Como distinguir Arranjos completos, Arranjos simples e Combinações?

Muitos alunos ficam perplexos e atónitos quando se deparam com a matéria em que é necessário distinguir estes três casos. Quando aplicar os Arranjos completos, os arranjos simples ou as combinações?

Para responder a esta questão elaborarei três casos paradigmáticos:
  • O código do Multibanco
  • O almoço das quatro amigas
  • O euromilhões

 - O código do multibanco 
 - Arranjos completos

Quantos de nós têm de escolher um código para efectuar operações com o multibanco. Um código é-nos dado, mas podemos alterá-lo quando quisermos. Mas quantos códigos podemos escolher?


Temos quatro dígitos, onde em cada dígito podemos escolher de entre dez números, do zero ao nove; o zero também conta pois também podemos escolhê-lo. Podemos repetir os algarismos o número de vezes que quisermos, pois os códigos 1111 e 5544 são válidos, em que no primeiro caso temos o 1 repetido e no segundo caso repetimos o 5 e o 4. E a ordem conta, ou seja, o código 1234 é diferente do 4321.

Então quando há repetição e a ordem conta estamos perante Arranjos Completos

No caso do multibanco temos arranjos de dez, quatro a quatro. A fórmula geral é dada no seguimento



Podemos escolher então de entre dez mil códigos multibanco possíveis. Em qualquer palavra-passe onde se possam repetir os caracteres e onde a ordem pelos quais os caracteres estão ordenados seja preponderante, pode-se aplicar os arranjos completos.


 - O almoço das quatro amigas 
 - Arranjos simples

A Rita, a Patrícia, a Joana e a Andreia decidem ir almoçar.



A mesa é quadrada e tem quatro lugares distintos. De quantas maneiras diferentes se podem sentar as quatro amigas? Podemos sentar a Rita em quatro lugares distintos, mas assim que escolhermos um lugar para a Rita esse lugar ficará dado e ocupado.


E bem sabemos como são as mulheres no que concerne ao lugar onde se irão sentar, como tal a ordem pela qual vão ficar sentadas conta. A Andreia sentar-se no lugar em frente à janela é diferente de sentar-se no lugar ao lado da casa-de-banho. E lembremo-nos que Rita, só há uma. A Rita não se repete, logo neste caso não existe repetição.

Resumindo, temos quatro amigas para quatro cadeiras, onde a ordem conta e não há repetição. A ordem conta porque sentá-las em locais diferentes, resulta em casos diferentes, e não há repetição, pois Patrícia no almoço, só há uma.

Temos então Arranjos simples de quatro elementos quatro a quatro


Temos então vinte e quatro maneiras diferente de sentar quatro amigas num almoço de confraternização. Lembremo-nos que 0! = 1

Nos Arranjos simples a ordem conta e não há repetição.

Resumindo, no caso paradigmático das quatro amigas, estamos perante Arranjos simples.


 - O euromilhões 
 - Combinações

Foquemo-nos somente nas estrelas do Euromilhões. Podemos escolher duas estrelas de entre nove números tal como refere a imagem.



De quantas maneiras diferentes podemos escolher duas estrelas de entre nove números no euromilhões? A partir do momento em que escolhemos a estrela número dois, já não podemos voltar a escolhê-la, logo não existe repetição. E escolher em primeiro lugar a estrela número dois e depois escolher a estrela número nove, ou vice-versa, é completamente indiferente, logo a ordem não conta.

Quando a ordem não conta e não existe repetição estamos perante Combinações que tem como caso paradigmático o Euromilhões. Neste caso teríamos combinações de nove elementos dois a dois.


Existem então trinta e seis maneiras diferentes de preencher as estrelas no Euromilhões. Quando não há repetição e a ordem não conta, estamos perante Combinações.

