
Aqui o raio do círculo vermelho é menor do que meio lado do quadrado L=4/2=2, e por isso o círculo vermelho está contido no quadrado.
Todavia, qual é o raio do círculo vermelho?
O Teorema de Pitágoras (T.P.) aqui diz-nos que a distância de O ao centro de cada uma das 4 circunferências é

Espaço tridimensional
No caso de dimensão 3D, onde as circunferências passam a esferas teremos 23=8 esferas centradas nos pontos {(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo 4x4x4. É sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em O=(0,0,0) inscrita e portanto tangente às 8 esferas.
No caso de dimensão 3D, onde as circunferências passam a esferas teremos 23=8 esferas centradas nos pontos {(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo 4x4x4. É sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em O=(0,0,0) inscrita e portanto tangente às 8 esferas.

Todavia, qual é o raio da esfera púrpura?
Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., referindo que a esfera púrpura tem raio
, ou seja a esfera púrpura tem um raio menor que L=2.


Aqui ocorre o início do paradoxo. O raio da hiper-esfera negra é igual à meia aresta L do hipercubo, sendo L=4/2=2, e por isso a hiper-esfera negra está contida no cubo mas é tangente também a ele.
Todavia qual é o raio da hiper-esfera negra?
Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., concluindo que a hiper-esfera negra terá um raio igual a:
A partir da nona dimensão em diante, ou seja, para n>9, constata-se todavia que
e por isso a hiper-esfera negra ultrapassará os limites das faces do hipercubo que contém as 2n hiper-esferas e que inscrevem a hiper-esfera negra. Esta extravasação das faces do hipercubo em nD, acabará por envolver e imergir o hipercubo, fazendo-o quase desaparecer dentro da hiper-esfera negra.
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A partir de n=9 em diante, o raio da hiper-esfera interior, extravasa a face do hipercubo |
Todavia, interessantemente, como cada um dos 2n vértices do hipercubo está à distância da origem O, de
os vértices do hipercubo estarão sempre mais longe da Origem do que os centros das hiper-esferas estão à origem. Por isso, ao acrescentarmos dimensões, a hiper-esfera negra continuará se expandindo contra os vértices nunca extravasando nenhum, porque cada hiper-esfera emparelha com cada um dos vértices do hipercubo.
A hiper-esfera negra extravasa as faces do hipercubo por entre os interstícios das hiper-esferas.
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