O paradoxo do acondicionamento de esferas

Todos sabemos que os paradoxos são objetos estranhos. Normalmente não gostamos muito de paradoxos porque não percebemos bem o que a natureza nos quer dizer com eles. Neste exemplo, a noção de distância é a usual euclidiana; as esferas são centradas num ponto e têm um raio constante; os cubos são de ângulos retos e de unidades normalizadas.

Espaço bidimensional


Para simplificar, partimos do exemplo 2D, onde 22=4 circunferências estão centradas nos pontos {(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionados e inscritos num quadrado 4x4 centrado em (0,0). É sempre possível encaixar o círculo vermelho centrado em O=(0,0) inscrito e portanto tangente às 4 circunferências.

Aqui o raio do círculo vermelho é menor do que meio lado do quadrado L=4/2=2, e por isso o círculo vermelho está contido no quadrado.


Todavia, qual é o raio do círculo vermelho?

O Teorema de Pitágoras (T.P.) aqui diz-nos que a distância de O ao centro de cada uma das 4 circunferências é . Como cada circunferência tem raio r=1, então o círculo vermelho tem raio menor que L=2.

Espaço tridimensional

No caso de dimensão 3D, onde as circunferências passam a esferas teremos 23=8 esferas centradas nos pontos {(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo 4x4x4. É sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em O=(0,0,0) inscrita e portanto tangente às 8 esferas.

Aqui o raio da esfera púrpura é menor do que meia aresta do cubo L=4/2=2, e por isso a esfera púrpura está contida no cubo.

Todavia, qual é o raio da esfera púrpura?

Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., referindo que a esfera púrpura tem raio , ou seja a esfera púrpura tem um raio menor que L=2.

E para esferas no espaço hiperdimensional?

No caso de dimensão 9D, onde as esferas passam a hiper-esferas em 9D teremos 29=512 hiper-esferas centradas nos pontos {(1,1,1,1,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1,1,-1), ... ,(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1),(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num hipercubo 4x4x4x4x4x4x4x4x4. É sempre possível encaixar uma hiper-esfera negra centrada em O=(0,0,0,0,0,0,0,0,0) inscrita e portanto tangente às 512 hiper-esferas.


Aqui ocorre o início do paradoxo. O raio da hiper-esfera negra é igual à meia aresta L do hipercubo, sendo L=4/2=2, e por isso a hiper-esfera negra está contida no cubo mas é tangente também a ele.

Todavia qual é o raio da hiper-esfera negra?

Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., concluindo que a hiper-esfera negra terá um raio igual a:


A partir da nona dimensão em diante, ou seja, para n>9, constata-se todavia que

e por isso a hiper-esfera negra ultrapassará os limites das faces do hipercubo que contém as 2n hiper-esferas e que inscrevem a hiper-esfera negra. Esta extravasação das faces do hipercubo em nD, acabará por envolver e imergir o hipercubo, fazendo-o quase desaparecer dentro da hiper-esfera negra. 

A partir de n=9 em diante, o raio da hiper-esfera interior, extravasa a face do hipercubo

Todavia, interessantemente, como cada um dos 2n vértices do hipercubo está à distância da origem O, de

os vértices do hipercubo estarão sempre mais longe da Origem do que os centros das hiper-esferas estão à origem. Por isso, ao acrescentarmos dimensões, a hiper-esfera negra continuará se expandindo contra os vértices nunca extravasando nenhum, porque cada hiper-esfera emparelha com cada um dos vértices do hipercubo. 

A hiper-esfera negra extravasa as faces do hipercubo por entre os interstícios das hiper-esferas.

Como a austeridade colocou um forte travão na dívida pública

Ouvimos muita gente no dia-a-dia mencionar algo sobre a dívida pública sem realmente perceber muito bem como funciona nem sequer como é calculada. Em acréscimo nas questões fraturantes com referência ao antigo Primeiro-Ministro José Sócrates e às políticas de austeridade dos últimos anos, as opiniões da rua e dos espaços de comentários na Internet, assim como de muitos agentes da classe política, tornam-se mais acesas e mais dicotómicas, todavia por vezes ainda mais ruidosas e confusas. Quase toda a gente na praça pública fala da dívida pública, desde jornalistas, políticos, comentadores, economistas e até eleitores comuns. Se por um lado tal é positivo, pois realça que a população em geral no exercício da sua cidadania considera este indicador importante, por outro lado o interesse do público gera também muita desinformação que convém todavia esclarecer matematicamente. Na Matemática Viva somos totalmente apartidários, queremos deixar isso bem vincado, mas como sempre referimos achamos que é importante vivificar a matemática em Portugal, tornando o eleitor mais esclarecido. Assim sendo, demonstrarei matematicamente que as políticas de austeridade na realidade colocaram um forte travão na dívida pública.

