O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, este teorema é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e o respectivo raio de convergência.
Enunciado
Seja
uma série numérica e a constante k definida pelo limite:
![\sum_{n=1}^{\infty} a_n](https://upload.wikimedia.org/math/e/e/9/ee9b9fe70c7b3ccf7ecb52f1b6b13832.png)
Então:
- Se k < 1, a série converge absolutamente
- Se k > 1, a série diverge
- Se k = 1, nada se pode concluir
No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k por:
Exemplo 1
Considere a série dada por:
Portanto a série converge.
Exemplo 2
Considere a série dada por:
, em que:
Então bn não tem limite, ou seja,
não existe.
![\lim_{n \to \infty}b_n](https://upload.wikimedia.org/math/7/9/2/792ef504991246fafd79c44a7fbf1a1f.png)
Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos
Como 2 > 1, a série é divergente.
muito bom, obrigado
ResponderEliminar