Como a austeridade travou dívida pública

Ouvimos muita gente no dia-a-dia mencionar algo sobre a dívida pública sem realmente perceber muito bem como funciona nem sequer como é calculada. Em acréscimo nas questões fraturantes com referência ao antigo Primeiro-Ministro José Sócrates e às políticas de austeridade dos últimos anos, as opiniões da rua e dos espaços de comentários na Internet, assim como de muitos agentes da classe política, tornam-se mais acesas e mais dicotómicas, todavia por vezes ainda mais ruidosas e confusas. Quase toda a gente na praça pública fala da dívida pública, desde jornalistas, políticos, comentadores, economistas e até eleitores comuns. Se por um lado tal é positivo, pois realça que a população em geral no exercício da sua cidadania considera este indicador importante, por outro lado o interesse do público gera também muita desinformação que convém todavia esclarecer matematicamente. Na Matemática Viva somos totalmente apartidários, queremos deixar isso bem vincado, mas como sempre referimos achamos que é importante vivificar a matemática em Portugal, tornando o eleitor mais esclarecido. Assim sendo, demonstrarei matematicamente que as políticas de austeridade na realidade colocaram um forte travão na dívida pública.

Um sistema dinâmico: o automóvel de dois lugares

A dívida pública como muitos indicadores económicos representa um sistema dinâmico, ou seja, estamos perante um sistema que obedece a uma inércia, neste caso uma inércia económica-financeira. Foi Newton um dos primeiros estudiosos dos sistemas dinâmicos e a usar cálculos variacionais para os estudar. Num paralelismo no dia-a-dia, o sistema dinâmico mais elementar que podemos fornecer ao comum dos leitores é o de um automóvel de dois lugares, que partiu da origem de uma determinada pista sempre a direito. Se por acaso num determinado instante trocarmos de condutor, e este quiser parar o avanço para voltar para trás, a paragem não é imediata. Ao travar, a velocidade vai abrandando, todavia mesmo com a diminuição da velocidade, o automóvel não deixa de avançar para a frente. Nesse movimento de travagem, em que a velocidade, ou seja, a variação do espaço, diminui a cada instante, a aceleração é constante e negativa, pois o automóvel está a travar. Essa aceleração negativa que é sempre constante representa na realidade a variação da velocidade. Como a velocidade varia de forma regular e linear, a aceleração, que representa a variação da velocidade, é constante. Reparem que uso aqui a aceleração mesmo considerando que o automóvel está a parar, pois quando um carro para, está matemática e fisicamente a acelerar negativamente. Resumindo: a velocidade é a variação do espaço percorrido e a aceleração é a variação da velocidade. Logo, a aceleração é a variação de segunda ordem do espaço percorrido. Mas vamos a um exemplo! No seguinte gráfico podemos ver como estas três variáveis interagem. 

Gráfico que combina distância percorrida, velocidade e aceleração.

Entre os 0 e os 4 segundos: até cerca de 4 segundos o automóvel tem uma aceleração constante que é 4 (não interessa para o efeito mencionar a unidade da aceleração). Como a aceleração é constante e de sinal positivo, o carro está a avançar e a velocidade aumenta de forma regular e linear (linha reta na velocidade). Por essa altura o espaço percorrido aumenta também mas de forma quadrática (a curva que se nota no gráfico da distância é quadrática até aos 4 segundos).

Entre os 4 e os 7 segundos: no segundo troço, entre os 4 e os 7 segundos, o carro deixa de acelerar, pois a sua aceleração é zero, o que significa que a velocidade se mantém constante (caso ideal sem atritos, como o vento). Como a velocidade se mantém constante, a distância percorrida não deixa de aumentar, mas neste caso, como não se acelera, a distância avança de forma linear (a reta no gráfico da distância).

Entre os 7 e os 15 segundos: imaginemos que a partir desse instante, perto dos 7 segundos, troca-se de condutor e que esse condutor está descontente com o caminho tomado e decide travar o automóvel. Nessa altura esse condutor ao travar aplica uma aceleração negativa de 2, que faz com que a velocidade vá baixando de forma linear, mas o carro não começa a andar de marcha-atrás de forma imediata. Vai ser necessário que o carro chegue até aos 150 metros, nos 15 segundos, para que o carro pare.

