Instrumentalização dos Números - Algoritmo do Bilhete de Identidade / Cartão de Cidadão

Apesar de na cultura popular muitos afirmarem que será o numero de Portugueses que têm o mesmo nome,o número mais a direita no nosso número de B.I. ou C.C. é um algarismo de controlo, entre 0 e 10 (mais tarde veremos que só aprece de 0 a 9), e serve para a detecção de erros na digitação do número de identificação.

E porquê este algarismo de controlo?
Além das tentativas de fraude,quando temos sistematicamente que digitar números constituídos por muitos algarismos, mais cedo ou mais tarde, cometem-se erros.
Erro singular: 11873403 em vez de 11873402
Transposição: 11874302 em vez de 11873402


Concebeu se então um algoritmo que detecte automaticamente estes erros.
Para o perceber bem,vamos rever alguns conceitos teóricos:


Operações Numéricas em ℤ

Definição: Dados dois números Inteiros a e b com a≠0 dizemos que a divide b
se existir um Inteiro k tal que: b = a.k

Neste caso dizemos que o Inteiro a é divisor de b

Note: O zero não é divisor de numero nenhum, pois zero não divide nenhum número.
A unidade (um) é divisor de todos os números.

Conjunto de divisores de um inteiro a:
Tenhamos um número Inteiro a todos os divisores, serão obviamente menores que a.
Temos então um conjunto divisores todos eles de a
Conj. Divisores a = { 1,b1, b2,…, bn, a}
com a = k .bi com k,b i ϵ a ℤ
i de 1, . . , n

Existe uma operação importantíssima para a aplicação dos algoritmos matemáticos e ela é o resto da divisão de um inteiro por outro sendo esta designada por mod.

Resto da divisão de um número Inteiro b por um Inteiro a:
Se tivermos a, b Inteiros tal que a < b então a.k + R = b , com k Inteiro e R o
resto da divisão de b por a,sendo R também ele Inteiro.
Então a este resto é dado por:
R=b mod a .

Exemplo : Resto da divisão de 5 por 2:
1 = 5 mod 2
Pois temos: 5 = 4.2 + 1

Note: a operação mod também resulta para b<a mas não vamos utilizar,devido ao caso em estudo não ser importante.

Para o caso em estudo vamos utilizar apenas parte do conjunto dos inteiros,vamos apenas se concentrar nos Positivos ou seja;o conjunto números Naturais ℕ.Outros números famosos que precisamos também de entender e recordar são o conjunto dos números primos,a rever;

Números Primos e algumas Propriedades

Definição. Um número inteiro p > 1 diz-se um primo se não existir nenhum
divisor d de p satisfazendo 1 < p. Por outras palavras, um número inteiro p > 1
é primo se não tiver outros divisores positivos além de 1 e dele próprio.
Se um número inteiro a > 1 não for primo diz-se composto.

Note: Dizemos então que p é primo se tiver apenas dois divisores positivos.Repare que
o um (1) não conta pois apesar de se dividir apenas por si e por unidade (ele mesmo),

terá apenas um divisor,ou seja ele próprio,daí a definição ser para p >1.

Quantos primos existem ?? Serão Infinitos??

Demonstração: (atribuída a Euclides)
Admitimos que há um número primo maior do que todos os outros.Suponhamos então que p era o maior dos primos. Se formarmos o produto de todos os primos
P = 2 x 3 x 5 x … x p ,vemos que P + 1 teria um divisor primo p’, divisor esse que pertenceria à sucessão
(2, 3, 5, …, p)
de todos os primos, pelo que: 

p’ | (P + 1);
mas, como p’ é também um dos divisores de P,
p’ | P ,
p’ dividiria simultaneamente P e P + 1, logo deveria dividir igualmente 1:
p’ | 1.

Este resultado é contraditório, porque o inteiro 1 não é múltiplo de nenhum outro inteiro maior ou igual a 2. Esta contradição resultou do facto de termos admitido que a sucessão dos números primos era limitada. Fica assim demonstrado que os números primos são infinitos.  \blacksquare
 
Propriedade 1
Seja p1 e p2 dois primos diferentes então p1 não é divisor de p2 nem p2 divisor de p1.
Propriedade 2
Nas mesmas condições de propriedade 1 temos sempre ( p1 mod p2 ) ≠ 0.
Propriedade 3
O máximo divisor comum entre quaisquer dois primos é 1.