Um sistema dinâmico: o automóvel de dois lugares

A dívida pública como muitos indicadores económicos representa um sistema dinâmico, ou seja, estamos perante um sistema que obedece a uma inércia, neste caso uma inércia económica-financeira. Foi Newton um dos primeiros estudiosos dos sistemas dinâmicos e a usar cálculos variacionais para os estudar. Num paralelismo no dia-a-dia, o sistema dinâmico mais elementar que podemos fornecer ao comum dos leitores é o de um automóvel de dois lugares, que partiu da origem de uma determinada pista sempre a direito. Se por acaso num determinado instante trocarmos de condutor, e este quiser parar o avanço para voltar para trás, a paragem não é imediata. Ao travar, a velocidade vai abrandando, todavia mesmo com a diminuição da velocidade, o automóvel não deixa de avançar para a frente. Nesse movimento de travagem, em que a velocidade, ou seja, a variação do espaço, diminui a cada instante, a aceleração é constante e negativa, pois o automóvel está a travar. Essa aceleração negativa que é sempre constante representa na realidade a variação da velocidade. Como a velocidade varia de forma regular e linear, a aceleração, que representa a variação da velocidade, é constante. Reparem que uso aqui a aceleração mesmo considerando que o automóvel está a parar, pois quando um carro para, está matemática e fisicamente a acelerar negativamente. Resumindo: a velocidade é a variação do espaço percorrido e a aceleração é a variação da velocidade. Logo, a aceleração é a variação de segunda ordem do espaço percorrido. Mas vamos a um exemplo! No seguinte gráfico podemos ver como estas três variáveis interagem. 

Gráfico que combina distância percorrida, velocidade e aceleração.

Entre os 0 e os 4 segundos: até cerca de 4 segundos o automóvel tem uma aceleração constante que é 4 (não interessa para o efeito mencionar a unidade da aceleração). Como a aceleração é constante e de sinal positivo, o carro está a avançar e a velocidade aumenta de forma regular e linear (linha reta na velocidade). Por essa altura o espaço percorrido aumenta também mas de forma quadrática (a curva que se nota no gráfico da distância é quadrática até aos 4 segundos).

Entre os 4 e os 7 segundos: no segundo troço, entre os 4 e os 7 segundos, o carro deixa de acelerar, pois a sua aceleração é zero, o que significa que a velocidade se mantém constante (caso ideal sem atritos, como o vento). Como a velocidade se mantém constante, a distância percorrida não deixa de aumentar, mas neste caso, como não se acelera, a distância avança de forma linear (a reta no gráfico da distância).

Entre os 7 e os 15 segundos: imaginemos que a partir desse instante, perto dos 7 segundos, troca-se de condutor e que esse condutor está descontente com o caminho tomado e decide travar o automóvel. Nessa altura esse condutor ao travar aplica uma aceleração negativa de 2, que faz com que a velocidade vá baixando de forma linear, mas o carro não começa a andar de marcha-atrás de forma imediata. Vai ser necessário que o carro chegue até aos 150 metros, nos 15 segundos, para que o carro pare.

Entre os 15 e os 23 segundos: então, ao continuar a aplicar uma aceleração negativa (neste caso, já não o travão, mas a marcha-atrás), o veículo começa a regressar à origem, e a velocidade começa a ser negativa a partir dos 15 segundos. Deixo a interpretação do resto do gráfico aos leitores.

A dívida pública é um sistema dinâmico

A dívida pública é um sistema dinâmico porque qualquer variável de controlo que possa nela ser aplicada (os pedais no automóvel), estão longe de provocar no instante variações significativas. Cortar nos gastos do Estado não implica que a dívida desça de forma imediata, pois na dívida estão subjacentes compromissos de longo prazo, como o pagamento de juros em títulos plurianuais da dívida. Se alguns pagamentos como as PPP rodoviárias foram temporizados para alguns anos mais tarde, tal também tem efeitos dinâmicos na dívida. Podemos também afirmar de forma genérica que o Estado tem muitos compromissos financeiros, com muitas entidades, e que tal insere uma certa inércia no comportamento da dívida. Assim interessa estudar a dívida na ótica do estudo a sistemas dinâmicos. Neste caso por questões de simplicidade usamos sistemas dinâmicos discretos de segunda ordem, sendo cada ano civil a unidade de tempo.

