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Alguns cálculos com derivadas parciais de f(u,v)

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Fazemos primeiramente a derivada de f em ordem a x

Agora fazemos a derivada de f em ordem a y

Finalmente juntamos as duas expressões tal como é referido no enunciado

Como calcular a primitiva de sqrt(x^2-4)/(x^4)?

Deparei-me recentemente com esta primitiva numa explicação e decidi partilhar os resultados convosco. Queremos então saber:

Quando estamos perante uma raiz quadrada deste género fazemos uma substituição do género x=a.sec(t)

Ora então perante este caso ficamos com os seguintes resultados

Sabendo a igualdade trigonométrica (sen(x))^2+(cos(x))^2=1, temos facilmente

Obtemos assim o resultado final em que no caso da primitiva havia que adicionar a constante C.

Para quaisquer primitivas contacte-me

Agrdecido

Uma bica curta para fazer contas sff!

Intrigaram homens solenes, fadistas, solistas e homens probos, matemáticos, físicos e músicos, que desconheciam o processo emblemático e quase místico físico-químico da osmose que reitera simplificadamente que quanto maior a concentração num líquido maior é a difusão, ora então é por um processo similar que quando uma bica é curta dá mais energia e mais pica, sendo que esta tem menos café, e tem menos cafeína, mas já os excelsos dos gregos exigiam diversas comprovações e postulados matemáticos para o que o empirismo contemplava, a razão a saciar os ímpetos dos sentidos.

Numa bica curta, passa menos água pelo filtro, ou seja quando o empregado lusitano dos cafés mundanos e lisboneses cerra as mãos no punho e o coloca na bica e pressiona o divino botão, logo de seguida o suco aquoso proveniente da empresa lisbonesa de fornecimento de água é escaldado, é aquecido a temperaturas escaldantes e ferventes percorrendo o filtro que se encontra no punho que o empregado cioso cerra com a mão direita.

Numa bica curta, passa menos água, mas a taxa instantânea de doseamento de cafeína para a chávena e para a água por certo obedecem a uma função exponencialmente decrescente, ou seja meus caros, no instante imediatamente seguinte ao pressionar no botão da máquina é debitada na água altas doses de cafeína, enquanto que passados alguns segundos, talvez quinze, a quantidade de café a juntar à água é muito menor.

Isto traduz-se numa equação exponencialmente decrescente, que tem um certo declive e um valor inicial, que nos dá a quantidade de café que é colocado na água em gramas por segundo, ou seja é uma taxa instantânea de débito de café na água e será algo como:

O gráfico desta equação é conhecido pelos matemáticos mesmo antes de Neper ter conjurado sobre o famoso número e será algo como:

Neste caso a constante inicial Tc0 é 1 e a constante do declive L também é 1.

Ora a água que penetra no filtro e trespassa o café tem uma taxa constante na saída da bica, na saída da boca da torneira, e essa taxa constante é dado pelo gráfico cuja linha traça uma recta horizontal e cuja equação foi a primeira elaborada pelos homens, que será algo como, em mililitros por segundo:

Ora, como aferir então a concentração do café na água? Será necessário calcular a quantidade de café que foi debitada a partir do integral da equação de cima e na de baixo na quantidade de água, como é uma constante bastará multiplicar pelo tempo em segundos. Ou seja, a concentração de café ou cafeína numa bica, será a quantidade de café que existe nessa chávena em gramas a dividir pela quantidade de água que a chávena contém em mililitros que será então:

Este é o gráfico da concentração da bica na chávena em g/ml ao fim de t segundos. Neste gráfico, a fracção Tc0/Ta é igual a 1 e a constante L é também igual a 1.

A concentração no instante inicial é máxima, e vai decrescendo com o tempo, ora deve existir um instante, ou seja um ponto em t, onde o efeito estimulante no corpo humano é máximo. No princípio, mesmo apesar de a concentração ser muito alta, não temos café suficiente para surtir qualquer efeito considerável, mas a partir de um certo instante, mesmo apesar de haver mais cafeína na chávena, como a concentração vai diminuindo, por efeitos de osmose não haverão efeitos tão estimulantes no corpo humano. Esse ponto estará algures por certo no instante t, cuja concentração seja superior a 80% da concentração inicial máxima.

Venha uma bica curta sff para me ajudar a fazer contas!

