido pela velocidade no alcatrão for igual ao seno do ângulo de saída dividido pela velocidade na água, o tempo que o Lucas fará será sempre o mínimo possível, independentemente das posições dos becos e das dimensões da estrada ou da lagoa. A luz, tal como o Lucas que foge à polícia, obedece ao mesmo princípio, ou seja, a luz "desvia-se" para que o tempo que o feixe de luz percorre entre dois pontos possíveis, seja sempre o menor tempo possível, independentemente das distâncias envolvidas ou do ângulo de entrada.

A Física-Matemática no Consumo vs. Velocidade de um automóvel

Consumo versus velocidade para vários modelos de automóvel
Fonte: energy-ecology

Muitos testes automóveis, assim como os indicadores dos veículos, concluem que a velocidade onde o consumo é menor, é no intervalo entre cerca de 50 km/h e 80 km/h. Mas porquê? Faremos as respetivas deduções físico-matemáticas.

Leis de Newton

Num carro em movimento atuam essencialmente duas forças, a Força Motriz (F_m) do motor e a Força de atrito (F_a). Esta força de atrito tem essencialmente duas componentes, que é a força de atrito mecânico-dinâmica, que se encontra nos rolamentos e nas peças circulantes do carro, e que pelas leis da Física depende linearmente da velocidade; e a força de atrito aerodinâmica entre o carro e a atmosfera envolvente, que pelas mesmas leis da Física depende do quadrado da velocidade.

Essa força de atrito (F_a) poderá ser escrita então como:

A força (F) resultante no automóvel será então a força motriz menos a força de atrito:

Sabe-se pelas leis de Newton que:

logo, ficamos com a seguinte equação diferencial:

Consumo de combustível

O consumo de combustível do motor por unidade de tempo (r) num motor de combustão, para um funcionamento num ponto específico, é proporcional à Potência Motriz (P_m) do motor, mais uma constante (k) que serve para manter apenas o motor a trabalhar, como por exemplo, quando este está no ralenti, ou seja:

onde r é o consumo em litros por segundo (l/s). Sabemos todavia que a Potência é a variação de Energia sobre o tempo, e que a Energia ou o Trabalho, é a força vezes o deslocamento, então:

logo

reparemos que r é medido em litros por segundo que v é medido em metros por segundo, logo

concluindo-se que o consumo do veículo (c), em unidade de volume de combustível (litros), por unidade de espaço (metros), é dada pela seguinte expressão

Podemos agora colocar a equação acima em ordem à Força Motriz, ficando:

logo, juntando as fórmulas da equação diferencial lá de cima com esta última, temos:

para velocidades constantes v'=0, logo

Teste matemático

Faremos o teste matemáticos mais simples, assumindo

ou seja, desconsiderando por completo fatores de escala. O gráfico é o seguinte, o que se assemelha com os testes práticos do primeiro gráfico.

Compensa ir de Portugal até Espanha para atestar o depósito?

Com o aumento dos combustíveis em Portugal devido ao aumento da fiscalidade sobre os produtos petrolíferos, coloca-se a questão pertinente de saber até que ponto compensará ir até Espanha para atestar o depósito do veículo. A fórmula geral para a poupança é a seguinte:

É intuitivo apercebermo-nos que quanto mais longe o condutor do veículo estará da fronteira, menos compensará a referida viagem. Assim, a primeira parte da parcela T_qx(P_cp-P_cE) faz referência ao ganho pelo facto de haver um diferencial entre os preços dos dois lados da fronteira e a segunda parcela com sinal negativo faz referência ao custo da operação de ir até à fronteira atestar o depósito e posteriormente regressar até ao local de partida.

Ou seja, é necessário fazer a viagem de ida-e-volta, e multiplicá-la pelo consumo do veículo, dividindo posteriormente por 100 para sabermos quantos litros de combustível são necessários para fazer a referida viagem de ida-e-volta até ao posto de abastecimento espanhol. Posteriormente será necessário multiplicar o referido valor pelo preço do combustível em Espanha, pois parte-se do pressuposto que o condutor já partiria de Portugal com o veículo fazendo uso de combustível espanhol. Parte-se ainda do princípio que o veículo chega com o tanque vazio ao posto espanhol e que os custos por km percorrido se resumem ao combustível.