Entre os 15 e os 23 segundos: então, ao continuar a aplicar uma aceleração negativa (neste caso, já não o travão, mas a marcha-atrás), o veículo começa a regressar à origem, e a velocidade começa a ser negativa a partir dos 15 segundos. Deixo a interpretação do resto do gráfico aos leitores.

A dívida pública é um sistema dinâmico

A dívida pública é um sistema dinâmico porque qualquer variável de controlo que possa nela ser aplicada (os pedais no automóvel), estão longe de provocar no instante variações significativas. Cortar nos gastos do Estado não implica que a dívida desça de forma imediata, pois na dívida estão subjacentes compromissos de longo prazo, como o pagamento de juros em títulos plurianuais da dívida. Se alguns pagamentos como as PPP rodoviárias foram temporizados para alguns anos mais tarde, tal também tem efeitos dinâmicos na dívida. Podemos também afirmar de forma genérica que o Estado tem muitos compromissos financeiros, com muitas entidades, e que tal insere uma certa inércia no comportamento da dívida. Assim interessa estudar a dívida na ótica do estudo a sistemas dinâmicos. Neste caso por questões de simplicidade usamos sistemas dinâmicos discretos de segunda ordem, sendo cada ano civil a unidade de tempo.

No paralelismo da dívida pública com o automóvel de dois lugares, podemos afirmar que a distância na pista é o valor da dívida, ou seja, se o automóvel está na origem a dívida é zero, já se o automóvel está nos 160 metros, a dívida é 160 mil milhões de euros, ou seja, um metro por cada mil milhão de euros de dívida. Ora se num determinado instante em que os condutores avançam, eles trocarem de lugares e o novo condutor adotar uma tática diferente, o automóvel guarda uma inércia que precisa de ser corrigida, inércia essa que demora tempo a corrigir. Se o segundo automobilista quiser parar e fazer marcha-atrás, terá primeiro de travar. Mas mesmo que trave o automóvel, este continuará durante algum tempo no sentido positivo, ou seja, em frente (dívida a crescer, mas a crescer num ritmo mais baixo; automóvel a avançar, mas a avançar mais devagar). Só quando o automóvel estiver imobilizado, ou seja, a variação do avanço for zero (variação do avanço é a velocidade), é que o automóvel pode retornar e começar a fazer marcha-atrás.

Nesta contabilidade não se tem em conta ainda a variação do PIB, mas apenas o valor absoluto da dívida. Também não se contabilizam contabilidades paralelas (PPP, dívidas de empresas públicas), nem que mecanismos foram usados para baixar a dívida (por exemplo privatizações), fazemos apenas uma análise à dívida vista pelos valores que o PORDATA e o INE nos facultam. Resumindo, no caso do nosso automóvel, a distância percorrida pelo automóvel representa o valor absoluto da dívida; a velocidade do automóvel representa a variação da dívida; e a aceleração representa a variação de segunda ordem da dívida.

Trajeto percorrido pela dívida pública desde 1992.

Velocidade de crescimento da dívida pública.
A austeridade baixou a velocidade de crescimento da dívida.

Aceleração de crescimento da dívida pública.
A austeridade travou a dívida ao impor-lhe uma tendência dinâmica de redução.

Caso o caro leitor tenha percebido a forma como funcionam estes sistemas dinâmicos (de segunda ordem), compreende de forma cristalina pelos gráficos acima que a austeridade impôs um forte travão na dívida pública. No primeiro ano do governo Sócrates, houve um aceleração da dívida, fenómeno que foi travado no segundo e terceiro anos, mas que foi novamente acelerado em ano eleitoral. Com a crise das dívidas soberanas em meados de 2008, a aceleração da dívida toma valores muito elevados em 2009, valores que se mantêm em 2010. Todavia conclui-se facilmente pelo gráfico que desde a entrada do governo seguinte que impôs políticas de austeridade, que a "velocidade" da dívida tem vindo sempre a diminuir, e que a "aceleração" da dívida é mesmo negativa. A partir de 2015 a velocidade da dívida é mesmo negativa e a dívida começa a descer a sua trajetória, ou seja, começa a diminuir.

