A Física-Matemática no Consumo vs. Velocidade de um automóvel

Consumo versus velocidade para vários modelos de automóvel
Fonte: energy-ecology

Muitos testes automóveis, assim como os indicadores dos veículos, concluem que a velocidade onde o consumo é menor, é no intervalo entre cerca de 50 km/h e 80 km/h. Mas porquê? Faremos as respetivas deduções físico-matemáticas.

Leis de Newton

Num carro em movimento atuam essencialmente duas forças, a Força Motriz (Fm) do motor e a Força de atrito (Fa). Esta força de atrito tem essencialmente duas componentes, que é a força de atrito mecânico-dinâmica, que se encontra nos rolamentos e nas peças circulantes do carro, e que pelas leis da Física depende linearmente da velocidade; e a força de atrito aerodinâmica entre o carro e a atmosfera envolvente, que pelas mesmas leis da Física depende do quadrado da velocidade.

Essa força de atrito (Fa) poderá ser escrita então como:


A força (F) resultante no automóvel será então a força motriz menos a força de atrito:


Sabe-se pelas leis de Newton que:


logo, ficamos com a seguinte equação diferencial:


Consumo de combustível

O consumo de combustível do motor por unidade de tempo (r) num motor de combustão, para um funcionamento num ponto específico, é proporcional à Potência Motriz (Pm) do motor, mais uma constante (k) que serve para manter apenas o motor a trabalhar, como por exemplo, quando este está no ralenti, ou seja:

onde r é o consumo em litros por segundo (l/s). Sabemos todavia que a Potência é a variação de Energia sobre o tempo, e que a Energia ou o Trabalho, é a força vezes o deslocamento, então:


logo


reparemos que r é medido em litros por segundo que v é medido em metros por segundo, logo


concluindo-se que o consumo do veículo (c), em unidade de volume de combustível (litros), por unidade de espaço (metros), é dada pela seguinte expressão


Podemos agora colocar a equação acima em ordem à Força Motriz, ficando:



logo, juntando as fórmulas da equação diferencial lá de cima com esta última, temos:


para velocidades constantes v'=0, logo



Teste matemático

Faremos o teste matemáticos mais simples, assumindo


ou seja, desconsiderando por completo fatores de escala. O gráfico é o seguinte, o que se assemelha com os testes práticos do primeiro gráfico.


Compensa ir de Portugal até Espanha para atestar o depósito?

Com o aumento dos combustíveis em Portugal devido ao aumento da fiscalidade sobre os produtos petrolíferos, coloca-se a questão pertinente de saber até que ponto compensará ir até Espanha para atestar o depósito do veículo. A fórmula geral para a poupança é a seguinte:


É intuitivo apercebermo-nos que quanto mais longe o condutor do veículo estará da fronteira, menos compensará a referida viagem. Assim, a primeira parte da parcela Tqx(Pcp-PcE) faz referência ao ganho pelo facto de haver um diferencial entre os preços dos dois lados da fronteira e a segunda parcela com sinal negativo faz referência ao custo da operação de ir até à fronteira atestar o depósito e posteriormente regressar até ao local de partida.

Ou seja, é necessário fazer a viagem de ida-e-volta, e multiplicá-la pelo consumo do veículo, dividindo posteriormente por 100 para sabermos quantos litros de combustível são necessários para fazer a referida viagem de ida-e-volta até ao posto de abastecimento espanhol. Posteriormente será necessário multiplicar o referido valor pelo preço do combustível em Espanha, pois parte-se do pressuposto que o condutor já partiria de Portugal com o veículo fazendo uso de combustível espanhol. Parte-se ainda do princípio que o veículo chega com o tanque vazio ao posto espanhol e que os custos por km percorrido se resumem ao combustível.

Apresenta-se de seguida o gráfico que relaciona a poupança com a distância até à fronteira para algumas condições comuns do grande público e dos preços correntes dos combustíveis à data de março de 2016.