Apresenta-se de seguida o gráfico que relaciona a poupança com a distância até à fronteira para algumas condições comuns do grande público e dos preços correntes dos combustíveis à data de março de 2016.

Entender os escalões do IRS e do IRPF

Todos temos bem presente, infelizmente, que em Portugal e no Brasil, a Matemática desde Pedro Nunes, nunca mais recebeu o esplendor de outros áureos tempos. Tal patente iliteracia numérica de uma larga maioria da população, aliada à disseminação da democracia popular e por vezes circense, tem como consequência a pobreza, a corrupção, os baixos salários e uma economia pouco pujante. Mas se é um facto que o povo é por norma matematicamente iletrado, mais grave ainda, é atestar, que alguma classe política supostamente douta e academicamente letrada, envereda por sofismas matemáticos e ideológicos, apenas para obter dividendos políticos.

Um dos grandes sofismas do debate político, é de natureza fiscal, e dá pelo nome de escalões do IRS, ou escalões do IRPF (Imposto de Renda de Pessoa Física, no Brasil). Analise-mo-lo!

Três teoremas

Começarei por estabelecer três pequenos teoremas, os quais demonstrarei posteriormente.

1. O IRS é sempre progressivo independentemente do número de escalões.
2. O IRS é sempre progressivo em percentagem para um número de escalões superior a dois.
3. Um maior número de escalões não implica maior progressividade fiscal.

Teorema número 1

Podemos afirmar, que caso houvesse apenas um escalão de IRS, ou seja, uma percentagem fixa que cada um pagava de imposto dos seus rendimentos, que mesmo nesse caso, poderíamos dizer que o imposto era progressivo à luz da norma constitucional, mais precisamente o n.º 1 do artigo 104.º da Constituição da República Portuguesa que refere que "o imposto sobre o rendimento pessoal visa a diminuição das desigualdades e será único e progressivo, tendo em conta as necessidades e os rendimentos do agregado familiar". Caso o IRS fosse então, por exemplo 10% para todos os contribuintes, ou seja uma taxa fixa para qualquer rendimento, já era, de facto, progressivo, pois alguém que ganhasse 1000€ por mês pagaria 100€ e alguém que ganhasse 10000€ pagaria 1000€. Neste caso mais simples, estamos perante uma operação linear, ou seja, uma reta diagonal que passa pela origem, num gráfico onde o eixo horizontal poderia ser o rendimento coletável, e o eixo vertical o valor que era de facto pago pelo contribuinte.

Valor de imposto realmente pago para taxa fixa de 10%.
O pagamento real já é progressivo em função dos rendimentos.

Demonstrámos assim que para um número de escalões igual a 1, ou seja, uma taxa fixa, o IRS já seria progressivo. Este princípio fiscal remonta à época bíblica, com a instituição do denominado dízimo, onde cada membro deveria pagar 10% dos seus rendimentos, tendo-se assim já em conta a capacidade contributiva do contribuinte. Alguns países, como a Rússia, aplicam este modelo fiscal, ou seja, aplicam apenas uma taxa fixa para todos os rendimentos, sendo como explanámos, a taxação já enquanto tal, progressiva.

Teorema número 2

Consideremos mesmo assim a progressividade, não do ponto de vista nominal, ou seja, aquilo que cada contribuinte realmente paga, mas do ponto de vista percentual, ou seja, a percentagem real do seu rendimento, que o contribuinte realmente paga de imposto. E demonstra-se que com dois escalões, o IRS, mesmo percentualmente, já é progressivo. Caso demonstremos que para dois escalões o IRS é progressivo, deduz-se facilmente por inferência, que o IRS também é progressivo, para qualquer número de escalões maior que dois.

