A Matemática no jogo do Hex


 

            A Matemática está ligada a muitos dos jogos que conhecemos. Por um lado, isso é óbvio nos jogos que inevitavelmente envolvem fenómenos aleatórios e teoria das probabilidades. Mas também sucede, de forma clara, em jogos de tabuleiro directamente ligados a ferramentas lógicas.

            Um exemplo claro e mediático, do ponto de vista da estratégia, é o xadrez. No entanto, jogos mais simples, com um conjunto de regras elementar e possíveis de serem jogados por crianças muito pequenas, podem ter associadas algumas formulações matemáticas bastante complexas. Vejamos o exemplo do Hex.

            Inventado por Piet Hein e John Nash, nos anos 40 do século XX, este jogo decorre num tabuleiro com a forma de um losango e recheado de casas hexagonais. As regras são somente estas:
            - cada jogador coloca, de forma alternada, uma peça no tabuleiro;
            - um jogador tem como objectivo construir um caminho entre duas margens opostas do losango e o outro entre as restantes duas margens;
            - regra do equilíbrio: o segundo a jogar pode, antes de colocar a primeira peça, inverter a contenda, passando a ser ele a ficar com o objectivo e com a peça colocada pelo primeiro jogador no seu lance inaugural.

            Contudo, há vários aspectos referentes a este jogo cujas demonstrações matemáticas não são triviais:
1)      Um exemplo é a prova de que o Hex não tem empates. A primeira parte consiste em, por absurdo, justificar que os dois jogadores não podem vencer simultaneamente. A segunda, bastante mais demorada e recorrendo à teoria de grafos (genericamente, são conjuntos de vértices e arestas), às respectivas noções de ponto isolado, caminho e circuito e aos trabalhos de König, mostra que há efectivamente um vencedor. Mais tarde, foi demonstrado que esta formulação sobre o Hex é equivalente ao Teorema do Ponto Fixo de Brouwer, um resultado importante de Topologia. Por sua vez, há, em alternativa, uma outra prova deste facto que recorre ao Método de Indução. A autoria é do americano David Berman.
2)      Recorrendo a conceitos de Teoria de Jogos, como posições neutras, frágeis e inatacáveis (posições que designam ou não um potencial vencedor do jogo) e à noção de “roubo de estratégia”, é possível demonstrar que, não havendo a regra do equilíbrio, o primeiro jogador tem uma estratégia vencedora. A ideia é basicamente assumir que, se fosse o segundo a ter vantagem, o primeiro colocaria uma peça sua num sítio aleatório do tabuleiro e, a partir daí, assumiria ele a posição de segundo. O que está por caracterizar é, para um dimensão genérica do losango, a própria estratégia vencedora e os passos para a conseguir, um problema com uma complexidade tremenda.

O que se apresentou para o Hex ocorre, de forma específica e muito diversa, para um conjunto muito vasto de jogos. Alguns deles encontram-se representados no Campeonato Nacional de Jogos Matemáticos, competição anual para alunos do Ensino Básico e do Ensino Secundário.

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