Como encontrar raízes de polinómios de terceiro grau

Este é de facto um tema não debatido ao longo da nossa formação em Matemática, mas definitivamente muito útil nas mais diversas tarefas com que alguém se pode deparar, desde a simples análise da expressão de uma função até ao cálculo de limites, integrais, etc. Note-se que existe sempre pelo menos uma raiz real de um polinómio de terceiro grau, pelo que este problema tem sempre, pelo menos, uma solução real.

Antes de mais, devemos recordar o teorema fundamental da álgebra e as implicações naturais que derivam deste. O resultado mais relevante que daqui se pode retirar é:

Dado um polinómio complexo de ordem n,

este terá n raízes complexas

(excluindo multiplicidades) e podemos escrever:

Num contexto real, devemos ter em conta que poderão não existir as n raízes, mas nunca poderá dar-se o caso de nenhuma raiz existir. A minha sugestão é proceder-se sempre ao cálculo das raízes complexas e, se o exercício apenas tomar uma dimensão real, desconsiderar as raízes em que a parte imaginária é diferente de zero. Tendo em conta o uso da fórmula resolvente, o facto de se considerar números complexos não obrigada a um vasto conhecimento desta área, mas antes da igualdade fundamental desta dimensão

Portanto o problema de encontrar raízes de terceiro grau é resumido ao problema de encontrar uma raiz em um polinómio de terceiro grau. Muito honestamente, isto usualmente faz-se por um processo tentativa erro, apesar de existir uma "fórmula resolvente" para polinómios do terceiro grau (com uma expressão geral pouco prática)

Posto tudo isto, então como se procede para encontrar as raízes de um polinómio de terceiro grau? De uma forma geral, podemos definir este polinómio como:

onde a, b, c, d são os coeficientes, constantes, do polinómio de terceiro grau. Ora, d não depende de x, portanto faz sentido tentar igualar tudo o que depende da nossa variável a este valor independente. Para isso, tomamos os divisores de d, isto é, os números que permitam que a divisão de d por eles dê resto nulo. Um desses divisores será uma raiz do polinómio e, através desta, podemos fatorizar o polinómio de terceiro grau num produto de um polinómio de primeiro grau com um de segundo.

Finalmente, podemos aplicar a fórmula resolvente ao polinómio que obtemos como coeficiente desta divisão de polinómios e encontrar as restantes raízes do polinómio de terceiro grau. Note-se que esta não é uma técnica infalível mas apenas uma muito útil na grande maioria dos casos. Para além desta, costuma ser útil colocar x em evidência, ou expressões de primeiro grau, dado que assim já determinámos uma raiz para o problema.

Nota: A divisão supra referida pode ser simplesmente feita através da chamada regra de Ruffini; um exemplo explicado pode ser encontrado em http://mathworld.wolfram.com/SyntheticDivision.html.

Por exemplo, tomemos o polinómio

Os divisores de 1 são 1 e -1. Substituindo x por -1 na expressão percebemos que este é de facto uma raiz do polinómio. Assim, temos que

Claramente que

e realizando a divisão dos polinómios chegamos a

e este último terá como raízes i e -i. Assim, as raízes de P(x) são -1, i e -i.

Este mesmo processo pode ser aplicado a polinómios com coeficientes diferentes da unidade. Seja

os divisores de 18 são 1, -1, 2, -2, 3, -3, 6, -6, 9, -9. Claro que o processo parece moroso, tendo em conta o número de divisores de 18 tem, mas à priori podemos, fazendo aquilo a que se chama uma análise "a olho", excluir 9, -9, 6, -6 dado queeque são números demasiado elevados para conseguirmos anular com o remanescente da expressão) e (por um motivo contrário) 1 e -1. Testando chegaríamos mesmo a que -3 é raiz do polinómio e assim ficávamos com:

e de uma forma natural seríamos capazes de determinar que as raízes do polinómio serão:

Quando nenhuma manipulação ou teste permitir chegar a qualquer raiz do polinómio (que não deverá acontecer em qualquer cadeira/disciplina de matemática que tomem ao longo da formação académica) sobram os processos numéricos, como o método da bissecção ou o método de Newton-Raphson, ou a "fórmula resolvente" para grau 3, que pode ser encontada em "Press, William H.; Vetterling, William T. (1992). Numerical Recipes in Fortran 77: The Art of Scientific Computing. Cambridge University Press. p. 179. ISBN 0-521-43064-X".

