Como calcular a Primitiva de (x.sen(x))² ?

Deparei-me com esta primitiva num exame de Matemática de um amigo meu da Universidade Nova de Lisboa. Com algumas manipulações trigonométricas e aplicando a primitivação por partes duas vezes, é possível chegar ao resultado pretendido.

Antes de mais é necessário separar os dois termos no quadrado e ter em consideração algumas igualdades trigonométricas

Podemos agora começar a primitivar a equação tendo em conta esta igualdade trigonométrica, pois conseguimos eliminar o quadrado do seno. Sendo assim ficamos com



A primitiva de x² é imediata. Para primitivar x²cos(2x) teremos que recorrer à primitivação por partes, ou seja


Quando primitivamos por partes temos de saber qual o termo que derivamos e qual o termo que primitivamos. Na fórmula acima mencionada primitivamos (v') pois ficamos com (v) e derivamos (u) pois ficamos com (u'). Neste caso vamos derivar o termos x² e primitivar o termo cos(2x)



Aplicamos novamente o método da primitivação por partes


Finalizando ficamos com

2 comentários:

  1. eu também já fui à nova.

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  2. Melhor comentário de sempre. A sua mãe deve estar orgulhosa.

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