Pequena demonstração da derivada de x^n


Pretendo aqui fazer uma pequena demonstração de como se obtém a tão famosa derivada dos polinómios de grau n

É sabido que a derivada num ponto é dada por


Então para qualquer ponto da função, obtemos


Vamos então agora fazer um pequeno desenvolvimento, envolvendo o binómio de Newton


 

  
Faremos agora uma mudança de variável no somatório, fazendo (n-1-p=i) que equivale a dizer (p=n-1-i) e os extremos do somatório continuaram a ser entre 0 e n-1. Resulta então em



Como o termo ‘i’ é sempre diferente de zero no somatório, nunca existe indeterminação do tipo zero sobre zero no termo ‘h’. Como o termo ‘h’ está a multiplicar, ao tender para zero todos os termos do somatório tenderão para zero, resultando em

 
  
 

O resultado fica então como popularmente se sabe, e está inscrito em qualquer tabela de derivadas

Nota: Relembro apenas as fórmulas das combinatórias e do binómio de Newton




2 comentários:

  1. Eu queria saber quando x^-n.
    Exemplo: 4x^-4 ficaria -4.4x^-5 ou 4.4x^-3?

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  2. Meu caro, só respondemos no fórum! Faça as perguntas que quiser no fórum que respondemos gratuitamente.

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    Cumprimentos

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