Como efetuar cálculo mental

Entendemos por cálculo mental todos os cálculos que são feitos sem orientação de papel e caneta, calculadora ou outras instrumentos físicos. Apesar de este conceito ser ambíguo (pode ver-se Buys, K. (2001) - Children learn Mathematics) no âmbito 'Mental Calculation World Cup' ele não levanta quaisquer dúvidas. 

A cada dois anos é organizado, numa cidade alemã, um campeonato mundial de cálculo mental. O primeiro campeonato aconteceu na cidade alemã Annaberg-Buchholz a 30 de Outubro de 2004 e envolvia quatro modalidades: somas de dez números com dez dígitos cada, produto de dois número com oito dígitos, raízes quadradas de números com seis dígitos e, finalmente, cálculos com calendários determinando o dia da semana a que determinada data corresponde. Tarefas que seriam facilmente executadas por calculadoras ou com um suporte escrito, que claramente são proibidos no torneio. O vencedor final de todo o torneio, que inclui a ponderação de todas as modalidades, foi o britânico Robert Fountain. 

Entretanto as provas existentes foram ficando mais exigentes e foram acrescentadas outros desafios de cálculo mental. Por exemplo, no primeiro torneio os concorrentes tinham de realizar em dez minutos dez somas de dez números com dez algoritmos, já em 2012 apenas lhes era dado sete minutos. Em 2012 foram apresentados dez tipos de desafios completamente diferentes que envolviam tarefas de memorização e ainda o chamado "most versatile calculator", cuja organização descreve como sendo cinco desconhecidas "surprise tasks". No último campeonato o campeão foi Naofumi Ogasawa, que nesse mesmo campeonato bateu o recorde mundial de soma de dez números com dez algarismos cada 191 segundos (pouco mais de três minutos, menos de metade do tempo dado para a prova).
O recorde anterior (222 segundos) era detido por aquele que podemos considerar como a mais famosa calculadora humana, o espanhol Alberto Coto García. Durante o primeiro campeonato mundial de cálculo mental, Alberto Coto estabeleceu o recorde mundial desta mesma prova em 350 segundos, o que demonstra que todos os humanos conseguem desenvolver as suas capacidades de cálculo mental de forma significativa. Os mais interessados podem ver os desafios propostos em 20102012. O campeonato de 2014 ainda não está marcado, mas seguindo a tradição será expectável que seja numa cidade alemã entre Julho e Novembro do próximo ano.

Para conseguir ter bons resultados nestas provas, não basta fazer todas as aplicações móveis de cálculo mental, é preciso aprender e treinar os chamados "numerical shortcuts", os truques de cálculo numérico. Alguns destes truques são explicados pelas calculadoras humanas, outros são simplesmente aquilo a que alguns leigos chamam de "matmagia", que irei exemplificar de seguida.

Multiplicar número por 11, 111 ou por qualquer sequência de uns:
Tomemos um número com dois algarismos na forma [M,N], onde M representa o primeiro algarismo e N o segundo. Então o produto de MN por 11 será dado por [M, M+N, N], caso M+N<10, caso contrário será [M+1, M+N, N].
Por exemplo, 72*11=792 e 86*11=946.
A demonstração é facilmente feita decompondo MN em 10M+N e 11 em 10+1 e aplicando a distributividade do produto face à soma.
Da mesma forma, para o caso do produto de um número da forma [M, N, O] por 111 teríamos [M, M+N, M+N+O, N+O, O] (e quando a soma ultrapassa o limite de 9 teríamos de somar 1 à 'casa' anterior).
Por exemplo, 123*111= 13653 e 346*111=38406.
E assim sucessivamente, para qualquer sequência de uns, desde que tenhamos o mesmo número de algarismos nos dois números que compõem o produto.

Quadrados de números acabados em 5:
Seja um número da forma [M, 5], onde M representa o primeiro algarismo e 5 o segundo. Assim, este número ao quadrado será dado por [M*(M+1), 25], onde neste caso cada 'casa' corresponde a dois algarismos.
Por exemplo, 75*75= 5625 e 15*15=225.
A demonstração é facilmente feita usando o caso notável do quadrado da soma e decompondo qualquer número na soma de 10M+5.

No final das demonstrações dos respectivos truques podemos reflectir sobre uma outra definição para o cálculo mental: Metodologia para realizar cálculos complexos através de cálculos mais elementares, utilizando as propriedades algébricas dos números inteiros.

2 comentários:

  1. Texto excelente.
    Marco, era interessante doravante partilhares mais técnicas de cálculo mental, os chamados "numerical shortcuts".

    Desde criança que me lembro do meu pai referir-me a famosa divisão por 5. Basta dividir por 10 e achar o dobro. :)

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  2. produto de dois número com oito dígitos de cabeça?! Raízes quadradas de números com seis dígitos de cabeça?! Brutal!!!!
    como é que isso se faz em poucos segundos?

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