Obrigado e até amanhã!

Embelezando a metafísica Euleriana...

A beleza da matemática não está somente na resolução de problemas da vida real. Por vezes uma simples equação pode ser motivo de gozo e satisfação do mais autêntico matemático.
Uma das equações que representa a beleza no ideal matemático é a seguinte identidade:

Não só ela é simples e elegante, como usa as operações soma, multiplicação e exponenciação uma vez cada, e contém os números e, número irracional e base dos logaritmos naturais, i, a raíz quadrada de -1 e portanto um número imaginário, π, omnipresente em trigonometria, o número 1, identidade na multiplicação e o número 0, identidade na adição.

O matemático é também o poeta que joga com os números, buscando a perfeição.

Pensamentos transcendentais por José Maria Sousa

Exame Nacional de Matemática A 2010 1ª fase

O exame nacional de Matemática A de 2010 foi no dia de ontem 21 de Junho pelas 9:00 da manhã. Pela minha experiência de explicador achei-o bastante acessível em comparação com os de anos anteriores. O grupo de escolha múltipla fazia-se muito bem e a parte de probabilidade que por vezes requer mais astúcia por parte do aluno era bastante elementar. Confesso que na resolução do primeiro exercício de escolha múltipla, o que referia acontecimentos incompatíveis até achei que não era a que tinha pensado ser a resposta certa, tal a sua simplicidade. 

Envolvia conhecimentos simples de cálculo diferencial e alguns conhecimentos de cálculo complexo. Mas talvez seja um sinal positivo estar ambientado com testes nas escolas com um grau de dificuldade superior. É sinal que o ensino secundário nacional está mais exigente, e os exames nacionais são sempre bons para fazer uma avaliação justa e equitativa dos alunos que querem completar o nível secundário ou ingressar no ensino superior.

No entanto não posso deixar de referir que me pareceu bastante acessível o exame nacional de Matemática A este ano; quem tivesse estudado um pouco e tivesse uma nota positiva no nível secundário por certo terá uma boa nota neste exame. Veremos como será o da segunda fase!

O exame juntamente com a sua resolução já está disponível na Matemática Viva.

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O cálculo de uma série com Mengoli, comparação e Dirichilet

Convergência

Para estudar a série quanto à convergência poderemos utilizar o critério da comparação. Sabemos que:

O critério da comparação diz que dada uma série 

e uma série

se

então as duas séries têm a mesma natureza (convergência ou divergência)

Sabemos pelo critério de Dirichlet que uma série do género 

converge para α > 1. Então

é convergente. Vamos comparar esta série com a série do enunciado pelo critério de comparação.

Logo, pelo critério da comparação, como 1 é um número finito, a série do enunciado também é convergente.

Soma

Como a série é convergente vamos tentar determinar a soma de:

 

Sabemos que:

  

Vamos então tentar separar os factores em dois termos numa soma

  

As regras da álgebra dizem que nestes casos calcula-se A e B, sendo

 

Então a série pode ser reescrita da seguinte forma

Nestes casos aplicamos o teorema das séries redutíveis ou séries de Mengoli em que sabemos que a soma é

Vamos então achar o termo geral u(n) e o número natural k

Como a série começa em n=2 temos então a seguinte soma

Este resultado pode ser confirmado no sítio da inter-rede para cálculo numérico e simbólico aqui.

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Resolução da prova específica de 2009 de Engenharia Mecânica do ISEL para maiores de 23

Deixo aqui para todos os interessados a resolução da prova específica de 2009 de Engenharia Mecânica do ISEL para maiores de 23. Estas são provas especialmente adequadas e destinadas a avaliar a capacidade para a frequência do ensino superior dos maiores de 23 anos, tal como refere o Decreto-Lei n.º 64/2006, de 21 de Março.

• Enunciado e Resolução

Agradecimentos solenes pela digitalização e resolução a Pedro Pais

Resolução do 1º Teste de Álgebra Linear e Geometria Analítica do ISEL de 3 de Maio de 2010

Deixo aqui para descarregamento de todos os interessados a resolução do 1º Teste de Álgebra Linear e Geometria Analítica do ISEL de 3 de Maio de 2010. Devo confessar que tive acesso à pauta com as notas e os resultados foram deveras avassaladores, talvez mais por despego dos alunos, do que propriamente pela dificuldade do teste.

