Cálculo da exponencial de uma matriz

Em matemática, a exponencial de uma matriz é uma função matricial definida no conjunto das matrizes quadradas e possui propriedades semelhantes função exponencial definida nos números reais (ou complexos). Mais abstratamente falando a exponencial matricial estabelece uma conexão entre a álgebra de Liedas matrizes e o seu correspondente grupo de Lie.

Seja A\, uma matriz real ou complexa n\times n\,, define-se e^A=\exp(A)\, pela seguinte série de potências:
e^A:=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!}\,, onde I\, é a matriz identidade
A convergência desta série é garantida pelo teste M de Weierstrass.


Propriedades

Sejam A\, e B\, matrizes quadradas n\times n\, e a\, e b\, números reais ou complexos arbitrários. Denotamos por I\, a matriz identidade n\times n\, e por O\, a matriz nula de mesmas dimensões. A^*\, indica a matriz transposta conjugada de A\, e A^T\, denota a matriz transposta de A\,. São válidas as seguintes propriedades:
  • e^0=I\,
  • e^{aA}e^{bA}=e^{(a+b)A}\,
  • e^Ae^{-A}=I\,
  • Se AB=BA\, então e^{A}e^{B}=e^{A+B}\,
  • Se B\, é uma matriz invertível então E^{BAB^{-1}}=Be^{A}B^{-1}\,
  • \det(e^A)=e^{\hbox{tr}(A)}\,, onde \det(e^A)\, é o determinante de e^A\, e \hbox{tr}A\, é o traço de A\,
  • e^{(A^T)}={(e^{A})}^T\,. Disto segue que se A\, é uma matriz simétrica e^A\, também o é. Se A\, é uma matriz anti-simétrica é uma matriz ortogonal.
  • e^{(A^*)}={(e^{A})}^*\,. Disto segue que se A\, é uma matriz hermitiana e^A\, também o é. Se A\, é uma matriz anti-hermitiana é uma matriz unitária.


Exemplo no cálculo da exponencial de uma matriz

Imaginemos que queremos calcular eA sabendo que
A=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix}
Calculemos A2,A3...An
A^{2}=\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix}
2 & 1 \\
0 & 0 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 2 \\
0 & 0 \end{bmatrix}, 
A^{3}=A^{2}A=\begin{bmatrix}
8 & 4 \\
0 & 0 \end{bmatrix}
A^{n}=\begin{bmatrix}
2^{n} & 2^{n-1} \\
0 & 0 \end{bmatrix}, n\neq0
Sabemos então que
e^A=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{A^n}{n!}
e^A=I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{A^n}{n!} = I+\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n!}\begin{bmatrix}
2^{n} & 2^{n-1} \\
0 & 0 \end{bmatrix}=
= I+\begin{bmatrix}
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n-1}}{n!} \\
0 & 0 \end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
\sum_{n=0}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} & \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2^{n}}{n!} \\
0 & 1 \end{bmatrix}
e^A=\begin{bmatrix}
e^2 & \frac{1}{2}(e^2-1) \\
0 & 1 \end{bmatrix}

Este resultado pode ser conferido no Wolfram aqui.

Qualquer dúvida esclareça no fórum.

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