Teorema de Pitágoras - A Demonstração do Iniciado

Triângulo rectângulo
Pitágoras de Siracusa, 
um dia disse aos netos, 
o quadrado da hipotenusa 
é igual à soma do quadrado dos catetos

Foi desta forma poética e sublime que enquanto criança obtive uma formulação matemática para um tratado geométrico tão ancestral como o Teorema de Pitágoras. Bem sei que Pitágoras era de Samos e não de Siracusa, e também há quem refira que parte deste teorema já era conhecido antes de Pitágoras pelos Babilónios, mas foi a Pitágoras que foi atribuído o cânone matemático supremo, metafísico e sacral. Diversa bibliografia refere Pitágoras como um iniciado e pertencente às sociedades secretas predecessoras da Maçonaria. Pitágoras fundou uma escola mística e filosófica em Crotona, que fazia parte das colónias gregas na península itálica; escola cujos princípios foram determinantes para a evolução geral da matemática e da filosofia ocidental sendo os principais temas a harmonia matemática, a doutrina dos números e o dualismo cósmico essencial.

Acredita-se que Pitágoras tenha sido casado com a física e matemática grega Theano, que foi sua aluna.

Os pitagóricos interessavam-se pelo estudo das propriedades dos números. Para eles, o número, sinónimo da harmonia, constituído da soma de pares e ímpares, pois os números pares e ímpares expressam as relações que se encontram em permanente processo de mutação; são considerados como a essência das coisas, criando noções opostas e sendo a base da teoria da harmonia das esferas.

Segundo os pitagóricos, o cosmos é regido por relações matemáticas. A observação dos astros sugeriu-lhes que uma ordem domina o Universo. Evidências disso estariam no dia e na noite, no alterar-se das estações e no movimento circular e perfeito das estrelas. Por isso o mundo poderia ser chamado de Cosmos, termo que contém as ideias de ordem, de correspondência e de beleza. Nessa cosmovisão também concluíram que a Terra é esférica, estrela entre as estrelas que se movem ao redor de um fogo central. Alguns pitagóricos chegaram até a falar da rotação da Terra sobre o eixo, mas a maior descoberta de Pitágoras ou dos seus discípulos, já que há obscuridades em torno do pitagorismo, devido ao carácter esotérico e secreto da escola, deu-se no domínio da geometria e se refere às relações entre os lados do triângulo rectângulo.

A descoberta foi enunciada no Teorema de Pitágoras.

A demonstração mais ancestral - Por comparação de áreas

Demonstração por comparação das áreas
Não se sabe ao certo qual seria a demonstração utilizada por Pitágoras, entretanto, alguns autores concordam que ela teria sido feita através da comparação de áreas, conforme se segue:


  1. Desenha-se um quadrado de lado a + b;
  2. Traçam-se dois segmentos paralelos aos lados do quadrado;
  3. Divide-se cada um destes dois rectângulos em dois triângulos rectângulos, traçando as diagonais. Chama-se c o comprimento de cada diagonal;
  4. A área da região formada ao retirar os quatro triângulos rectângulos é igual a ab2;
  5. Desenha-se agora o mesmo quadrado de lado a + b, mas colocamos os quatro triângulos rectângulos noutra posição.
  6. A área da região formada quando se retiram os quatro triângulos rectângulos é igual a c2.
Como ab2 representa a área do quadrado maior subtraída da soma das áreas dos triângulos rectângulos, e c2 representa a mesma área, então a+ b2 = c2. Ou seja, num triângulo rectângulo o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. O segmento de medida c foi chamado de hipotenusa e os de medida b e a foram chamados de catetos.

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