• Visualiza o Enunciado e a Resolução

Boa sorte aos alunos para a cadeira de ALGA, e quaisquer dúvidas deixem comentários, que se as souber responder assim o farei com a brevidade possível.

Agradecimentos pela resolução e digitalização a Miguel Coelho

Formulários úteis para Análise Matemática

Coloco aqui para auxílio dos alunos que são discentes na cadeira de Análise Matemática em qualquer faculdade, diversos formulários bastantes úteis e aos quais recomendo vivamente a consulta.

• Domínios de funções
  
• Funções trigonométricas
• Generalidade de funções
• Regras de derivadas
• Resumo de séries
• Séries de Potência e Taylor
• Teorema de Rolle, Lagrange e Cauchy
• Resumo de todas as funções

Agradecimentos solenes ao Eng. Manuel Cerqueira

Regras e formulários de Cálculo Matricial e de Espaços Vectoriais para Álgebra Linear

Coloco aqui diversas regras e fórmulas relacionadas com cálculo matricial e resoluções de matrizes.

Termos como matriz inversa, simétrica, transconjugada, singular ou transposta são explicados neste documento

• Cálculo Matricial para Álgebra Linear
• Espaços Vectoriais para Álgebra Linear

Qualquer dúvida ou sugestão deixe um comentário
Agradecimentos ao Eng. Manuel Cerqueira

Resolução do Caderno de Janeiro de 2010 de Primitivas e Integrais da cadeira de Optimização do ISCTE

Aqui coloco para consulta de todos vós a resolução de muitos exercícios do caderno de Janeiro de 2010 de Primitivas e Integrais da cadeira de Optimização do ISCTE. 

Os docentes da cadeira não facultaram as resoluções, sendo assim achei por bem, digitalizar as resoluções resolvidas em sessões de explicações e colocá-las no domínio público. 

Pode visualizar ou descarregar os seguintes documentos

• Caderno de Primitivas e Integrais de Janeiro de 2010 de Optimização do ISCTE - Enunciado
  
• Resolução de algumas Primitivas Imediatas e Quase-Imediatas
  
• Resolução de algumas Primitivas por partes, por substituição e de funções racionais

Agradecimentos pela digitalização e ajuda nas resoluções a Liliana Rodrigues.

Pequena demonstração da derivada de x^n

Pretendo aqui fazer uma pequena demonstração de como se obtém a tão famosa derivada dos polinómios de grau n

É sabido que a derivada num ponto é dada por

Então para qualquer ponto da função, obtemos

Vamos então agora fazer um pequeno desenvolvimento, envolvendo o binómio de Newton

 

  

Faremos agora uma mudança de variável no somatório, fazendo (n-1-p=i) que equivale a dizer (p=n-1-i) e os extremos do somatório continuaram a ser entre 0 e n-1. Resulta então em

Como o termo ‘i’ é sempre diferente de zero no somatório, nunca existe indeterminação do tipo zero sobre zero no termo ‘h’. Como o termo ‘h’ está a multiplicar, ao tender para zero todos os termos do somatório tenderão para zero, resultando em

 

  

 

O resultado fica então como popularmente se sabe, e está inscrito em qualquer tabela de derivadas

Nota: Relembro apenas as fórmulas das combinatórias e do binómio de Newton

Como calcular a Primitiva de (x.sen(x))² ?

Deparei-me com esta primitiva num exame de Matemática de um amigo meu da Universidade Nova de Lisboa. Com algumas manipulações trigonométricas e aplicando a primitivação por partes duas vezes, é possível chegar ao resultado pretendido.

Antes de mais é necessário separar os dois termos no quadrado e ter em consideração algumas igualdades trigonométricas

Podemos agora começar a primitivar a equação tendo em conta esta igualdade trigonométrica, pois conseguimos eliminar o quadrado do seno. Sendo assim ficamos com

A primitiva de x² é imediata. Para primitivar x²cos(2x) teremos que recorrer à primitivação por partes, ou seja

Quando primitivamos por partes temos de saber qual o termo que derivamos e qual o termo que primitivamos. Na fórmula acima mencionada primitivamos (v') pois ficamos com (v) e derivamos (u) pois ficamos com (u'). Neste caso vamos derivar o termos x² e primitivar o termo cos(2x)

Aplicamos novamente o método da primitivação por partes

Finalizando ficamos com