No paralelismo da dívida pública com o automóvel de dois lugares, podemos afirmar que a distância na pista é o valor da dívida, ou seja, se o automóvel está na origem a dívida é zero, já se o automóvel está nos 160 metros, a dívida é 160 mil milhões de euros, ou seja, um metro por cada mil milhão de euros de dívida. Ora se num determinado instante em que os condutores avançam, eles trocarem de lugares e o novo condutor adotar uma tática diferente, o automóvel guarda uma inércia que precisa de ser corrigida, inércia essa que demora tempo a corrigir. Se o segundo automobilista quiser parar e fazer marcha-atrás, terá primeiro de travar. Mas mesmo que trave o automóvel, este continuará durante algum tempo no sentido positivo, ou seja, em frente (dívida a crescer, mas a crescer num ritmo mais baixo; automóvel a avançar, mas a avançar mais devagar). Só quando o automóvel estiver imobilizado, ou seja, a variação do avanço for zero (variação do avanço é a velocidade), é que o automóvel pode retornar e começar a fazer marcha-atrás.

Nesta contabilidade não se tem em conta ainda a variação do PIB, mas apenas o valor absoluto da dívida. Também não se contabilizam contabilidades paralelas (PPP, dívidas de empresas públicas), nem que mecanismos foram usados para baixar a dívida (por exemplo privatizações), fazemos apenas uma análise à dívida vista pelos valores que o PORDATA e o INE nos facultam. Resumindo, no caso do nosso automóvel, a distância percorrida pelo automóvel representa o valor absoluto da dívida; a velocidade do automóvel representa a variação da dívida; e a aceleração representa a variação de segunda ordem da dívida.

Trajeto percorrido pela dívida pública desde 1992.

Velocidade de crescimento da dívida pública.
A austeridade baixou a velocidade de crescimento da dívida.

Aceleração de crescimento da dívida pública.
A austeridade travou a dívida ao impor-lhe uma tendência dinâmica de redução.

Caso o caro leitor tenha percebido a forma como funcionam estes sistemas dinâmicos (de segunda ordem), compreende de forma cristalina pelos gráficos acima que a austeridade impôs um forte travão na dívida pública. No primeiro ano do governo Sócrates, houve um aceleração da dívida, fenómeno que foi travado no segundo e terceiro anos, mas que foi novamente acelerado em ano eleitoral. Com a crise das dívidas soberanas em meados de 2008, a aceleração da dívida toma valores muito elevados em 2009, valores que se mantêm em 2010. Todavia conclui-se facilmente pelo gráfico que desde a entrada do governo seguinte que impôs políticas de austeridade, que a "velocidade" da dívida tem vindo sempre a diminuir, e que a "aceleração" da dívida é mesmo negativa. A partir de 2015 a velocidade da dívida é mesmo negativa e a dívida começa a descer a sua trajetória, ou seja, começa a diminuir.

Usando o nosso paralelismo pode-se dizer de forma categórica e inequívoca que as políticas de austeridade colocaram um forte "travão" no comportamento da dívida pública. Ignorar tal facto é ignorar as ciências matemáticas.

A Física e a Matemática da distância de travagem

A grande maioria dos automobilistas não tem a mínima noção do impacto que a velocidade tem na segurança rodoviária, essencialmente em meios urbanos, mais precisamente para os utilizadores vulneráveis como peões e ciclistas.

Farei essa demonstração física e matematicamente.


No ponto A o condutor do veículo que se deslocava a uma velocidade v e de massa m, apercebe-se que tem um obstáculo na sua frente, que o obrigará a efetuar uma travagem de emergência, ou a fundo. Todavia a reação não é instantânea, e apenas quando o veículo toca o ponto B, o condutor começa realmente a travar a fundo, havendo por conseguinte uma Força de atrito dinâmico Fa contrária à velocidade. O veículo só parará no ponto C, estando o peão/pedestre no ponto P.

Pela leis da mecânica clássica, sabemos que a velocidade é dada por


que significa que v será a distância entre os pontos A e B dividida sobre o tempo que decorreu entre esses mesmos dois pontos. Se considerarmos que o condutor do veículo tem um tempo de reação entre os pontos A e B de tr  segundos, podemos reescrever


Pelas leis da mecânica clássica também sabemos que a Energia Cinética Ec do veículo no ponto B é


Ao ao longo do trajeto em que o veículo abranda, é exercida uma Força de atrito dinâmico Fa, pois existe uma força de fricção, que é contrária à velocidade do veículo. As forças de atrito dinâmico são praticamente independentes da velocidade. Adotamos por questões de simplificação, o caso em que as rodas literalmente bloqueiam. Na realidade, as rodas não bloqueiam totalmente através de sistemas de travagem como o ABS, mas ignoraremos para já tais sistemas por razões de simplificação.

A Força de atrito dinâmico Fa depende do coeficiente de atrito dinâmico µ dependendo também da força normal à superfície, ou seja, do peso do veículo, que neste caso é mg. Então


Do ponto B até ao ponto C, o trabalho Wa realizado pela Força de atrito dinâmico Fa será


Esse trabalho terá de anular a Energia Cinética Ec que o veículo possuía no ponto B. Logo obtemos a seguinte equação

concluindo que a distância de travagem total D será


Significa que a Distância de travagem total D tem uma componente que é linear com a velocidade e outra que depende de forma quadrática da velocidade.