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Resumindo

Arranjos Completos (A') - Há repetição, a Ordem conta

Arranjos Simples (A) - Não há repetição, a Ordem conta

Combinações (C) - Não há repetição, a Ordem não conta

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Todos os outros casos mais complexos que possamos ter, são uniões de vários casos destes acima referidos, ou uniões de casos diferentes. É preciso saber qual das situações aplicar, se Arranjos Completos, Arranjos simples ou Combinações, tendo em conta se há ou não repetição ou se a ordem conta ou não. Para cada um destes casos temos um caso paradigmático do quotidiano de cada um que pode ser aplicado.

32 comentários:

  1. Muito bom!!!! Obrigada, pela ajuda

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  2. Muito bom, de facto. Fiquei mais esclarecido!

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  3. Congratulo-me que tenha apreciado o texto!
    Qualquer dúvida não hesite em deixar um comentário.

    Obrigado

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  4. Achei muito bom, contudo acho que algum tipo de explicação para perceber melhor a formula dos arranjos simples.

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  5. Obrigado pelo seu comentário...

    Eu no entanto tentei ser sucinto na forma de explicar os vários casos, para não se tornar maçudo. Basta aplicar a fórmula que está presente: n!/(n-p)!

    Cumprimentos

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  6. Parabéns foi a melhor explicação que consegui encontrar sobre este assunto. Mas eu vi que tinha arranjos simples (formula ok),arranjo com repetição e arranjo condicional esses dois últimos uso a fórmula do arranjo completo?
    Para as combinações simples e com repetições vale essa mesma fórmula para solução do problema?
    Gostaria de esclarecer isso.
    E permutação tem uma explicação para me passar?
    Obrigada pela força.

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  7. Obrigado pelas congratulações!!

    Permutação simples é tão somente aplicar o fatorial ou seja P(5)=5!

    A fórmula para o arranjo condicional é outra que não enquadrei nesta explicação, mas que está relacionada também com o cálculo combinatório!

    Cumprimentos matemáticos

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  8. Pode colocar a explicação dos outros arranjos, e da permutação pois essa matéria eu não sei mesmo. obrigado.

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  9. Caro amigo

    Essa matéria terá que ficar para outra altura pois o tempo não dá para tudo...

    Aceite os meus melhores cumprimentos

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  10. Muito obrigabo pelas dicas!!! Mas ja agora gostava que me ajudasses a perceber como distinguir permutacao, arranjo ou combinacao num exercicio para a sua resolucao.

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  11. Caro...
    Isso são as mesmas coisas que acabei de explicar, os termos pelos quais são denominados é que são diferentes.
    Permutação - arranjos simples
    Arranjos - arranjos completos
    combinações - combinações

    Em relação ás dúvidas em exercícios pode sempre colocar no fórum que respondemos sempre

    Cumprimentos

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  12. Tantas vezes me prejudiquei por não saber distinguir nos problemas se deveria usar arranjos ou combinações por não saber bem identificar se a ordem contava ou não....finalmente com a vossa ajuda percebi... excelente explicação. Muito obrigada.

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  13. Fico contente por saber que apreciou o conteúdo informativo matemático que foi disponibilizado.

    Cumprimentos e volte sempre

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  14. Era mesmo desta explicação que tava a precisar e que queria encontrar...
    Muitos parabéns...está muito bemc onseguida a explicação...muitos parabénsmesmo...

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  15. Olá bom dia,

    Gostaria de saber qual o enquadramento do jogo Totobola, ou seja, trata-se de uma combinação, de um arranjo simples ou de um arranjo completo ou, ainda, de nenhuma delas.

    Obrigado pela atenção

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  16. Meu caro, no caso mais simples, onde só se faz uma aposta, ou seja uma cruz por cada jogo, ou seja fazer 1,X ou 2 por cada jogo, trata-se de arranjos completos.

    Ou seja, a ordem conta (ser 1,X,2 é diferente de 2,X,1) e há repetição, pois pode-se colocar por exemplo 1 em todos os jogos.

    Mais concretamente, o número de casos será 3^n, onde n é o número de jogos/partidas.