Usando o nosso paralelismo pode-se dizer de forma categórica e inequívoca que as políticas de austeridade colocaram um forte "travão" no comportamento da dívida pública. Ignorar tal facto é ignorar as ciências matemáticas.

A Física e a Matemática da distância de travagem

A grande maioria dos automobilistas não tem a mínima noção do impacto que a velocidade tem na segurança rodoviária, essencialmente em meios urbanos, mais precisamente para os utilizadores vulneráveis como peões e ciclistas.

Farei essa demonstração física e matematicamente.

No ponto A o condutor do veículo que se deslocava a uma velocidade v e de massa m, apercebe-se que tem um obstáculo na sua frente, que o obrigará a efetuar uma travagem de emergência, ou a fundo. Todavia a reação não é instantânea, e apenas quando o veículo toca o ponto B, o condutor começa realmente a travar a fundo, havendo por conseguinte uma Força de atrito dinâmico Fa contrária à velocidade. O veículo só parará no ponto C, estando o peão/pedestre no ponto P.

Pela leis da mecânica clássica, sabemos que a velocidade é dada por

que significa que v será a distância entre os pontos A e B dividida sobre o tempo que decorreu entre esses mesmos dois pontos. Se considerarmos que o condutor do veículo tem um tempo de reação entre os pontos A e B de tr  segundos, podemos reescrever

Pelas leis da mecânica clássica também sabemos que a Energia Cinética Ec do veículo no ponto B é

Ao ao longo do trajeto em que o veículo abranda, é exercida uma Força de atrito dinâmico Fa, pois existe uma força de fricção, que é contrária à velocidade do veículo. As forças de atrito dinâmico são praticamente independentes da velocidade. Adotamos por questões de simplificação, o caso em que as rodas literalmente bloqueiam. Na realidade, as rodas não bloqueiam totalmente através de sistemas de travagem como o ABS, mas ignoraremos para já tais sistemas por razões de simplificação.

A Força de atrito dinâmico Fa depende do coeficiente de atrito dinâmico µ dependendo também da força normal à superfície, ou seja, do peso do veículo, que neste caso é mg. Então

Do ponto B até ao ponto C, o trabalho Wa realizado pela Força de atrito dinâmico Fa será

Esse trabalho terá de anular a Energia Cinética Ec que o veículo possuía no ponto B. Logo obtemos a seguinte equação

concluindo que a distância de travagem total D será

Significa que a Distância de travagem total D tem uma componente que é linear com a velocidade e outra que depende de forma quadrática da velocidade.

Resumindo, a distância de travagem total de um veículo em função da velocidade é dada por

onde tr é o tempo de reação do condutor, µ é o coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o pavimento e g é a aceleração da força da gravidade.

Esta distância depende linearmente com a velocidade e com o tempo de reação do condutor, e quadraticamente com a velocidade. Pouco importa a marca ou o peso do veículo. Matematicamente é claro que os fatores que unicamente são importantes são a velocidade; o tempo de reação do condutor, que por exemplo aumenta bastante com o sono ou com o álcool; e o coeficiente de atrito dinâmico µ que é fortemente afetado pela qualidade dos pneus, a meteorologia e a qualidade do pavimento.

Imagem da prof. Raquel Ribeiro

Interessa agora tentar aferir qual é o valor do coeficiente de atrito dinâmico µ. Para tal iremos combinar a fórmula acima com alguns testes empíricos sobre distâncias de travagem, considerando que os testes realizados não têm em conta o tempo de reação do condutor. Usaram-se as seguintes experiências obtidas de uma revista da especialidade.