The Doomsday (O Algoritmo)

Na sequência do meu artigo no final do mês de Dezembro, gostaria de partilhar convosco uma das técnicas de cálculo mental que mais consegue impressionar, como os juristas dizem, o homem médio. Não é por coincidência que refiro os juristas; de facto, tomei conhecimento desta técnica por um professor de Direito do ensino superior. Este professor, quando os alunos lhe entregavam o documento de identificação, deduzia sempre o dia da semana em que esse aluno teria nascido. Talvez não sirva para impressionar uma pessoa do ponto de vista afetivo (if you know what I mean), mas intelectualmente penso que esta técnica consegue ter grande impacto. Todos os alunos que conheci desse professor diziam-me que ele era uma pessoa genial, simplesmente por utilizar uma técnica de cálculo mental (não estou a dizer que o Sr. Doutor não era genial, dado que de tal não tenho conhecimento).

Se tiverem dado uma vista de olhos nas provas do campeonato mundial de cálculo mental, vão verificar que, desde a sua primeira edição, este conta com uma prova de cálculo de calendário. Na realidade, o algoritmo para este cálculo, o doomsday algorithm (a tradução não faz sentido, daí irei referir sempre o nome do algoritmo em inglês), foi publicado em 1982 por John Horton Conway. É um algoritmo muito simples de aplicar, no entanto envolve alguma memorização. Para esta memorização são propostas várias mnemónicas (claro, todas em inglês), no entanto, pessoalmente, não gosto muito deste tipo de técnicas de memorização, pelo que as omitirei do respectivo algoritmo. Assim, segue-se a explicação do algoritmo que permite calcular que dia da semana foi qualquer data que seja apresentada.

Doomsday é definido como o último dia de Fevereiro, 28 ou 29, dependendo se o ano é bissexto ou não. A forma mais simples de determinar se um ano é bissexto é dividir o ano por 4. Se essa divisão der resto 0, então o ano é bissexto. No entanto, devo fazer a ressalva de que se o ano for divisível por 100 (1900 é um exemplo), este ano será bissexto se for divisível por 400 (por exemplo, o ano 1900 é divisível por 4, por 100 mas não por 400, pelo que não é um ano bissexto, como pode ser verificado).

Voltando ao nosso algoritmo, então o Doomsday deste ano é sexta-feira. Então, sabe-se que:

Para os meses pares: 4/4, 6/6, 8/8, 10/10 e 12/12 também serão sextas-feiras (peço que verifiquem, pelo menos para uma das datas); Para os meses ímpares: 0/3, 5/9, 9/5, 7/11 e 11/7 também serão sextas-feiras (claro que a data 0/3 não existe, mas estas datas servem apenas como pontos de referência). Em relação ao mês de Janeiro, num ano bissexto será 4/1 enquanto que num ano "normal" será 3/1. Esta parte, claramente, obriga-nos a memorizar estes pontos de referência, mas depois de aplicar o algoritmo uma dúzia de vezes, simplesmente passa a ser natural sabermos os doomsdays em cada mês.

Com estes dados, podemos deduzir, por exemplo, que dia da semana será o dia de Natal: 25/12. Ora 25-12=13, e 13 mod 7= (-1) mod 7, logo o natal será um dia antes de um doomsday de Dezembro, logo uma quinta-feira. Par os menos familiarizados com o conceito de mod, este apenas se refere ao resto da divisão de um número por sete, podem ver mais em textos de Álgebra, por exemplo http://faculty.atu.edu/mfinan/4033/absalg10.pdf.