Imaginemos então que existem dois escalões de IRS, um de 10% até 1000€ por mês (uso o período mensal por questões de simplicidade), e outro de 20% a partir de 1000€ por mês. Alguém por exemplo que ganhasse 1500€ pagaria 10% pelos primeiros 1000€ e 20% pelos 500€ adicionais, ou seja, pagaria 200€:

Na realidade, este contribuinte teve uma taxa real de 200€/1500€, ou seja de 13,3%. Podemos ainda estabelecer a equação geral, referindo que o valor pago de IRS a aplicar nesta combinação de escalões é:

Onde r é o rendimento coletável do contribuinte e v(r) é o valor em dinheiro que o contribuinte paga de imposto. Até 1000€ o contribuinte paga sempre apenas 10% do seu rendimento. A partir de 1000€, o contribuinte paga sempre pelo menos 100€ fixos, que é os 10% de 1000€, acrescidos de 20% do valor restante, ou seja, 20% do valor que acresce aos 1000€. Neste caso temos o seguinte gráfico:

Valor realmente pago. Dois escalões.
O primeiro escalão até 1000€ de 10%,
O segundo escalão a partir de 1000€ de 20%

Se quisermos todavia fazer o cálculo da percentagem real que o contribuinte paga, teremos de dividir o valor total de imposto pago, pelo valor do rendimento coletável, ou seja, a fórmula anterior fica a seguinte:

onde p(r) é o valor real em percentagem de IRS realmente pago. No exemplo em apreço, ficamos com o seguinte gráfico:

Valor percentual realmente pago. 10% até 1000€. O segundo escalão é de 20%,
mas aplica-se os 20% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 1000€.

Façamos outro caso extremo com dois escalões, ou seja, apesar do uso de dois escalões, um sistema altamente progressivo. O primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, e um segundo escalão 30% a partir desse valor.

Valor percentual realmente pago. 5% até 500€. O segundo escalão é de 30%,
mas aplica-se os 30% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 500€.

Neste caso, apesar de termos apenas dois escalões, verifica-se que o valor pago de imposto, mesmo analisando-o apenas do ponto de vista percentual, é realmente bastante progressivo.

Teorema número 3

A forma mais fácil para demonstrar o Teorema 3, visto que é um teorema que está postulado na negativa, é demonstrar um caso onde um maior número de escalões comporte menor progressividade fiscal. Regressemos ao gráfico anterior, onde se apresentou um caso com dois escalões, o primeiro até 500€ e de 5% e o segundo de 30% para valores superiores a 500€. O resultado do valor percentual realmente pago, apresentou-se nesse gráfico. Se porventura apresentarmos um gráfico com um número de escalões superior onde se verifique menor progressividade fiscal, o teorema ficaria automaticamente demonstrado, visto que o mesmo está postulado na negativa.

Imaginemos então um exemplo com três escalões, o primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, um segundo escalão de 7% entre 500€ e 1500€, e um terceiro escalão de 10% a partir de 1500€. Neste caso, com um maior número de escalões, ou seja, três em vez de dois, a progressividade do imposto seria bem menor, como pode ser observado no seguinte gráfico:

Sistema com três escalões. 1.º de 5% até 500€.
2.º de 7% entre 500€ e 1500€ e 3.º de 10% a partir de 1500€.
A progressividade é mais baixa que no caso anterior com dois escalões.

Conclusão

Engane-se o eleitor que considere que os políticos são socialmente mais justos por aumentarem o número de escalões do IRS ou do imposto de Renda. Mais importante que o número de escalões, para a progressividade fiscal, é a sua estrutura e configuração. Em acréscimo, parece-me que essa dialética sofista tem sido usada, para aumentando o número de escalões e por conseguinte ludibriar o eleitorado sobre a justeza deste tipo de ações, de facto, aumentar-se na globalidade este imposto, mexendo nas taxas.