Entender os escalões do IRS e do IRPF

Todos temos bem presente, infelizmente, que em Portugal e no Brasil, a Matemática desde Pedro Nunes, nunca mais recebeu o esplendor de outros áureos tempos. Tal patente iliteracia numérica de uma larga maioria da população, aliada à disseminação da democracia popular e por vezes circense, tem como consequência a pobreza, a corrupção, os baixos salários e uma economia pouco pujante. Mas se é um facto que o povo é por norma matematicamente iletrado, mais grave ainda, é atestar, que alguma classe política supostamente douta e academicamente letrada, envereda por sofismas matemáticos e ideológicos, apenas para obter dividendos políticos.

Um dos grandes sofismas do debate político, é de natureza fiscal, e dá pelo nome de escalões do IRS, ou escalões do IRPF (Imposto de Renda de Pessoa Física, no Brasil). Analise-mo-lo!

Três teoremas

Começarei por estabelecer três pequenos teoremas, os quais demonstrarei posteriormente.
  1. O IRS é sempre progressivo independentemente do número de escalões.
  2. O IRS é sempre progressivo em percentagem para um número de escalões superior a dois.
  3. Um maior número de escalões não implica maior progressividade fiscal.
Teorema número 1

Podemos afirmar, que caso houvesse apenas um escalão de IRS, ou seja, uma percentagem fixa que cada um pagava de imposto dos seus rendimentos, que mesmo nesse caso, poderíamos dizer que o imposto era progressivo à luz da norma constitucional, mais precisamente o n.º 1 do artigo 104.º da Constituição da República Portuguesa que refere que "o imposto sobre o rendimento pessoal visa a diminuição das desigualdades e será único e progressivo, tendo em conta as necessidades e os rendimentos do agregado familiar". Caso o IRS fosse então, por exemplo 10% para todos os contribuintes, ou seja uma taxa fixa para qualquer rendimento, já era, de facto, progressivo, pois alguém que ganhasse 1000€ por mês pagaria 100€ e alguém que ganhasse 10000€ pagaria 1000€. Neste caso mais simples, estamos perante uma operação linear, ou seja, uma reta diagonal que passa pela origem, num gráfico onde o eixo horizontal poderia ser o rendimento coletável, e o eixo vertical o valor que era de facto pago pelo contribuinte.

Valor de imposto realmente pago para taxa fixa de 10%.
O pagamento real já é progressivo em função dos rendimentos.

Demonstrámos assim que para um número de escalões igual a 1, ou seja, uma taxa fixa, o IRS já seria progressivo. Este princípio fiscal remonta à época bíblica, com a instituição do denominado dízimo, onde cada membro deveria pagar 10% dos seus rendimentos, tendo-se assim já em conta a capacidade contributiva do contribuinte. Alguns países, como a Rússia, aplicam este modelo fiscal, ou seja, aplicam apenas uma taxa fixa para todos os rendimentos, sendo como explanámos, a taxação já enquanto tal, progressiva.

Teorema número 2

Consideremos mesmo assim a progressividade, não do ponto de vista nominal, ou seja, aquilo que cada contribuinte realmente paga, mas do ponto de vista percentual, ou seja, a percentagem real do seu rendimento, que o contribuinte realmente paga de imposto. E demonstra-se que com dois escalões, o IRS, mesmo percentualmente, já é progressivo. Caso demonstremos que para dois escalões o IRS é progressivo, deduz-se facilmente por inferência, que o IRS também é progressivo, para qualquer número de escalões maior que dois.

Imaginemos então que existem dois escalões de IRS, um de 10% até 1000€ por mês (uso o período mensal por questões de simplicidade), e outro de 20% a partir de 1000€ por mês. Alguém por exemplo que ganhasse 1500€ pagaria 10% pelos primeiros 1000€ e 20% pelos 500€ adicionais, ou seja, pagaria 200€:


Na realidade, este contribuinte teve uma taxa real de 200€/1500€, ou seja de 13,3%. Podemos ainda estabelecer a equação geral, referindo que o valor pago de IRS a aplicar nesta combinação de escalões é:


Onde r é o rendimento coletável do contribuinte e v(r) é o valor em dinheiro que o contribuinte paga de imposto. Até 1000€ o contribuinte paga sempre apenas 10% do seu rendimento. A partir de 1000€, o contribuinte paga sempre pelo menos 100€ fixos, que é os 10% de 1000€, acrescidos de 20% do valor restante, ou seja, 20% do valor que acresce aos 1000€. Neste caso temos o seguinte gráfico:

Valor realmente pago. Dois escalões.
O primeiro escalão até 1000€ de 10%,
O segundo escalão a partir de 1000€ de 20%

Se quisermos todavia fazer o cálculo da percentagem real que o contribuinte paga, teremos de dividir o valor total de imposto pago, pelo valor do rendimento coletável, ou seja, a fórmula anterior fica a seguinte:


onde p(r) é o valor real em percentagem de IRS realmente pago. No exemplo em apreço, ficamos com o seguinte gráfico:

Valor percentual realmente pago. 10% até 1000€. O segundo escalão é de 20%,
mas aplica-se os 20% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 1000€.

Façamos outro caso extremo com dois escalões, ou seja, apesar do uso de dois escalões, um sistema altamente progressivo. O primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, e um segundo escalão 30% a partir desse valor.

Valor percentual realmente pago. 5% até 500€. O segundo escalão é de 30%,
mas aplica-se os 30% apenas sobre a parcela do salário, que supera os 500€.

Neste caso, apesar de termos apenas dois escalões, verifica-se que o valor pago de imposto, mesmo analisando-o apenas do ponto de vista percentual, é realmente bastante progressivo.

Teorema número 3

A forma mais fácil para demonstrar o Teorema 3, visto que é um teorema que está postulado na negativa, é demonstrar um caso onde um maior número de escalões comporte menor progressividade fiscal. Regressemos ao gráfico anterior, onde se apresentou um caso com dois escalões, o primeiro até 500€ e de 5% e o segundo de 30% para valores superiores a 500€. O resultado do valor percentual realmente pago, apresentou-se nesse gráfico. Se porventura apresentarmos um gráfico com um número de escalões superior onde se verifique menor progressividade fiscal, o teorema ficaria automaticamente demonstrado, visto que o mesmo está postulado na negativa.

Imaginemos então um exemplo com três escalões, o primeiro escalão até 500€ com uma taxa de 5%, um segundo escalão de 7% entre 500€ e 1500€, e um terceiro escalão de 10% a partir de 1500€. Neste caso, com um maior número de escalões, ou seja, três em vez de dois, a progressividade do imposto seria bem menor, como pode ser observado no seguinte gráfico:

Sistema com três escalões. 1.º de 5% até 500€.
2.º de 7% entre 500€ e 1500€ e 3.º de 10% a partir de 1500€.
A progressividade é mais baixa que no caso anterior com dois escalões.

Conclusão

Engane-se o eleitor que considere que os políticos são socialmente mais justos por aumentarem o número de escalões do IRS ou do imposto de Renda. Mais importante que o número de escalões, para a progressividade fiscal, é a sua estrutura e configuração. Em acréscimo, parece-me que essa dialética sofista tem sido usada, para aumentando o número de escalões e por conseguinte ludibriar o eleitorado sobre a justeza deste tipo de ações, de facto, aumentar-se na globalidade este imposto, mexendo nas taxas.

Reparemos na real taxa de IRS paga em Portugal nos anos de 2012 e 2013, num gráfico que produzi e partilhei na Wikimédia. Independentemente do número de escalões, que diminuíram em 2013 em relação a 2012, como pode ser visto pelo inferior número de troços, o mais importante é o valor percentual dos mesmos. 2013 foi o ano em que o ministro das finanças de então Vitor Gaspar, em clima de austeridade, referiu que haveria um "enorme aumento de impostos". 



Faço por conseguinte um apelo à classe política para que não altere o número de escalões do IRS, pois aumenta a entropia e a confusão junto do eleitorado, e caso queira obter mais ou menos receita fiscal, que se limite a alterar o valor das taxas, assim como os seus limites. Qualquer argumentário que se preze por ser socialmente mais justo apenas com o aumento do número de escalões, ou economicamente mais liberal apenas com a sua redução, é um argumentário extremamente redutor e na maioria dos casos, demagógico.