Tem-se como referência o veículo Porsche Carrera, um dos que apresenta melhor desempenho do mercado, no domínio da distância de travagem. Considera-se ainda que a aceleração da gravidade é g=10 ms^-2 e que o tempo de reação do condutor nesta experiência é zero, pois as medidas foram efetuadas a partir do momento em que o veículo começa a travar. É necessário ainda aplicar um fator divisor para converter km/h para m/s  (1 m/s=3.6 km/h), unidade SI para medir velocidades.

Assim, a fórmula fica

onde vk  é a velocidade em km/h e D é a distância de travagem. Aplicando os valores obtidos para o teste efetuado com o Porsche Carrera, mas também para outros veículos mais comuns cujos testes a revista apresentava, obtemos a seguinte tabela.

É aceitável então, por questões de aproximação, adotar doravante um coeficiente de atrito dinâmico igual a µ=0,9. É possível então criar um gráfico da Distância de travagem D, em função da velocidade vk, velocidade apresentada em km/h.

Na seguinte imagem 3D, que compara a distância de travagem D (eixo vertical z), com o tempo de reação tr (eixo x, num intervalo entre meio segundo e 3 segundos) e a velocidade v (eixo y, num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que quer a velocidade, quer o tempo de reação, tomam um papel muito importante na distância de travagem. O coeficiente de atrito dinâmico foi estabelecido em µ=0,9.

Distância de travagem em função da velocidade e tempo de reação
D=z ; y=v=[0,50]km/h ;  x=tr=[0.5,3] segundos ; µ=0,9

Já todavia no seguinte gráfico 3D que compara a distância de travagem D (eixo vertical z), com o coeficiente de atrito dinâmico µ (num intervalo entre 0.3 e 1) e a velocidade v (num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que o estado do pavimento ou a qualidade dos pneus (µ), são fatores extremamente importantes na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades mais elevadas. Repare-se que ao longo do plano v=20km/h a altura D=z pouca varia com a qualidade do pavimento e dos pneus (µ), mas ao longo do plano v=50km/h a qualidade dos pneus e do pavimento (µ) tomam um papel fulcral na distância de travagem (D).

Distância de travagem em função da velocidade e coeficiente de atrito dinâmico
D=z ; v=[0,50]km/h ;  µ=[0.3,1] ; tr=1s

Conclusão

A distância de travagem varia substancialmente com a velocidade a partir de pequenas velocidades de cerca de 20 km/h. Considerando ainda que a Energia Cinética de um veículo varia com o quadrado da velocidade e é um dos fatores mais importantes para a fatalidade de utilizadores vulneráveis como peões ou ciclistas, o autor aconselha o legislador para que imponha sérios limites em termos de velocidade de veículos, essencialmente em meios com elevada densidade populacional, como zonas urbanas residenciais. É por isso essencial que as autoridades de prevenção rodoviária implementem medidas que melhorem consideravelmente a fiscalização das velocidades praticadas e medidas de acalmia de tráfego, nomeadamente o estabelecimento de zonas 30. A qualidade dos pneus e o do pavimento, tomam também um papel extremamente importante na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades acima dos 30 km/h como pode ser constatado no último gráfico, o que enfatiza o facto, de ser deveras importante diminuir os limites de velocidade em meios onde existe elevada concentração de pessoas.

Dívida, Défice e Crescimento; como interagem?

Muitos poderão pensar que a dívida pública e o défice público, se cingem a questões de opções políticas, mas na realidade uma das ciências que está bem presente em finanças públicas e economia, é a matemática. A iliteracia matemática de um certo povo, pode explicar em parte, o desequilíbrio que esse país tem nas suas finanças públicas, pois as mesmas nos estados democráticos, são muito afetadas por escolhas políticas. O modelo apresentado é um modelo simplificado, baseado em sistemas dinâmicos discretos, que explica como interagem a dívida, o défice e o crescimento económico de um Estado. 