Reparemos na real taxa de IRS paga em Portugal nos anos de 2012 e 2013, num gráfico que produzi e partilhei na Wikimédia. Independentemente do número de escalões, que diminuíram em 2013 em relação a 2012, como pode ser visto pelo inferior número de troços, o mais importante é o valor percentual dos mesmos. 2013 foi o ano em que o ministro das finanças de então Vitor Gaspar, em clima de austeridade, referiu que haveria um "enorme aumento de impostos". 

Faço por conseguinte um apelo à classe política para que não altere o número de escalões do IRS, pois aumenta a entropia e a confusão junto do eleitorado, e caso queira obter mais ou menos receita fiscal, que se limite a alterar o valor das taxas, assim como os seus limites. Qualquer argumentário que se preze por ser socialmente mais justo apenas com o aumento do número de escalões, ou economicamente mais liberal apenas com a sua redução, é um argumentário extremamente redutor e na maioria dos casos, demagógico.

Como a austeridade travou dívida pública

Ouvimos muita gente no dia-a-dia mencionar algo sobre a dívida pública sem realmente perceber muito bem como funciona nem sequer como é calculada. Em acréscimo nas questões fraturantes com referência ao antigo Primeiro-Ministro José Sócrates e às políticas de austeridade dos últimos anos, as opiniões da rua e dos espaços de comentários na Internet, assim como de muitos agentes da classe política, tornam-se mais acesas e mais dicotómicas, todavia por vezes ainda mais ruidosas e confusas. Quase toda a gente na praça pública fala da dívida pública, desde jornalistas, políticos, comentadores, economistas e até eleitores comuns. Se por um lado tal é positivo, pois realça que a população em geral no exercício da sua cidadania considera este indicador importante, por outro lado o interesse do público gera também muita desinformação que convém todavia esclarecer matematicamente. Na Matemática Viva somos totalmente apartidários, queremos deixar isso bem vincado, mas como sempre referimos achamos que é importante vivificar a matemática em Portugal, tornando o eleitor mais esclarecido. Assim sendo, demonstrarei matematicamente que as políticas de austeridade na realidade colocaram um forte travão na dívida pública.

Um sistema dinâmico: o automóvel de dois lugares

A dívida pública como muitos indicadores económicos representa um sistema dinâmico, ou seja, estamos perante um sistema que obedece a uma inércia, neste caso uma inércia económica-financeira. Foi Newton um dos primeiros estudiosos dos sistemas dinâmicos e a usar cálculos variacionais para os estudar. Num paralelismo no dia-a-dia, o sistema dinâmico mais elementar que podemos fornecer ao comum dos leitores é o de um automóvel de dois lugares, que partiu da origem de uma determinada pista sempre a direito. Se por acaso num determinado instante trocarmos de condutor, e este quiser parar o avanço para voltar para trás, a paragem não é imediata. Ao travar, a velocidade vai abrandando, todavia mesmo com a diminuição da velocidade, o automóvel não deixa de avançar para a frente. Nesse movimento de travagem, em que a velocidade, ou seja, a variação do espaço, diminui a cada instante, a aceleração é constante e negativa, pois o automóvel está a travar. Essa aceleração negativa que é sempre constante representa na realidade a variação da velocidade. Como a velocidade varia de forma regular e linear, a aceleração, que representa a variação da velocidade, é constante. Reparem que uso aqui a aceleração mesmo considerando que o automóvel está a parar, pois quando um carro para, está matemática e fisicamente a acelerar negativamente. Resumindo: a velocidade é a variação do espaço percorrido e a aceleração é a variação da velocidade. Logo, a aceleração é a variação de segunda ordem do espaço percorrido. Mas vamos a um exemplo! No seguinte gráfico podemos ver como estas três variáveis interagem. 

Gráfico que combina distância percorrida, velocidade e aceleração.

Entre os 0 e os 4 segundos: até cerca de 4 segundos o automóvel tem uma aceleração constante que é 4 (não interessa para o efeito mencionar a unidade da aceleração). Como a aceleração é constante e de sinal positivo, o carro está a avançar e a velocidade aumenta de forma regular e linear (linha reta na velocidade). Por essa altura o espaço percorrido aumenta também mas de forma quadrática (a curva que se nota no gráfico da distância é quadrática até aos 4 segundos).