Então conseguimos saber que dia da semana é cada dia de um ano, quando soubermos qual é o doomsday desse ano. O passo final será prolongar este algoritmo a qualquer ano. Para isso temos de saber qual é o doomsday de cada século. Tal será a última coisa que terão de memorizar:

Poderia-me estender sobre o porquê desta tabela, mas acho mais fácil simplesmente decorar. Na verdade, a maioria das pessoas que conhecemos nasceram no século XX, e como este algoritmo tem o particular interesse de determinar o dia em que os nossos amigos nasceram (entre outros...) parece-me simples decorar que o doomsday de 1900 é quarta-feira. A  fórmula para determinar o doomsday de cada outro ano deste século, da forma 19YY, será: a+b+c mod 7, onde a será o quociente da divisão inteira de YY por 12, b será o resto desta divisão e c será o quociente de b a dividir por 4.

Exemplo: Qual é o doomsday de 1974?

a=74/12=6, b=2 e c=2/4=0, logo 6+2+0 mod 7= 1 mod 7, logo o doomsday de 1974 é quinta-feira (um dia depois de quarta-feira). Torna-se mais simples visualizar o processo dividindo à mão. Finalmente, sinto mais facilidade em converter o doomsday para um número e simplesmente calcular o mod da conta toda; por exemplo, se estivesse no século de 1900, o doomsday seria 4 para mim (eu uso a escala de domingo ser o dia 1 e sábado o dia 7, mas claro que qualquer escala serve, desde que se lembrem em que escala estão a trabalhar).

Assim, para a data 25/04/1974: já vimos que 1974=5, e como 4/4 é doomsday, 25-4 mod 7=21 mod 7= 0 mod 7, logo 0 mod 7 + 5 mod 7= 5 mod 7, logo o dia 25 de Abril de 1974 foi uma quinta-feira.

Já a implantação da República Portuguesa, 5/10/1910 poderá ser calculada por:

4+(0+10+2)+(-5) mod 7= 11 mod 7=4 mod 7, logo foi uma quarta-feira (o primeiro 4, vem de quarta-feira ser o doomsday de 1900, (0+10+2) é a soma de a, b e c, respectivamente, e -5= 5-10, onde 5 é a nossa data e 10 é o doomsday de Outubro.

Portanto a fórmula que eu uso para uma data dd/mm/yyyy é: s+(a+b+c)+(dd-t) mod 7, onde a, b e c foram definidos anteriormente, s refere-se ao domsday do século que estamos a tratar e t será o dia do doomsday do respectivo mês. Este cálculo toma a forma de algoritmo se o subdividirmos em pequenos cálculos, como foi apresentado pelo autor do mesmo.

Claro que mentalmente, cada um utilizará diferentes variantes deste algoritmo (com ou sem mods negativos, somando ou não ou não o doomsday, etc.) mas é este o algoritmo base, e sem a fórmula de cálculo dos doomsdays para cada ano não será possível implementar o algoritmo. Pessoalmente, eu imagino sempre a divisão inteira por 12 na minha cabeça, onde depois posso somar o quociente com o resto e com o resto a dividir por 4.

O recorde mundial data de 4 de Dezembro de 2010, pertence a Yusnier Viera Romero e corresponde ao cálculo de 93 datas em 1 minuto. Duvido que alguma vez consiga bater este recorde, mas desde que estudei pela primeira vez este algoritmo estou cada vez a ser mais rápido (conseguindo quase determinar 3 num minuto...). Assim, aconselho a praticarem alguns dias, antes de tentarem impressionar alguém com ele.

Como efetuar cálculo mental

Entendemos por cálculo mental todos os cálculos que são feitos sem orientação de papel e caneta, calculadora ou outras instrumentos físicos. Apesar de este conceito ser ambíguo (pode ver-se Buys, K. (2001) - Children learn Mathematics) no âmbito 'Mental Calculation World Cup' ele não levanta quaisquer dúvidas. 