    Melhores cumprimentos

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  17. No seu comentário de 30 de Maio afirmou que Permutação e Arranjo Simples são a mesma coisa. No seu comentário de 27 de Janeiro afirmou que a formula para Permutação simples é P(n)=n!. Tendo em conta que a formula que apresentou no seu texto base para Arranjo Simples é nAp=n!/(n-p)! posso deduzir que Permutação e Permutação Simples são coisas diferentes? Se sim o que é uma permutação simples? Obrigado

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  18. Caro, há muitos termos da bibliografia, brasileira e portuguesa, mas foram estes que explanei neste artigo, os que aprendi. Deduzi que permutações e arranjos simples fossem a mesma coisa pois baseei-me no artigo da wikipédia sobre permutações. Por isso parece-me evidente que permutações e arranjos simples seja a mesma coisa. Em relação a permutações simples, neste caso seria algo diferente, ou seja P(n)=n!, mas se assim fosse permutações simples seria também apenas a função factorial. Retirei tal conceito de um site e matemática brasileiro.
    É tudo o que posso adiantar sobre todos esses conceitos.

    Os conceitos que considero oficiais, são os que explano neste artigo.

    Cumprimentos

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  19. Muito obrigado pela explicação brilhante

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  20. muito bom. simples e conciso

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  21. Acredito que vocês compreendem a importância do vosso trabalho.
    Se conhecerem o Khanacademy e toda a revolução que implicou o seu trabalho, revolução que ainda estamos por tirar todas as consequências; da minha parte ter conhecido o "Sal" foi uma privilégio.
    Julgo que vocês podem e devem fazer um trabalho extraordinário.
    Não apenas com objectivos económicos, se bem que evidentemente necessários, mas com metas de elevado sentido de Revolução.
    Da minha parte, desejo-vos bom trabalho e sucesso.
    Democratizemos o conhecimento.
    Trata-se da Justiça mais essencial.

    Campos_pessoa@hotmail.com

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  22. Boa tarde, muito bem exemplificado e bem esquematizado.
    Continuem.

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  23. eu desde que fiz 21 anos nao volto a escola e nao entendi nada disso que aqui esta.... visto que pretendo ingressar pra faculdade ano que vem, até to assustada porque exige matemática o meu curso.

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  24. João Pimentel Ferreira para Primeiro Ministro :)

    JL

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  25. Boa noite
    Gostaria que me ajudasse a resolver esses exercicios:

    1-uma caixa contem 24 lampadas electricas das quais 5 são defeitosas ou estragadas.Todas as lampadas têm aparecia igual e igual probabilidade de serem escohidas.Tiram-se 3 lampadas ao caso.
    a) Qual é a probabilidade de todas 3 serem estragadas.
    b)Qual é a probabilidade pelo menos duas serem estragadas
    c) Qual é a probabilidade de haver alguma estragada

    2-Quantas palavras de 3 letras que podem se formar com as letras da palavra estudante?

    3- 4 rapazes e 4 raparigas foram jantar num restaurante onde lhe formam destinada uma circular com oito lugares numerados de 1 a 8.
    a)Ficou decidido que a ementa seria escolhida por uma comissão de 3 dentre eles.Quantas comissões diferentes é possivel formar?
    b) De quantas maneiras diferentes que eles podem sentar de modo que cada rapaz fique com duas raparigas e cada rapariga com dois rapazes?
    c) Supondo que os lugares em que eles vão sentar foram atribuidos por sorteio.Determine a probabilidade dos jovens ficarem disposto do modo referido na linha precedente?

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    1. Olá

      Só tiramos dúvidas no fórum, e gratuitamente.

      www.fórumdematemática.org

      Cumprimentos

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  26. Olá Professor,

    Como uma didática boa nos ajuda, parabéns. A melhor explicação deste conteúdo que encontrei na web. Sucinto e esclarecedor.

    Contudo professor, criei uma dúvida. Pelas questões apresentadas acima, raciocinei em um sentido e gostaria de sua apreciação a saber se esta correta. Eu posso relacionar ao fato de ser ''distinto'' ou ''diferentes maneiras'', a quando estes termos forem referentes ao ''n''>>> a ordem importa e quando referentes a ''p'' >> a ordem não importa?

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