Entre os 4 e os 7 segundos: no segundo troço, entre os 4 e os 7 segundos, o carro deixa de acelerar, pois a sua aceleração é zero, o que significa que a velocidade se mantém constante (caso ideal sem atritos, como o vento). Como a velocidade se mantém constante, a distância percorrida não deixa de aumentar, mas neste caso, como não se acelera, a distância avança de forma linear (a reta no gráfico da distância).

Entre os 7 e os 15 segundos: imaginemos que a partir desse instante, perto dos 7 segundos, troca-se de condutor e que esse condutor está descontente com o caminho tomado e decide travar o automóvel. Nessa altura esse condutor ao travar aplica uma aceleração negativa de 2, que faz com que a velocidade vá baixando de forma linear, mas o carro não começa a andar de marcha-atrás de forma imediata. Vai ser necessário que o carro chegue até aos 150 metros, nos 15 segundos, para que o carro pare.

Entre os 15 e os 23 segundos: então, ao continuar a aplicar uma aceleração negativa (neste caso, já não o travão, mas a marcha-atrás), o veículo começa a regressar à origem, e a velocidade começa a ser negativa a partir dos 15 segundos. Deixo a interpretação do resto do gráfico aos leitores.

A dívida pública é um sistema dinâmico

A dívida pública é um sistema dinâmico porque qualquer variável de controlo que possa nela ser aplicada (os pedais no automóvel), estão longe de provocar no instante variações significativas. Cortar nos gastos do Estado não implica que a dívida desça de forma imediata, pois na dívida estão subjacentes compromissos de longo prazo, como o pagamento de juros em títulos plurianuais da dívida. Se alguns pagamentos como as PPP rodoviárias foram temporizados para alguns anos mais tarde, tal também tem efeitos dinâmicos na dívida. Podemos também afirmar de forma genérica que o Estado tem muitos compromissos financeiros, com muitas entidades, e que tal insere uma certa inércia no comportamento da dívida. Assim interessa estudar a dívida na ótica do estudo a sistemas dinâmicos. Neste caso por questões de simplicidade usamos sistemas dinâmicos discretos de segunda ordem, sendo cada ano civil a unidade de tempo.

No paralelismo da dívida pública com o automóvel de dois lugares, podemos afirmar que a distância na pista é o valor da dívida, ou seja, se o automóvel está na origem a dívida é zero, já se o automóvel está nos 160 metros, a dívida é 160 mil milhões de euros, ou seja, um metro por cada mil milhão de euros de dívida. Ora se num determinado instante em que os condutores avançam, eles trocarem de lugares e o novo condutor adotar uma tática diferente, o automóvel guarda uma inércia que precisa de ser corrigida, inércia essa que demora tempo a corrigir. Se o segundo automobilista quiser parar e fazer marcha-atrás, terá primeiro de travar. Mas mesmo que trave o automóvel, este continuará durante algum tempo no sentido positivo, ou seja, em frente (dívida a crescer, mas a crescer num ritmo mais baixo; automóvel a avançar, mas a avançar mais devagar). Só quando o automóvel estiver imobilizado, ou seja, a variação do avanço for zero (variação do avanço é a velocidade), é que o automóvel pode retornar e começar a fazer marcha-atrás.

Nesta contabilidade não se tem em conta ainda a variação do PIB, mas apenas o valor absoluto da dívida. Também não se contabilizam contabilidades paralelas (PPP, dívidas de empresas públicas), nem que mecanismos foram usados para baixar a dívida (por exemplo privatizações), fazemos apenas uma análise à dívida vista pelos valores que o PORDATA e o INE nos facultam. Resumindo, no caso do nosso automóvel, a distância percorrida pelo automóvel representa o valor absoluto da dívida; a velocidade do automóvel representa a variação da dívida; e a aceleração representa a variação de segunda ordem da dívida.

Trajeto percorrido pela dívida pública desde 1992.

