Considerações matemáticas sobre o PI

Na matemática, \scriptstyle{\pi} é uma proporção numérica originada da relação entre as grandezas do perímetro de uma circunferência e seu diâmetro; por outras palavras, se uma circunferência tem perímetro \scriptstyle p e diâmetro \scriptstyle d, então aquele número é igual a \scriptstyle p/d. É representado pela letra grega π. A letra grega π (lê-se: pi), foi adoptada para o número a partir da palavra grega para perímetro, "περίμετρος", provavelmente por William Jones em 1706, e popularizada por Leonhard Euler alguns anos mais tarde. Outros nomes para esta constante são constante circularconstante de Arquimedes ou número de Ludolph.

Notação

Os primeiros a utilizarem a letra grega \scriptstyle{\pi} foram os matemáticos ingleses, mas para designar a circunferência de um círculo. O primeiro a utilizar definição atual foi William Jones. Entretanto foi só após Leonhard Euler utilizá-la que houve aceitação da notação pela comunidade científica.

Valor de π

O valor de π pertence aos números irracionais. Para a maioria dos cálculos simples é comum aproximar π por 3,14. Uma boa parte das calculadoras científicas de 8 dígitos aproxima π por 3,1415927. Para cálculos mais precisos pode-se utilizar \pi \cong 3,1415926535897932384626433832795028841971693993751058 com 52 casas decimais. Para cálculos ainda mais precisos pode-se obter aproximações de π através de algoritmos computacionais.


Aproximações para π

Desde a Antiguidade, foram encontradas várias aproximações de π para o cálculo da área do círculo. Entre os egípcios, por exemplo no papiro de Ahmes, o valor atribuído a π seria \scriptstyle \left ( \frac{4}{3} \right )^3, embora também seja encontrado o valor \scriptstyle 3 \frac{1}{6}. Na Bíblia (1 Reis 7:23) é possível encontrar que os hebreus utilizavam o valor 3 como aproximação de π. Entre os babilónios, era comum o uso do valor 3 para calcular a área do círculo, apesar de o valor \scriptstyle 3 \frac{1}{8} já ser conhecido como aproximação.


Métodos de cálculo

Existem muitas formas de se obter o valor exato de π e alguns métodos aproximados. Consideramos que [[π]] é um número irracional e transcendente, de forma que os métodos de cálculo sempre envolvem aproximações, aproximações sucessivas e/ou séries infinitas de somas, multiplicações e divisões.


Método clássico para o cálculo de π


Método do clássico para o cálculo de π
A primeira tentativa rigorosa de encontrar π deve-se a um dos mais conhecidos matemáticos da Antiguidade, Arquimedes. Pela construção de polígonos inscrito e circunscrito de 96 lados encontrou que pi seria entre um valor entre 223/71 e 22/7, ou seja, estaria aproximadamente entre 3,1408 e 3,1429. Tal método é o chamado método clássico para cálculo de pi.
Ptolomeu, que viveu em Alexandria aproximadamente no século III d.C., calculou pi tomando por base um polígono de 720 lados inscrito numa circunferência de 60 unidades de raio. Seu valor foi aproximadamente 3,1416. Considerando o que sabemos atualmente, sua aproximação foi bem melhor que a de Arquimedes.
A "busca" pelo valor de π chegou até à China, onde Liu Hui, um copiador de livros, conseguiu obter o valor 3,14159 com um polígono de 3.072 lados. Mas só no final do século V que o matemático Tsu Ch'ung-chih chegou a uma aproximação melhor: entre 3,1415926 e 3,1415927.
Nesta mesma época, o matemático hindu Aryabhata deixou registrado em versos num livro a seguinte afirmação: "Some-se 4 a 100, multiplique-se por 8 e some-se 62.000. O resultado é aproximadamente uma circunferência de diâmetro 20.000".
Analisando matematicamente e considerando a equação citada anteriormente de c = \pi \cdot d:

(4 + 100) \cdot 8 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

104 \cdot 8 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

832 + 62000 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

62832 \approx \pi \cdot 20000 \Rightarrow

{62832 \over 20000} \approx \pi
O valor de π, portanto, seria 3,1416. Obviamente, quanto maior o número de casas decimais, melhor a aproximação do valor real de pi. Mas devemos considerar que, na época, isso não era algo fácil de se calcular.
O maior cálculo de casas decimais até o século XV foi 3,1415926535897932 feito pelo matemático árabe al-Kashi. O matemático holandês Ludolph van Ceulen, no final do século XVI, calculou um valor de π com 35 casas decimais, começando com um polígono de 15 lados, dobrando o número de lados 37 vezes, e, logo em seguida, aumentando o número de lados. Por curiosidade, a sua esposa mandou gravar no seu túmulo o valor de π com as supracitadas 35 casas decimais.
Hoje em dia é relativamente mais fácil, com os computadores modernos que calculam até bilhões de casas decimais para π.
Uma aproximação de π que apresenta diferença de aproximadamente 2,7e-7 é a seguinte:

{355 \over 113} \approx \pi

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