A cada dois anos é organizado, numa cidade alemã, um campeonato mundial de cálculo mental. O primeiro campeonato aconteceu na cidade alemã Annaberg-Buchholz a 30 de Outubro de 2004 e envolvia quatro modalidades: somas de dez números com dez dígitos cada, produto de dois número com oito dígitos, raízes quadradas de números com seis dígitos e, finalmente, cálculos com calendários determinando o dia da semana a que determinada data corresponde. Tarefas que seriam facilmente executadas por calculadoras ou com um suporte escrito, que claramente são proibidos no torneio. O vencedor final de todo o torneio, que inclui a ponderação de todas as modalidades, foi o britânico Robert Fountain. 

Entretanto as provas existentes foram ficando mais exigentes e foram acrescentadas outros desafios de cálculo mental. Por exemplo, no primeiro torneio os concorrentes tinham de realizar em dez minutos dez somas de dez números com dez algoritmos, já em 2012 apenas lhes era dado sete minutos. Em 2012 foram apresentados dez tipos de desafios completamente diferentes que envolviam tarefas de memorização e ainda o chamado "most versatile calculator", cuja organização descreve como sendo cinco desconhecidas "surprise tasks". No último campeonato o campeão foi Naofumi Ogasawa, que nesse mesmo campeonato bateu o recorde mundial de soma de dez números com dez algarismos cada 191 segundos (pouco mais de três minutos, menos de metade do tempo dado para a prova).

                                                                            

O recorde anterior (222 segundos) era detido por aquele que podemos considerar como a mais famosa calculadora humana, o espanhol Alberto Coto García. Durante o primeiro campeonato mundial de cálculo mental, Alberto Coto estabeleceu o recorde mundial desta mesma prova em 350 segundos, o que demonstra que todos os humanos conseguem desenvolver as suas capacidades de cálculo mental de forma significativa. Os mais interessados podem ver os desafios propostos em 2010 e 2012. O campeonato de 2014 ainda não está marcado, mas seguindo a tradição será expectável que seja numa cidade alemã entre Julho e Novembro do próximo ano.

Para conseguir ter bons resultados nestas provas, não basta fazer todas as aplicações móveis de cálculo mental, é preciso aprender e treinar os chamados "numerical shortcuts", os truques de cálculo numérico. Alguns destes truques são explicados pelas calculadoras humanas, outros são simplesmente aquilo a que alguns leigos chamam de "matmagia", que irei exemplificar de seguida.

Multiplicar número por 11, 111 ou por qualquer sequência de uns:

Tomemos um número com dois algarismos na forma [M,N], onde M representa o primeiro algarismo e N o segundo. Então o produto de MN por 11 será dado por [M, M+N, N], caso M+N<10, caso contrário será [M+1, M+N, N].

Por exemplo, 72*11=792 e 86*11=946.

A demonstração é facilmente feita decompondo MN em 10M+N e 11 em 10+1 e aplicando a distributividade do produto face à soma.

Da mesma forma, para o caso do produto de um número da forma [M, N, O] por 111 teríamos [M, M+N, M+N+O, N+O, O] (e quando a soma ultrapassa o limite de 9 teríamos de somar 1 à 'casa' anterior).

Por exemplo, 123*111= 13653 e 346*111=38406.

E assim sucessivamente, para qualquer sequência de uns, desde que tenhamos o mesmo número de algarismos nos dois números que compõem o produto.

Quadrados de números acabados em 5:

Seja um número da forma [M, 5], onde M representa o primeiro algarismo e 5 o segundo. Assim, este número ao quadrado será dado por [M*(M+1), 25], onde neste caso cada 'casa' corresponde a dois algarismos.

Por exemplo, 75*75= 5625 e 15*15=225.

A demonstração é facilmente feita usando o caso notável do quadrado da soma e decompondo qualquer número na soma de 10M+5.

