Como calcular a primitiva de sen(sqrt(x)) ?

Tentemos achar a seguinte primitiva:
P sen{\sqrt{x}}
Usaremos o método da primitivação por substituição e da primitivação por partes.
Façamos a seguinte substituição: \sqrt{x}=t
Temos então que:
x=t^2 \ \ \frac{dx}{dt}=2t
Substituindo ficamos então com: P sen{\sqrt{x}} = P sen{(t)}2t
Aplicamos agora a primitivação por partes
u'=sen{t} \ \ u=-cos{t}
v=2t \ \ v'=2

Psen(t)2t = − cos(t)2t − P2( − cos(t)) = − cos(t)2t + 2Pcos(t) =
= − cos(t)2t + 2.sen(t) + C = 2( − t.cos(t) + sen(t)) + C
fazendo agora a substituição inicial t=\sqrt{x} temos o resultado final:

P sen{\sqrt{x}}=2(-\sqrt{x}.cos{\sqrt{x}}+sen{\sqrt{x}}) + C

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