Velocidade de crescimento da dívida pública.
A austeridade baixou a velocidade de crescimento da dívida.

Aceleração de crescimento da dívida pública.
A austeridade travou a dívida ao impor-lhe uma tendência dinâmica de redução.

Caso o caro leitor tenha percebido a forma como funcionam estes sistemas dinâmicos (de segunda ordem), compreende de forma cristalina pelos gráficos acima que a austeridade impôs um forte travão na dívida pública. No primeiro ano do governo Sócrates, houve um aceleração da dívida, fenómeno que foi travado no segundo e terceiro anos, mas que foi novamente acelerado em ano eleitoral. Com a crise das dívidas soberanas em meados de 2008, a aceleração da dívida toma valores muito elevados em 2009, valores que se mantêm em 2010. Todavia conclui-se facilmente pelo gráfico que desde a entrada do governo seguinte que impôs políticas de austeridade, que a "velocidade" da dívida tem vindo sempre a diminuir, e que a "aceleração" da dívida é mesmo negativa. A partir de 2015 a velocidade da dívida é mesmo negativa e a dívida começa a descer a sua trajetória, ou seja, começa a diminuir.

Usando o nosso paralelismo pode-se dizer de forma categórica e inequívoca que as políticas de austeridade colocaram um forte "travão" no comportamento da dívida pública. Ignorar tal facto é ignorar as ciências matemáticas.

A Física e a Matemática da distância de travagem

A grande maioria dos automobilistas não tem a mínima noção do impacto que a velocidade tem na segurança rodoviária, essencialmente em meios urbanos, mais precisamente para os utilizadores vulneráveis como peões e ciclistas.

Farei essa demonstração física e matematicamente.

No ponto A o condutor do veículo que se deslocava a uma velocidade v e de massa m, apercebe-se que tem um obstáculo na sua frente, que o obrigará a efetuar uma travagem de emergência, ou a fundo. Todavia a reação não é instantânea, e apenas quando o veículo toca o ponto B, o condutor começa realmente a travar a fundo, havendo por conseguinte uma Força de atrito dinâmico Fa contrária à velocidade. O veículo só parará no ponto C, estando o peão/pedestre no ponto P.

Pela leis da mecânica clássica, sabemos que a velocidade é dada por

que significa que v será a distância entre os pontos A e B dividida sobre o tempo que decorreu entre esses mesmos dois pontos. Se considerarmos que o condutor do veículo tem um tempo de reação entre os pontos A e B de tr  segundos, podemos reescrever

Pelas leis da mecânica clássica também sabemos que a Energia Cinética Ec do veículo no ponto B é

Ao ao longo do trajeto em que o veículo abranda, é exercida uma Força de atrito dinâmico Fa, pois existe uma força de fricção, que é contrária à velocidade do veículo. As forças de atrito dinâmico são praticamente independentes da velocidade. Adotamos por questões de simplificação, o caso em que as rodas literalmente bloqueiam. Na realidade, as rodas não bloqueiam totalmente através de sistemas de travagem como o ABS, mas ignoraremos para já tais sistemas por razões de simplificação.

A Força de atrito dinâmico Fa depende do coeficiente de atrito dinâmico µ dependendo também da força normal à superfície, ou seja, do peso do veículo, que neste caso é mg. Então

Do ponto B até ao ponto C, o trabalho Wa realizado pela Força de atrito dinâmico Fa será

Esse trabalho terá de anular a Energia Cinética Ec que o veículo possuía no ponto B. Logo obtemos a seguinte equação

concluindo que a distância de travagem total D será

Significa que a Distância de travagem total D tem uma componente que é linear com a velocidade e outra que depende de forma quadrática da velocidade.

Resumindo, a distância de travagem total de um veículo em função da velocidade é dada por

onde tr é o tempo de reação do condutor, µ é o coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o pavimento e g é a aceleração da força da gravidade.