No final das demonstrações dos respectivos truques podemos reflectir sobre uma outra definição para o cálculo mental: Metodologia para realizar cálculos complexos através de cálculos mais elementares, utilizando as propriedades algébricas dos números inteiros.

O jogo do Nim

Nim é um jogo em que se considera um conjunto de pilhas de objectos. Dois jogadores jogam de forma alternada e retiram um determinado número de objectos de uma das pilhas. Inclusivamente, é possível que todos os objectos de uma pilha sejam retirados. O último jogador a intervir, ganha.

Assim, a família de jogos Nim é vasta, uma vez que pode variar o número de pilhas e o número de objectos, mas claramente nenhum desses jogos pode terminar em empate. Então, existe um jogador que ganha. Será que podemos, a partir do número de pilhas e objectos iniciais, determinar uma estratégia que nos permita ganhar o jogo?

Vamos exemplificar um jogo de Nim simples, com 2 pilhas com 2 objectos cada. O jogador A, que começa e retira os dois objectos de uma das pilhas. De seguida o jogador B retira os dois objectos da restante e ganha o jogo. Começam outro jogo, o jogador A sabe que não pode retirar dois objectos de uma pilha, portanto retira apenas um; de seguida o jogador B retira um objecto da outra pilha, obriga o jogador A a limpar uma pilha e o jogador B volta a ganhar. O jogador B consegue sempre ganhar o jogo, independentemente do que o jogador A faça, dizemos que o jogador B tem uma estratégia ganhadora.

Naturalmente que em versões mais complexas do Nim somos obrigados a um trabalho muito mais exaustivo para determinar a estratégia ganhadora, e o jogador a que corresponde. Uma forma muito mais simples passa por analisar a decomposição binária do número de objectos em todas as pilhas, isto é, decompomos cada número de objectos numa soma de potências de 2. Por exemplo, assumimos um jogo com 3 pilhas, com 4, 5 e 8 objectos. Então representamos a situação inicial do jogo pelo seguinte quadro, dado que 

$4=2^2, \ 5=2^2+2^0,\ e\ 8=2^3$

Dizemos que uma colecção de pilhas se encontra em equilíbrio se todas as potências de 2 ocorrem em número par (por convenção, 0 toma o significado de número par). Portanto a colecção de pilhas anterior encontra-se em desequilíbrio. Se o jogador A retirar 7 objectos da última (ordenação a partir da organização da tabela) pilha, esta passa a ter apenas um objecto, o que irá fazer com a colecção de pilhas passe a estar equilibrada:

De facto, conclui-se que a estratégia ganhadora consiste em transformar a colecção de pilhas de desequilibrada em equilibrada, sucessivamente, até que a posição de equilíbrio seja com apenas zeros na última linha, isto é, até à situação final de jogo. Se uma colecção de pilhas estiver em equilíbrio, o outro jogador é forçado a desequilibrar a colecção, dado que é impossível retirar objectos de uma pilha sem desequilibrar a colecção.

Podemos então concluir que se a colecção de pilhas inicial se encontrar em desequilíbrio o jogador A tem uma estratégia ganhadora, e portanto pode ganhar o jogo independentemente das jogadas do adversário. Caso contrário, será o jogador B a ter a estratégia ganhadora. Em ambos os casos as estratégias ganhadoras passam por equilibrar a colecção de pilhas, que se encontrava em desequilíbrio.

Tabelas de Mortalidade e a Segurança Social

Segundo o Instituto Nacional de Estatística (INE), uma tabela de mortalidade é um modelo estatístico que mostra "uma descrição sintética dos aspectos mais importantes da mortalidade e a variação da morte perante a idade". Na prática, as tabelas ou tábuas de mortalidade são tabelas onde a primeira coluna contém todas as idades consideradas, que usualmente é do 0 até ao 110, e as restantes contêm medidas do modelo da mortalidade; a medida essencial de qualquer modelo de mortalidade é a probabilidade de um indivíduo com uma idade x falecer antes de atingir a idade x+1. Um exemplo destas tabelas pode ser encontrado em Tábua Completa de Mortalidade para Portugal - 2010 - 2012.

