Limites de funções

Suponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:
 \lim_{x \to c}f(x) = L
significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite def(x), à medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira mesmo quando f(c) \neq L, ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.
Consideremos  f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}  à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) está definido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:
f(1.9)f(1.99)f(1.999)f(2)f(2.001)f(2.01)f(2.1)
0.41210.40120.4001\Rightarrow 0.4 \Leftarrow0.39980.39880.3882
À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a igualdade \lim_{x\to 2}f(x)=0.4. Sempre que se verifique a igualdade f(c) = \lim_{x\to c} f(x), diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. Vejamos uma função onde tal não acontece
g(x)=\left\{\begin{matrix} \frac{x}{x^2+1}, & \mbox{se }x\ne 2 \\  \\ 0, & \mbox{se }x=2. \end{matrix}\right.
O limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas \lim_{x\to 2}g(x)\neq g(2) e consequentemente g não é contínua em x = 2.
Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.
 f(x) = \frac{x - 1}{\sqrt{x} - 1}
Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, existe e é igual a 2:
f(0.9)f(0.99)f(0.999)f(1.0)f(1.001)f(1.01)f(1.1)
1.951.991.999\Rightarrow não está definido \Leftarrow2.0012.0102.10
Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, pelo que o limite de f(x) é 2.

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