O paradoxo do acondicionamento de esferas

Todos sabemos que os paradoxos são objetos estranhos. Normalmente não gostamos muito de paradoxos porque não percebemos bem o que a natureza nos quer dizer com eles. Neste exemplo, a noção de distância é a usual euclidiana; as esferas são centradas num ponto e têm um raio constante; os cubos são de ângulos retos e de unidades normalizadas.

Espaço bidimensional

Para simplificar, partimos do exemplo 2D, onde 22=4 circunferências estão centradas nos pontos {(1,1),(1,-1),(-1,1),(-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionados e inscritos num quadrado 4x4 centrado em (0,0). É sempre possível encaixar o círculo vermelho centrado em O=(0,0) inscrito e portanto tangente às 4 circunferências.

Aqui o raio do círculo vermelho é menor do que meio lado do quadrado L=4/2=2, e por isso o círculo vermelho está contido no quadrado.


Todavia, qual é o raio do círculo vermelho?

O Teorema de Pitágoras (T.P.) aqui diz-nos que a distância de O ao centro de cada uma das 4 circunferências é . Como cada circunferência tem raio r=1, então o círculo vermelho tem raio menor que L=2.

Espaço tridimensional

No caso de dimensão 3D, onde as circunferências passam a esferas teremos 23=8 esferas centradas nos pontos {(1,1,1),(1,1,-1),(1,-1,1),(1,-1,-1),(-1,1,1),(-1,1,-1),(-1,-1,1),(-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num cubo 4x4x4. É sempre possível encaixar uma esfera púrpura centrada em O=(0,0,0) inscrita e portanto tangente às 8 esferas.

Aqui o raio da esfera púrpura é menor do que meia aresta do cubo L=4/2=2, e por isso a esfera púrpura está contida no cubo.

Todavia, qual é o raio da esfera púrpura?

Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., referindo que a esfera púrpura tem raio , ou seja a esfera púrpura tem um raio menor que L=2.

E para esferas no espaço hiperdimensional?

No caso de dimensão 9D, onde as esferas passam a hiper-esferas em 9D teremos 29=512 hiper-esferas centradas nos pontos {(1,1,1,1,1,1,1,1,1),(1,1,1,1,1,1,1,1,-1), ... ,(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,1),(-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1,-1)} e cada uma tem raio r=1, compactamente acondicionadas e inscritas num hipercubo 4x4x4x4x4x4x4x4x4. É sempre possível encaixar uma hiper-esfera negra centrada em O=(0,0,0,0,0,0,0,0,0) inscrita e portanto tangente às 512 hiper-esferas.


Aqui ocorre o início do paradoxo. O raio da hiper-esfera negra é igual à meia aresta L do hipercubo, sendo L=4/2=2, e por isso a hiper-esfera negra está contida no cubo mas é tangente também a ele.

Todavia qual é o raio da hiper-esfera negra?

Mais uma vez podemos responder, com o apoio do T.P., concluindo que a hiper-esfera negra terá um raio igual a:


A partir da nona dimensão em diante, ou seja, para n>9, constata-se todavia que

e por isso a hiper-esfera negra ultrapassará os limites das faces do hipercubo que contém as 2n hiper-esferas e que inscrevem a hiper-esfera negra. Esta extravasação das faces do hipercubo em nD, acabará por envolver e imergir o hipercubo, fazendo-o quase desaparecer dentro da hiper-esfera negra. 

A partir de n=9 em diante, o raio da hiper-esfera interior, extravasa a face do hipercubo

Todavia, interessantemente, como cada um dos 2n vértices do hipercubo está à distância da origem O, de

os vértices do hipercubo estarão sempre mais longe da Origem do que os centros das hiper-esferas estão à origem. Por isso, ao acrescentarmos dimensões, a hiper-esfera negra continuará se expandindo contra os vértices nunca extravasando nenhum, porque cada hiper-esfera emparelha com cada um dos vértices do hipercubo. 

A hiper-esfera negra extravasa as faces do hipercubo por entre os interstícios das hiper-esferas.

