Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier,constante de Néper, número neperiano, constante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
![k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)](https://upload.wikimedia.org/math/d/f/d/dfda7a503810bd6396e4f6a5c1edc80d.png)
para r = k = 1, ou seja:
![e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n](https://upload.wikimedia.org/math/1/5/f/15f5460b0d41750d9f3f23f47e0ba5fd.png)
ou ainda, substituindo-se
n por
![\frac{1}{h}](https://upload.wikimedia.org/math/b/9/b/b9b6d1ae87452bd58dcf65f880759724.png)
![e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}](https://upload.wikimedia.org/math/3/a/9/3a96e9e48180f6f5fbceb36fb787f550.png)
,cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.
Caracterizações menos triviais do número de Euler
Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:
![\lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e](https://upload.wikimedia.org/math/5/f/6/5f6fe0f557336343ba6926014ea202da.png)
O número e pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para ex quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:
![e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
+ {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
+ {1 \over 4!} + \cdots](https://upload.wikimedia.org/math/5/d/7/5d787122d4e0a1a698aa112593b45778.png)
Aqui n! representa o factorial de n.
A função ex (função exponencial de base e) pode ser representada da seguinte forma:
, exp(x) = ex
assim, por exemplo, tem-se :
ou ainda![\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}](https://upload.wikimedia.org/math/4/2/e/42e7de1da0273774c977d2ad15e1e429.png)
Outra maneira de se encontrar o valor de e é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:
![e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}](https://upload.wikimedia.org/math/c/f/6/cf62b55a12cd23705b395b39092f889c.png)
Ou, de forma mais simplificada:
![e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,](https://upload.wikimedia.org/math/b/f/c/bfc5c0fc52a8ea49c5e4ee8defd1669b.png)
que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:
![e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,](https://upload.wikimedia.org/math/9/7/8/97826412eb1f18fbf233a3227e73cd9c.png)
Muitas outras séries, sequências, frações contínuas e produtos infinitos que representam e já foram desenvolvidas.
O Número de Euler no Cálculo
A função exponencial y = ex tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
![\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}](https://upload.wikimedia.org/math/d/e/5/de5a82a85fc879d504b1b587c5e9756d.png)
Isto significa que
e tem a notável propriedade de que a taxa de variação de
ex no ponto x = t vale
et. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções
y = kex,
![(\forall k\in\mathbb{R})](https://upload.wikimedia.org/math/6/6/d/66dcdfc08a790f536ea674ca058dcb87.png)
também são suas próprias derivadas.
Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir e como sendo o único número maior que zero tal que:
![\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}](https://upload.wikimedia.org/math/0/7/1/071d297348b7fce5bbf3fac39eed44c6.png)
Mais Sobre o número de Euler
O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.
Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.
Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:
![e^{i\pi}+1=0 \,](https://upload.wikimedia.org/math/c/6/6/c669a6c5e0faf3a8ba0befed0f517ae5.png)
Obtém-se tal relação por meio da fórmula:
![e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!](https://upload.wikimedia.org/math/d/3/2/d3224d09eeca40d235c7a2fae28ea459.png)
que, por sua vez, advém da série de Taylor para f(ix) = eix.
Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial.
Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.
Nas séries infinitas
Dentre as várias séries infinitas que resultam em e, têm-se, além da trivial:
![e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}](https://upload.wikimedia.org/math/a/e/e/aee6e89e7dadfca2d0f4ab8ef07da7e2.png)
![e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}](https://upload.wikimedia.org/math/3/4/7/347be98b47bdc3e043fe243d36c189c9.png)
![e = \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}](https://upload.wikimedia.org/math/3/2/f/32fb9490c8944f5e0988367744eaf1a2.png)
![e = 2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}](https://upload.wikimedia.org/math/8/a/a/8aaacb6f852aed7ec3aa5d400d27fc90.png)
![e = \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}](https://upload.wikimedia.org/math/1/e/1/1e1320cb377fac6275c81f51e8ee1481.png)
![e = \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}](https://upload.wikimedia.org/math/9/d/b/9db7816c6c849245bc6fe94a743ea422.png)
![e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}](https://upload.wikimedia.org/math/9/f/a/9fa2c89fa9c3cee29b0a661bd9cb9e93.png)
![e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}](https://upload.wikimedia.org/math/d/5/5/d55d97b77afef6597ba3d24f1a7dfe9e.png)
![e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}](https://upload.wikimedia.org/math/5/a/6/5a67e426d3a2ed2980b524b5257a6aa4.png)
![e = \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}](https://upload.wikimedia.org/math/e/1/b/e1b2341deef12ff5acee62abe4923a83.png)
Nos limites e produtos infinitos
Os produtos infinitos
![e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots](https://upload.wikimedia.org/math/0/0/1/00142a283d764d18681a7cc755f93b80.png)
e
-
![e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3}
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4} \cdots ,](https://upload.wikimedia.org/math/b/3/3/b33dcc95c7dcd5c4508b0ff250a8f09d.png)
, em que o n-ésimo factor corresponde à raiz do produto
![\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},](https://upload.wikimedia.org/math/9/c/1/9c189474ca67d3284c5b13d3655704dd.png)
resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:
![e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}](https://upload.wikimedia.org/math/c/5/f/c5f3e627e0d3dcc87784e5242cbd2aef.png)
![e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}](https://upload.wikimedia.org/math/1/e/c/1ece0ee65e250a7a3ec0a38140ef258c.png)
- O Número de Euler com os primeiros 510 dígitos decimais
-
![\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382](https://upload.wikimedia.org/math/4/1/9/419321fbfde78ea9bde4a18cacf7a53b.png)
![\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629](https://upload.wikimedia.org/math/2/0/1/201643037ecfc10d3212095fed33d47a.png)
![\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763](https://upload.wikimedia.org/math/2/3/4/2341c00b615df6132e221f898068f8f1.png)
![\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089](https://upload.wikimedia.org/math/8/4/7/847251837b5e9a45ba8490f1c4cff186.png)
![\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411](https://upload.wikimedia.org/math/8/3/a/83af6e49b7193af8335d5bd8275da95d.png)
![\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838](https://upload.wikimedia.org/math/2/1/0/210c404a2e65fd60f686629a502e6d1b.png)
![\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113](https://upload.wikimedia.org/math/4/b/d/4bd42424db5c07013c322d3411672563.png)
![\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692](https://upload.wikimedia.org/math/4/9/d/49dffa1937463c2a2928e3da7c3234f0.png)
![\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953](https://upload.wikimedia.org/math/a/e/f/aef0ede3c0fdfface104fd7118d80bb3.png)
![\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230](https://upload.wikimedia.org/math/5/b/7/5b7cc65f4075a5805c9a343e55e2fb95.png)
![\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots](https://upload.wikimedia.org/math/a/b/0/ab02b47da46ce16c77248382a843cb51.png)