Esta distância depende linearmente com a velocidade e com o tempo de reação do condutor, e quadraticamente com a velocidade. Pouco importa a marca ou o peso do veículo. Matematicamente é claro que os fatores que unicamente são importantes são a velocidade; o tempo de reação do condutor, que por exemplo aumenta bastante com o sono ou com o álcool; e o coeficiente de atrito dinâmico µ que é fortemente afetado pela qualidade dos pneus, a meteorologia e a qualidade do pavimento.

Imagem da prof. Raquel Ribeiro

Interessa agora tentar aferir qual é o valor do coeficiente de atrito dinâmico µ. Para tal iremos combinar a fórmula acima com alguns testes empíricos sobre distâncias de travagem, considerando que os testes realizados não têm em conta o tempo de reação do condutor. Usaram-se as seguintes experiências obtidas de uma revista da especialidade.

Tem-se como referência o veículo Porsche Carrera, um dos que apresenta melhor desempenho do mercado, no domínio da distância de travagem. Considera-se ainda que a aceleração da gravidade é g=10 ms^-2 e que o tempo de reação do condutor nesta experiência é zero, pois as medidas foram efetuadas a partir do momento em que o veículo começa a travar. É necessário ainda aplicar um fator divisor para converter km/h para m/s  (1 m/s=3.6 km/h), unidade SI para medir velocidades.

Assim, a fórmula fica

onde vk  é a velocidade em km/h e D é a distância de travagem. Aplicando os valores obtidos para o teste efetuado com o Porsche Carrera, mas também para outros veículos mais comuns cujos testes a revista apresentava, obtemos a seguinte tabela.

É aceitável então, por questões de aproximação, adotar doravante um coeficiente de atrito dinâmico igual a µ=0,9. É possível então criar um gráfico da Distância de travagem D, em função da velocidade vk, velocidade apresentada em km/h.

Na seguinte imagem 3D, que compara a distância de travagem D (eixo vertical z), com o tempo de reação tr (eixo x, num intervalo entre meio segundo e 3 segundos) e a velocidade v (eixo y, num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que quer a velocidade, quer o tempo de reação, tomam um papel muito importante na distância de travagem. O coeficiente de atrito dinâmico foi estabelecido em µ=0,9.

Distância de travagem em função da velocidade e tempo de reação
D=z ; y=v=[0,50]km/h ;  x=tr=[0.5,3] segundos ; µ=0,9

Já todavia no seguinte gráfico 3D que compara a distância de travagem D (eixo vertical z), com o coeficiente de atrito dinâmico µ (num intervalo entre 0.3 e 1) e a velocidade v (num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que o estado do pavimento ou a qualidade dos pneus (µ), são fatores extremamente importantes na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades mais elevadas. Repare-se que ao longo do plano v=20km/h a altura D=z pouca varia com a qualidade do pavimento e dos pneus (µ), mas ao longo do plano v=50km/h a qualidade dos pneus e do pavimento (µ) tomam um papel fulcral na distância de travagem (D).

Distância de travagem em função da velocidade e coeficiente de atrito dinâmico
D=z ; v=[0,50]km/h ;  µ=[0.3,1] ; tr=1s

Conclusão

A distância de travagem varia substancialmente com a velocidade a partir de pequenas velocidades de cerca de 20 km/h. Considerando ainda que a Energia Cinética de um veículo varia com o quadrado da velocidade e é um dos fatores mais importantes para a fatalidade de utilizadores vulneráveis como peões ou ciclistas, o autor aconselha o legislador para que imponha sérios limites em termos de velocidade de veículos, essencialmente em meios com elevada densidade populacional, como zonas urbanas residenciais. É por isso essencial que as autoridades de prevenção rodoviária implementem medidas que melhorem consideravelmente a fiscalização das velocidades praticadas e medidas de acalmia de tráfego, nomeadamente o estabelecimento de zonas 30. A qualidade dos pneus e o do pavimento, tomam também um papel extremamente importante na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades acima dos 30 km/h como pode ser constatado no último gráfico, o que enfatiza o facto, de ser deveras importante diminuir os limites de velocidade em meios onde existe elevada concentração de pessoas.