Como a austeridade colocou um forte travão na dívida pública

Ouvimos muita gente no dia-a-dia mencionar algo sobre a dívida pública sem realmente perceber muito bem como funciona nem sequer como é calculada. Em acréscimo nas questões fraturantes com referência ao antigo Primeiro-Ministro José Sócrates e às políticas de austeridade dos últimos anos, as opiniões da rua e dos espaços de comentários na Internet, assim como de muitos agentes da classe política, tornam-se mais acesas e mais dicotómicas, todavia por vezes ainda mais ruidosas e confusas. Quase toda a gente na praça pública fala da dívida pública, desde jornalistas, políticos, comentadores, economistas e até eleitores comuns. Se por um lado tal é positivo, pois realça que a população em geral no exercício da sua cidadania considera este indicador importante, por outro lado o interesse do público gera também muita desinformação que convém todavia esclarecer matematicamente. Na Matemática Viva somos totalmente apartidários, queremos deixar isso bem vincado, mas como sempre referimos achamos que é importante vivificar a matemática em Portugal, tornando o eleitor mais esclarecido. Assim sendo, demonstrarei matematicamente que as políticas de austeridade na realidade colocaram um forte travão na dívida pública.

Um sistema dinâmico: o automóvel de dois lugares

A dívida pública como muitos indicadores económicos representa um sistema dinâmico, ou seja, estamos perante um sistema que obedece a uma inércia, neste caso uma inércia económica-financeira. Foi Newton um dos primeiros estudiosos dos sistemas dinâmicos e a usar cálculos variacionais para os estudar. Num paralelismo no dia-a-dia, o sistema dinâmico mais elementar que podemos fornecer ao comum dos leitores é o de um automóvel de dois lugares, que partiu da origem de uma determinada pista sempre a direito. Se por acaso num determinado instante trocarmos de condutor, e este quiser parar o avanço para voltar para trás, a paragem não é imediata. Ao travar, a velocidade vai abrandando, todavia mesmo com a diminuição da velocidade, o automóvel não deixa de avançar para a frente. Nesse movimento de travagem, em que a velocidade, ou seja, a variação do espaço, diminui a cada instante, a aceleração é constante e negativa, pois o automóvel está a travar. Essa aceleração negativa que é sempre constante representa na realidade a variação da velocidade. Como a velocidade varia de forma regular e linear, a aceleração, que representa a variação da velocidade, é constante. Reparem que uso aqui a aceleração mesmo considerando que o automóvel está a parar, pois quando um carro para, está matemática e fisicamente a acelerar negativamente. Resumindo: a velocidade é a variação do espaço percorrido e a aceleração é a variação da velocidade. Logo, a aceleração é a variação de segunda ordem do espaço percorrido. Mas vamos a um exemplo! No seguinte gráfico podemos ver como estas três variáveis interagem. 

Gráfico que combina distância percorrida, velocidade e aceleração.

Entre os 0 e os 4 segundos: até cerca de 4 segundos o automóvel tem uma aceleração constante que é 4 (não interessa para o efeito mencionar a unidade da aceleração). Como a aceleração é constante e de sinal positivo, o carro está a avançar e a velocidade aumenta de forma regular e linear (linha reta na velocidade). Por essa altura o espaço percorrido aumenta também mas de forma quadrática (a curva que se nota no gráfico da distância é quadrática até aos 4 segundos).

Entre os 4 e os 7 segundos: no segundo troço, entre os 4 e os 7 segundos, o carro deixa de acelerar, pois a sua aceleração é zero, o que significa que a velocidade se mantém constante (caso ideal sem atritos, como o vento). Como a velocidade se mantém constante, a distância percorrida não deixa de aumentar, mas neste caso, como não se acelera, a distância avança de forma linear (a reta no gráfico da distância).

Entre os 7 e os 15 segundos: imaginemos que a partir desse instante, perto dos 7 segundos, troca-se de condutor e que esse condutor está descontente com o caminho tomado e decide travar o automóvel. Nessa altura esse condutor ao travar aplica uma aceleração negativa de 2, que faz com que a velocidade vá baixando de forma linear, mas o carro não começa a andar de marcha-atrás de forma imediata. Vai ser necessário que o carro chegue até aos 150 metros, nos 15 segundos, para que o carro pare.

Entre os 15 e os 23 segundos: então, ao continuar a aplicar uma aceleração negativa (neste caso, já não o travão, mas a marcha-atrás), o veículo começa a regressar à origem, e a velocidade começa a ser negativa a partir dos 15 segundos. Deixo a interpretação do resto do gráfico aos leitores.