O défice público, simplificando, é a diferença entre as despesas e as receitas de um Estado. Quando um país tem mais receitas que despesas, tem superavit, ou excedente orçamental; quando esse país tem mais despesas que receitas, esse país tem défice. Quando há défice orçamental, o país necessita de contrair dívida para colmatar esse défice, que pagará com juros. Assim, um modelo simplificado do sistema poderá ser o seguinte

onde DV_k, TJ_k e DF_k são a Dívida, a Taxa de juro em percentagem e o Défice respetivamente no ano k. É fácil perceber que a Dívida no ano k+1, será a Dívida no ano k mais a componente dos juros, somando ainda o Défice do ano k.

Este modelo não inclui engenharias financeiras, nem contabilidade paralela, como sucedeu em Portugal com swaps, PPPs, ou dívidas contraídas pelas empresas públicas, se essas despesas não constarem nas contas oficiais do défice. Este modelo também obedece a outra simplificação. O Estado por norma contrai dívida através dos chamados títulos de dívida pública, emitidos com um certo prazo de maturidade, estando aquando da sua emissão já definidos a taxa de juro e o prazo. No modelo que se apresenta a Taxa de Juro aplica-se ao montante total da dívida no ano k, e não parcelado como realmente acontece com os títulos da dívida. Pode-se demonstrar que para períodos de tempo algo alargados, o erro deste modelo é bastante diminuto, se na Taxa de Juro se colocar o valor médio que o Estado tem pago de juros ao longo desse mesmo período de tempo.

Já o crescimento económico no ano k, ou seja o crescimento do valor do Produto Interno Bruto (PIB) do ano k para o ano k+1, ou seja CE_k, obedece a outra equação semelhante

Se dividirmos a primeira equação pelo PIB no ano k+1, multiplicando ainda implicitamente todos os termos da equação por 100, ficamos exatamente com uma outra equação, mas com a Dívida e o Défice, representados em percentagem do PIB.

onde DVp e DFp representam respetivamente a Dívida e o Défice em percentagem do PIB. Podemos ainda apresentar a equação acima de forma diferente, escrevendo

Se agora aplicarmos os conceitos da aproximação dos sistemas dinâmicos discretos aos sistemas dinâmicos contínuos obteremos uma equação diferencial linear de primeira ordem

A solução geral desta equação diferencial é

onde DVp(t) e DVp(0) representa a Dívida em percentagem do PIB no ano t e no ano 0 respetivamente, TJ a Taxa de juro da dívida, CE a percentagem de crescimento económico do PIB, e DFp o Défice público em percentagem do PIB.


E para o caso de Portugal (1980-2010)

Se considerarmos agora para o caso português, um período de cerca de 30 anos, de 1980 a 2010, com um défice público médio de aproximadamente 5%, uma taxa de juro média de 4% e um crescimento económico médio de 3%, ficamos com

cujo gráfico da expressão DVp é o seguinte:

Simulação segundo o modelo, t=0 corresponde a 1980; [1980,2010]
Taxa de juro média da dívida de 4%,
Crescimento económico de 3%,
Défice Público médio de 3%

Penso que a dívida pública apenas não atingiu os valores acima sugeridos pelo gráfico, cerca de 180% do PIB, porque o Estado foi alienando ativos que foram sendo abatidos à dívida, que muitas vezes não entravam nas contas do Défice, como algumas das sucessivas privatizações que se têm realizado desde 1980.

O decréscimo futuro da dívida exige obrigatoriamente excedente orçamental e/ou crescimento económico. A dívida que o modelo sugere, deveu-se essencialmente a variados anos de défices públicos sucessivos, com a agravante que à medida que em cada ano havia défice, contraía-se dívida, que por sua vez tinha de ser paga com juros. Este modelo demonstra que a dívida nestas condições de défices sucessivos tem um crescimento exponencial, que em situação de anos consecutivos de défices altos, leva à situação do crescimento exponencial acentuado da dívida, cujo controlo por parte do executivo, se torna crítico.

O que altera a dinâmica da Dívida neste sistema dinâmico, segundo o modelo, é a expressão TJ-CE, ou seja, a Taxa de Juro da dívida tem de ser inferior ao crescimento económico, para que a Dívida decresça.

