A Matemática está ligada a muitos
dos jogos que conhecemos. Por um lado, isso é óbvio nos jogos que
inevitavelmente envolvem fenómenos aleatórios e teoria das probabilidades. Mas
também sucede, de forma clara, em jogos de tabuleiro directamente ligados a
ferramentas lógicas.
Um exemplo claro e mediático, do
ponto de vista da estratégia, é o xadrez. No entanto, jogos mais simples, com
um conjunto de regras elementar e possíveis de serem jogados por crianças muito
pequenas, podem ter associadas algumas formulações matemáticas bastante
complexas. Vejamos o exemplo do Hex.
Inventado por Piet Hein e John Nash,
nos anos 40 do século XX, este jogo decorre num tabuleiro com a forma de um
losango e recheado de casas hexagonais. As regras são somente estas:
- cada jogador coloca, de forma
alternada, uma peça no tabuleiro;
- um jogador tem como objectivo
construir um caminho entre duas margens opostas do losango e o outro entre as
restantes duas margens;
- regra do equilíbrio: o segundo a
jogar pode, antes de colocar a primeira peça, inverter a contenda, passando a
ser ele a ficar com o objectivo e com a peça colocada pelo primeiro jogador no
seu lance inaugural.
Contudo, há vários aspectos
referentes a este jogo cujas demonstrações matemáticas não são triviais:
1) Um exemplo é a prova de que o Hex não
tem empates. A primeira parte consiste em, por absurdo, justificar que os dois
jogadores não podem vencer simultaneamente. A segunda, bastante mais demorada e
recorrendo à teoria de grafos (genericamente, são conjuntos de vértices e
arestas), às respectivas noções de ponto isolado, caminho e circuito e aos
trabalhos de König, mostra que há efectivamente um vencedor. Mais tarde, foi
demonstrado que esta formulação sobre o Hex é equivalente ao Teorema do Ponto
Fixo de Brouwer, um resultado importante de Topologia. Por sua
vez, há, em alternativa, uma outra prova deste facto que recorre ao Método de
Indução. A autoria é do americano David Berman.
2) Recorrendo a conceitos de Teoria de
Jogos, como posições neutras, frágeis e inatacáveis (posições que designam ou
não um potencial vencedor do jogo) e à noção de “roubo de estratégia”, é
possível demonstrar que, não havendo a regra do equilíbrio, o primeiro jogador
tem uma estratégia vencedora. A ideia é basicamente assumir que, se fosse o
segundo a ter vantagem, o primeiro colocaria uma peça sua num sítio aleatório
do tabuleiro e, a partir daí, assumiria ele a posição de segundo. O que está
por caracterizar é, para um dimensão genérica do losango, a própria estratégia
vencedora e os passos para a conseguir, um problema com uma complexidade tremenda.
O que se apresentou para o Hex
ocorre, de forma específica e muito diversa, para um conjunto muito vasto de
jogos. Alguns deles encontram-se representados no Campeonato Nacional de Jogos
Matemáticos, competição anual para alunos do Ensino Básico e do Ensino
Secundário.
