O cálculo de uma série com Mengoli, comparação e Dirichilet

Convergência

Para estudar a série quanto à convergência poderemos utilizar o critério da comparação. Sabemos que:

O critério da comparação diz que dada uma série 

e uma série

se

então as duas séries têm a mesma natureza (convergência ou divergência)

Sabemos pelo critério de Dirichlet que uma série do género 

converge para α > 1. Então

é convergente. Vamos comparar esta série com a série do enunciado pelo critério de comparação.

Logo, pelo critério da comparação, como 1 é um número finito, a série do enunciado também é convergente.

Soma

Como a série é convergente vamos tentar determinar a soma de:

 

Sabemos que:

  

Vamos então tentar separar os factores em dois termos numa soma

  

As regras da álgebra dizem que nestes casos calcula-se A e B, sendo

 

Então a série pode ser reescrita da seguinte forma

Nestes casos aplicamos o teorema das séries redutíveis ou séries de Mengoli em que sabemos que a soma é

Vamos então achar o termo geral u(n) e o número natural k

Como a série começa em n=2 temos então a seguinte soma

Este resultado pode ser confirmado no sítio da inter-rede para cálculo numérico e simbólico aqui.

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