Resumidamente, poderá matematicamente comprovar-se aquilo que a generalidade dos cidadãos já tinha como implícito, que o défice de hoje, é a dívida de amanhã.

Afinal o que são e para que servem as tabelas de percentis?

Todas os pais as conhecem, as famosas tabelas de percentis de altura e peso dos bébés e crianças. Representam para muitas mães motivo de angústia sobretudo se o seu rebento se encontra nos “percentis mais baixos” ou se “descem de percentil”. Têm normalmente aspeto semelhante a este.



Figura 1. Tabelas de percentis de altura e peso de bébés dos 0 aos 2 anos, segundo o standard da Organização Mundial de Saúde.

Mas afinal o que é que são e o que representam os percentis? Para responder a esta questão teremos que rever umas das medidas importantes da estatística, os quantis. Tal como a média, a mediana ou a moda, os quantis são medidas de posição.

A mediana (m) é a medida de localização dos elementos numa amostra da população. A mediana é tal que 50% dos elementos da amostra são menores ou iguais a m e os outros 50% maiores ou iguais a m.

Ao generalizar esta noção para definir outros intervalos de divisão dos elementos da amostra populacional, obtêm-se os genericamente designados quantis. Diz-se que um quantil de ordem p (com 0<p<1) é o valor Q_p tal que 100xp% dos elementos da amostra são menores ou iguais a Q_p e os restantes 100x(1-p)% dos elementos da amostra são maiores ou iguais a Q_p. Ou seja, toma-se toda a amostra de população, ordena-se todos os elementos por ordem crescente e divide-se a população em p partes iguais

Aplicando esta definição à mediana, verificamos que esta não é mais do que o quantil de ordem p=1/2, estamos a dividir a população em duas partes iguais.

Existem outras definições de quantis de ordem específica que são muito utilizados, os quartis, os decis e os percentis. Os nomes são sugestivos: nos quartis a população é dividida em 4 partes iguais, nos decis em 10 partes iguais e nos percentis em 100 partes iguais.

Por exemplo, aplicando esta noção aos quartis, isto quer dizer que em cada quartil estão contidas ¼ ou 25% das observações realizadas. Os quartis estão organizados da seguinte forma:

 

• Q₁=1º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=1/4

• Q₂=2º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=1/2

• Q₃=3º quartil; corresponde ao quantil de ordem p=3/4

Note-se que o 2º quartil coincide com a mediana, m.

Pela mesma ordem de ideias, os centis ou percentis, dividem a série ordenada em 100 partes iguais, contendo cada uma delas 1/100, ou seja, 1% das observações.  Assim, por exemplo:

• C₁=1º percentil, corresponde ao centil de ordem p=1/100

• C₅₀=50º percentil, corresponde ao centil de ordem p=50/100=1/2

Com os valores correspondentes dos percentis é possível criar gráficos com curvas de evolução de altura e peso para cada percentil. Estes gráficos são denominados pelos pediatras como tabelas de percentis. Tendo em conta o que foi dito, é fácil de perceber que as curvas representadas nas tabelas de percentis dependem directamente da amostra de população considerada, ou seja, para cada sub-grupo da população mundial considerado poder-se-ia construir tabelas de percentis com aspectos diferentes dependendo dos critérios de selecção utilizados para construir esse subgrupo. Quer isto dizer que a mesma criança poderia pertencer a percentis de peso e comprimento diferentes se os critérios de amostragem não fossem os mesmos.