A dívida pública é um sistema dinâmico

A dívida pública é um sistema dinâmico porque qualquer variável de controlo que possa nela ser aplicada (os pedais no automóvel), estão longe de provocar no instante variações significativas. Cortar nos gastos do Estado não implica que a dívida desça de forma imediata, pois na dívida estão subjacentes compromissos de longo prazo, como o pagamento de juros em títulos plurianuais da dívida. Se alguns pagamentos como as PPP rodoviárias foram temporizados para alguns anos mais tarde, tal também tem efeitos dinâmicos na dívida. Podemos também afirmar de forma genérica que o Estado tem muitos compromissos financeiros, com muitas entidades, e que tal insere uma certa inércia no comportamento da dívida. Assim interessa estudar a dívida na ótica do estudo a sistemas dinâmicos. Neste caso por questões de simplicidade usamos sistemas dinâmicos discretos de segunda ordem, sendo cada ano civil a unidade de tempo.

No paralelismo da dívida pública com o automóvel de dois lugares, podemos afirmar que a distância na pista é o valor da dívida, ou seja, se o automóvel está na origem a dívida é zero, já se o automóvel está nos 160 metros, a dívida é 160 mil milhões de euros, ou seja, um metro por cada mil milhão de euros de dívida. Ora se num determinado instante em que os condutores avançam, eles trocarem de lugares e o novo condutor adotar uma tática diferente, o automóvel guarda uma inércia que precisa de ser corrigida, inércia essa que demora tempo a corrigir. Se o segundo automobilista quiser parar e fazer marcha-atrás, terá primeiro de travar. Mas mesmo que trave o automóvel, este continuará durante algum tempo no sentido positivo, ou seja, em frente (dívida a crescer, mas a crescer num ritmo mais baixo; automóvel a avançar, mas a avançar mais devagar). Só quando o automóvel estiver imobilizado, ou seja, a variação do avanço for zero (variação do avanço é a velocidade), é que o automóvel pode retornar e começar a fazer marcha-atrás.

Nesta contabilidade não se tem em conta ainda a variação do PIB, mas apenas o valor absoluto da dívida. Também não se contabilizam contabilidades paralelas (PPP, dívidas de empresas públicas), nem que mecanismos foram usados para baixar a dívida (por exemplo privatizações), fazemos apenas uma análise à dívida vista pelos valores que o PORDATA e o INE nos facultam. Resumindo, no caso do nosso automóvel, a distância percorrida pelo automóvel representa o valor absoluto da dívida; a velocidade do automóvel representa a variação da dívida; e a aceleração representa a variação de segunda ordem da dívida.

Trajeto percorrido pela dívida pública desde 1992.

Velocidade de crescimento da dívida pública.
A austeridade baixou a velocidade de crescimento da dívida.

Aceleração de crescimento da dívida pública.
A austeridade travou a dívida ao impor-lhe uma tendência dinâmica de redução.

Caso o caro leitor tenha percebido a forma como funcionam estes sistemas dinâmicos (de segunda ordem), compreende de forma cristalina pelos gráficos acima que a austeridade impôs um forte travão na dívida pública. No primeiro ano do governo Sócrates, houve um aceleração da dívida, fenómeno que foi travado no segundo e terceiro anos, mas que foi novamente acelerado em ano eleitoral. Com a crise das dívidas soberanas em meados de 2008, a aceleração da dívida toma valores muito elevados em 2009, valores que se mantêm em 2010. Todavia conclui-se facilmente pelo gráfico que desde a entrada do governo seguinte que impôs políticas de austeridade, que a "velocidade" da dívida tem vindo sempre a diminuir, e que a "aceleração" da dívida é mesmo negativa. A partir de 2015 a velocidade da dívida é mesmo negativa e a dívida começa a descer a sua trajetória, ou seja, começa a diminuir.

Usando o nosso paralelismo pode-se dizer de forma categórica e inequívoca que as políticas de austeridade colocaram um forte "travão" no comportamento da dívida pública. Ignorar tal facto é ignorar as ciências matemáticas.