Estamos agora em condições de analisarmos e percebermos o algoritmo que está no nosso B.I.\C.C.
Tanto do ponto vista funcional como da ideia de concepção do mesmo.


Algoritmo

Cada algarismo tem um peso.
Da esquerda para a direita, o primeiro é multiplicado por 9,segundo por 8,terceiro por 7,e assim sucessivamente até ao ultimo (mesmo ultimo,no caso BI antigos no quadrado isolado),e soma-se as parcelas todas.Essa soma tem de ser divisível por 11(número primo). Esse ultimo algarismo é chamado algarismo de controlo.

Considere:

9.a9 + 8.a8 + 7.a7+ 6.a6 + 5.a5 + 4.a4 + 3.a3 + 2.a2 = Soma

e o ultimo número a1 será retratado como algarismo de controlo.

Soma + Algarismo de controlo ( mod ) 11 = 0
Os múltiplos de 11(primo):
0, 11, 22, 33, 44, 55, 66, 77, 88, 99, 110, 121, 132, 143, 154, 165, 176, 187, 198…
Logo o resto da divisão destes com 11 é 0.

Os que não são múltiplos de 11:
O resto da divisão por 11 será 1 ou 2 ou 3 ou 4 ou 5 ou 6 ou 7 ou 8 ou 9 ou 10

Então depois de obtermos a Soma dividimos esse valor por 11 e verificamos o resto da divisão.Esse Resto é o algarismo de controlo, é esse o número que aparece em ultimo no seu BI\CC. Ou seja se essa soma for divisível por 11 aparece um 0.Se o resto for um aparece 1.Se Resto for dois aparece 2. E por aí a adiante,até o resto for 10 e aparece...um 0!!!! Erro,aqui está o erro deste algoritmo.Ou seja o sistema não detecta todos os erros singulares.

Exemplos :

Calcular o Algarismo Controlo:
9.1 + 8.1 + 7.8 + 6.7 + 5.3 + 4.4 + 3.0 + 2.2 = Soma
9 + 8 + 56 + 42 + 15 +16 + 0 + 4 = 150
Então o múltiplo de 11 mais perto e maior (algarismo controlo é positivo) de 150 é 154
Logo 150 + 4 (mod) 11 = 0 , pois 154 = 14 .11 + 0
E temos o número controlo igual a 4.
Verifica –se ?
9.1 + 8.1 + 7.8 + 6.7 + 5.3 + 4.4 + 3.0 + 2.2 + 4 = 154 que é divisível por 11

 Caso em que não é Erro com algarismo 0 :
*9.0+ 8.6 + 7.2 + 6.3 + 5.5 + 4.0 + 3.0 + 2.8 = 121
*caso em que o número só tem menos dígitos acrescenta se zero á esquerda.
121 é múltiplo de 11
Logo 150 + 0 (mod) 11 = 0
Sendo 0 o algarismo controlo deste número de B.I.
Verifica-se ?
9.0+ 8.6 + 7.2 + 6.3 + 5.5 + 4.0 + 3.0 + 2.8 + 1.0 = 121 que é divisível por 11

Erro do algoritmo num B.I\C.C. :
*9.0+ 8.6 + 7.2 + 6.3 + 5.5 + 4.0 + 3.0 + 2.3 = 111
*caso em que o número só tem menos dígitos acrescenta se zero á esquerda.
O múltiplo mais perto e maior que de 111 é 121
Logo 111 +1 0 (mod) 11 = 0
Sendo 10 o algarismo controlo
Mas no Bilhete identidade colocam um 0!!!
Erro!!!


Bibliografia:
Apontamentos de Teoria Números
João Filipe Queiró -Professor Catedrático no Departamento Matemática da
Universidade de Coimbra
Álgebra dos Números de Identificação-códigos detectores de erros.
Jorge Picado- Professor no Departamento Matemática da Universidade de Coimbra

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