Resumindo, a distância de travagem total de um veículo em função da velocidade é dada por


onde tr é o tempo de reação do condutor, µ é o coeficiente de atrito dinâmico entre os pneus e o pavimento e g é a aceleração da força da gravidade.

Esta distância depende linearmente com a velocidade e com o tempo de reação do condutor, e quadraticamente com a velocidade. Pouco importa a marca ou o peso do veículo. Matematicamente é claro que os fatores que unicamente são importantes são a velocidade; o tempo de reação do condutor, que por exemplo aumenta bastante com o sono ou com o álcool; e o coeficiente de atrito dinâmico µ que é fortemente afetado pela qualidade dos pneus, a meteorologia e a qualidade do pavimento.

Imagem da prof. Raquel Ribeiro



Interessa agora tentar aferir qual é o valor do coeficiente de atrito dinâmico µ. Para tal iremos combinar a fórmula acima com alguns testes empíricos sobre distâncias de travagem, considerando que os testes realizados não têm em conta o tempo de reação do condutor. Usaram-se as seguintes experiências obtidas de uma revista da especialidade.


Tem-se como referência o veículo Porsche Carrera, um dos que apresenta melhor desempenho do mercado, no domínio da distância de travagem. Considera-se ainda que a aceleração da gravidade é g=10 ms-2 e que o tempo de reação do condutor nesta experiência é zero, pois as medidas foram efetuadas a partir do momento em que o veículo começa a travar. É necessário ainda aplicar um fator divisor para converter km/h para m/s  (1 m/s=3.6 km/h), unidade SI para medir velocidades.

Assim, a fórmula fica

onde vk  é a velocidade em km/h e D é a distância de travagem. Aplicando os valores obtidos para o teste efetuado com o Porsche Carrera, mas também para outros veículos mais comuns cujos testes a revista apresentava, obtemos a seguinte tabela.


É aceitável então, por questões de aproximação, adotar doravante um coeficiente de atrito dinâmico igual a µ=0,9. É possível então criar um gráfico da Distância de travagem D, em função da velocidade vk, velocidade apresentada em km/h.


Na seguinte imagem 3D, que compara a distância de travagem D (eixo vertical z), com o tempo de reação tr (eixo x, num intervalo entre meio segundo e 3 segundos) e a velocidade v (eixo y, num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que quer a velocidade, quer o tempo de reação, tomam um papel muito importante na distância de travagem. O coeficiente de atrito dinâmico foi estabelecido em µ=0,9.

Distância de travagem em função da velocidade e tempo de reação
D
=z ; y=v=[0,50]km/h ;  x=tr=[0.5,3] segundos ; µ=0,9

Já todavia no seguinte gráfico 3D que compara a distância de travagem D (eixo vertical z), com o coeficiente de atrito dinâmico µ (num intervalo entre 0.3 e 1) e a velocidade v (num intervalo entre 0 e 50 km/h), pode-se constatar que o estado do pavimento ou a qualidade dos pneus (µ), são fatores extremamente importantes na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades mais elevadas. Repare-se que ao longo do plano v=20km/h a altura D=z pouca varia com a qualidade do pavimento e dos pneus (µ), mas ao longo do plano v=50km/h a qualidade dos pneus e do pavimento (µ) tomam um papel fulcral na distância de travagem (D).

Distância de travagem em função da velocidade e coeficiente de atrito dinâmico
D
=z ; v=[0,50]km/h ;  µ=[0.3,1] ; tr=1s

Conclusão

A distância de travagem varia substancialmente com a velocidade a partir de pequenas velocidades de cerca de 20 km/h. Considerando ainda que a Energia Cinética de um veículo varia com o quadrado da velocidade e é um dos fatores mais importantes para a fatalidade de utilizadores vulneráveis como peões ou ciclistas, o autor aconselha o legislador para que imponha sérios limites em termos de velocidade de veículos, essencialmente em meios com elevada densidade populacional, como zonas urbanas residenciais. É por isso essencial que as autoridades de prevenção rodoviária implementem medidas que melhorem consideravelmente a fiscalização das velocidades praticadas e medidas de acalmia de tráfego, nomeadamente o estabelecimento de zonas 30. A qualidade dos pneus e o do pavimento, tomam também um papel extremamente importante na distância de travagem, mas essencialmente para velocidades acima dos 30 km/h como pode ser constatado no último gráfico, o que enfatiza o facto, de ser deveras importante diminuir os limites de velocidade em meios onde existe elevada concentração de pessoas.