As tabelas de mortalidade são usualmente produzidas pelas entidades oficiais de cada país, no nosso caso pelo INE, com base nos próprios recenseamentos, separadamente por sexo. Através destas podem ser construídas tabelas de mortalidade para sub-populações específicas como por exemplo, fumadores, doentes oncológicos ou empregos de risco. Por exemplo, suponhamos que temos uma tabela de mortalidade dos fumadores. As seguradoras podem construir uma apólice para um seguro, de saúde ou de vida, eficiente para qualquer indivíduo desta sub-população, que do ponto de vista matemático, usualmente passa simplesmente por acrescentar anos de vida aos indivíduos em causa. As aplicações de tabelas de mortalidade são tão diversas e distintas quanto se possa imaginar. Um exemplo de uma aplicação peculiar é no cálculo da probabilidade que um casal tem de se divorciar depois de estar em terapia de casais, assumindo uma probabilidade de divórcio em função do tempo que já passaram em terapia. No entanto, as aplicações que estão inclusivamente na génese do seu desenvolvimento prendem-se com o cálculo de prémios de seguros de vida e com os fundos de pensão.

De acordo com Instituto Português de Seguros, "um fundo de pensões é um património autónomo que se destina exclusivamente ao financiamento de um ou mais planos de pensões e/ou planos de benefícios de saúde", onde "um plano de pensões é um programa que define as condições para receber uma pensão derivada de reforma por velhice, reforma por invalidez, pré-reforma, reforma antecipada e sobrevivência". Um caso particular, e magnânimo, de um fundo de pensões é a segurança social de qualquer país. Assim, as tabelas de mortalidade mostram-se essenciais à gestão nacional, dado o papel da segurança social na equidade social de cada país. Os leitores mais atentos devem estar sensibilizados para o problema generalizado que as seguranças sociais de todos os países desenvolvidos enfrentam, e em particular Portugal. De facto como anunciado pelo primeiro ministro na altura, José Sócrates, aquando do Orçamento de Estado para 2011, admitindo a evolução dos indicadores demográficos, em particular da mortalidade, existe um grande risco de ruptura da segurança social durante meados da década de 30, do presente milénio. Registou-se que o modelo de mortalidade utilizado era desadequado já que não admitia a influência do tempo na mortalidade, e como podemos observar, com o passar dos anos as pessoas tendem a viver mais tempo; os nossos avós viveram mais anos do que os seus avós, por exemplo. Outras influências do tempo na mortalidade podem ser vistas nos chamados fenómenos da retangularização e compressão da mortalidade, que foram observados por diversos demógrafos através de dados do século passado. Estes fenómenos podem ser observados na figura 1.1. O fenómeno da compressão caracteriza-se pela diminuição do número de idades em que é normal ocorrerem óbitos; as primeiras duas setas na figura exemplificam este fenómeno. O fenómeno da retangularização, exemplificado pelas restantes setas, refere-se à forma cada vez mais rectangular que esta função toma. Interpretando para o âmbito do estudo, as mortes concentram-se cada vez em idades mais avançadas e cada vez num menor intervalo de idades.

Assim é preciso construir um modelo que contemple a influência do tempo na mortalidade, e que respeite todos as hipóteses empíricas que os demógrafos têm vindo a estabelecer. Com este podemos construir uma tabela de mortalidade que adequadamente nos vai permitir estimar o número de indivíduos que irá morrer depois da idade de reforma. Desta forma podemos calcular o número de pensionistas que existirão e saber qual o cenário que iremos enfrentar no futuro. Tudo isto para que, como urge o bastonário da Ordem dos Economistas, se aplique uma reforma à Segurança Social para que esta se torne sustentável para as próximas gerações. E é este o grande desafio que os demógrafos, matemáticos e actuários têm vindo a enfrentar durante as últimas duas décadas.