Limites de funções

Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:

$\lim_{x \to c}f(x) = L$

significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite def(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando $f(c) \neq L$ , ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.

Consideremos $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:

f(1.9)	f(1.99)	f(1.999)	f(2)	f(2.001)	f(2.01)	f(2.1)
0.4121	0.4012	0.4001	$\Rightarrow$ 0.4 $\Leftarrow$	0.3998	0.3988	0.3882

À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade $\lim_{x\to 2}f(x)=0.4$ . Sempre que se verifique a igualdade $f(c) = \lim_{x\to c} f(x)$ , diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece

$g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{se }x\ne 2 \\ \\ 0, & \mbox{se }x=2. \end{matrix}\right.$

O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas $\lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2)$ e consequentemente g não é contínua em x = 2.

Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.

$f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}$

Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:

f(0.9)	f(0.99)	f(0.999)	f(1.0)	f(1.001)	f(1.01)	f(1.1)
1.95	1.99	1.999	$\Rightarrow$ não está definido $\Leftarrow$	2.001	2.010	2.10

Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de

f (x)

é 2.

A Matemática Viva

Abstracta, racional, por vezes intuitiva, sempre filosófica a matemática é a ferramenta fundamental desde os tempos primordiais. Desde tempos imemoráveis que o Homem faz uso da matemática para auxílio ao seu quotidiano.

Mas desde quando na evolução humana, começou a nossa espécie a tecer raciocínios abstractos matemáticos? Foi um passo bastante longo, moroso, mas foi um passo deveras importantíssimo na evolução do Homem; muito mais relevante que a invenção do fogo ou da roda. O raciocínio abstracto é o que nos difere das outras espécies, para os crentes é uma dádiva divina que nos diferencia e nos torna superiores, para os incrédulos e laicos é somente um passo evolutivo devido às necessidades dos tempos e talvez mesmo por questões de sobrevivência.

O que é certo é que a Matemática, e posteriormente a Filosofia e as Artes talvez tenham sido as primeiras ferramentas que o Homem concebeu com a sua capacidade de abstracção.

Já na nossa era, os matemáticos tentaram-nos incutir uma Matemática extremamente racional e abstracta, muitas vezes sem quaisquer paralelismos com o mundo terreno. Talvez uma premonição, mas o que é certo é que o número um surgiu para representar um objecto físico.

A matemática surgiu como uma necessidade do Homem no seu trajecto evolutivo, à medida que aumentava o seu volume craniano, foi sendo dotado de raciocínios algébricos. Se o Pensamento foi uma dádiva de Deus ou uma necessidade não o sabemos, mas é este que fez o Homem evoluir, é este que nos diferencia das outras espécies, foi este que nos levou a Marte, que criou a roda, e que nos fornece todas as panóplias quer frívolas, quer de grande utilidade, do nosso mundo moderno.

A Matemática é Viva quando é processada por seres humanos, quando é intuitiva, quando a sentimos útil aos nosso pressupostos. Aliemos então a Matemática, supostamente estritamente pura implicando assim ser apenas racional, à criatividade e sensibilidade humanas. É esta união que torna a Matemática elegante

Sendo elegante,
A Matemática é Viva quando é Humana

Limites de funções

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