Numa tentativa de uniformizar as tabelas, em meados dos anos 70 o “National Center for Health Statistics” americano e a Organização Mundial de Saúde estabeleceram tabelas de referência recomendadas para uso internacional. Estas tabelas de referência apresentavam várias limitações ao nível do processo de amostragem e dos métodos estatísticos utilizados, pelo que nos anos 90 foram revistas e criou-se ou standard internacional para as tabelas de percentis. As crianças e bébés incluídos na amostra de população deste novo standard consistiu de crianças saudáveis a viver em condições favoráveis ao seu crescimento e à concretização do seu potencial genético; as mães dessas crianças seguiam um estilo de vida saudável, dos quais se destacam a abstenção de fumar e a amamentação dos bébés com leite materno. Foram incluídas crianças de seis países diferentes (Brasil, Ghana, Índia, Noruega, Oman e EUA), pelo que a amostra contém grande variedade genética e étnica e variação cultural nos cuidados com as crianças. A principal característica deste estudo é o estabelecimento da criança alimentada com leite materno como o modelo para o crescimento e desenvolvimento (no estudo anterior as crianças eram alimentadas maioritariamente com leite em pó).

O novo standard define como as crianças devem crescer, o que quer dizer que é mais fácil identificar crianças com problemas ou patologias relacionadas com o crescimento. À medida que a criança vai crescendo a sua altura e peso são registadas no gráfico, para verificar se seguem uma determinada curva, o que quer dizer que a criança se vai mantendo no mesmo percentil. Se a criança segue uma determinada curva consistentemente de medição em medição, então tem um crescimento saudável. Por exemplo, uma criança que segue a curva do percentil C5 de altura é apenas uma criança saudável mais baixa do que a média, ao passo que uma no percentil C90 é mais alta do que a média. Se o padrão de crescimento de uma criança se altera repentinamente e o seu peso aumenta ou diminui significativamente em termos de percentis, então o pediatra sabe que pode haver um problema e actua no sentido de o identificar.

 

Apenas uma nota final para indicar que, embora os novos standards estejam disponíveis desde 2006 para utilização por todos os países que o queiram fazer, e em 2012 tenha sido anunciado que as novas tabelas de percentis seriam adoptadas pelo Direcção-Geral de Saúde em Portugal (http://www.publico.pt/sociedade/noticia/portugal-vai-adoptar-novas-curvas-de-crescimento-para-bebes-e-criancas-1566206), até hoje ainda não o fizeram, pelo que os bébés portugueses ainda são “classificados” segundo as tabelas dos anos 70, que desfavorecem os bébés amamentados com leite materno, cujo crescimento é normalmente um pouco mais lento nos primeiros meses de vida.

Média, mediana e moda - exemplo simples

Anda muita confusão na cabeça de muita gente com algo que é muito simples de entender.

Imaginemos 5 irmãos que vão à pasterlaria com a sua mãe. O primeiro irmão come 1 bolo, o segundo 2 bolos, o terceiro 3 bolos, o quarto 7 bolos, e o quinto 7 bolos, ou seja:

Irmão	Bolos comidos
1º	1
2º	2
3º	3
4º	7
5º	7

Média

A média será apenas a soma do número total de bolos comidos, a dividir pelo número total de irmãos, ou seja, a sua mãe tem de saber o número total de bolos comprados e apenas dividir pelo número total de filhos, para saber quantos bolos come em média cada filho:

Cada filho, em média, come 4 bolos.

Mediana

Todavia a mediana será 3. Excluindo o filho do meio que comeu 3 bolos, metade dos filhos comeu menos de 3 bolos sendo que a outra metade comeu mais de 3 bolos. Ou seja, a mediana é o número de bolos que comeu o "filho do meio", quando os filhos estão ordenados pelo números de bolos que comem.

Neste caso, como o filho do meio comeu 3 bolos, a mediana será 3.

Moda

A moda será 7, pois é o número de pedidos que aparece em maior número; houve dois irmãos que comeram 7 bolos. O empregado de mesa (garçon) da pastelaria a quem a mãe fez os pedidos, lembra-se-á que há vários pedidos, mas há um pedido que aparece em duplicado, ou seja, em maior número, neste caso é 7, pois dois dos irmãos pediram 7 bolos, enquanto nos restantes, todos os pedidos são diferentes.

Caso o primeiro, o segundo e o terceiro irmãos tivessem pedidos todos, cada um, 1 bolo, a moda seria 1, pois haveriam três pedidos de 1 bolo, e apenas dois pedidos, de 7 bolos.