Gauss e a soma de n naturais


Karl Friedrich Gauss nasceu na Alemanha em Brunswick, em 1777. Revelou desde muito cedo um enorme talento para a matemática. Por exemplo, diz-se que aos 3 anos de idade já conseguia ajudar o pai na contabilidade do seu negócio e aos 14 anos de idade, Gauss andou a estudar o "teorema dos números primos" (mais de um século antes da sua demonstração). Este teorema afirma que dado N natural, à medida que este aumenta, a densidade de números primos N*/N, em que N* representa o número de números primos inferiores a N, aproxima-se mais e mais de 1/lnN.

Um dia o professor de Gauss pediu aos alunos que adicionassem todos os números de 1 a 100. Eventualmente, o objectivo do professor seria o de colocar os alunos a exercitarem o cálculo mental e a trabalharem no exercício por alguns largos minutos. Contudo, Gauss descobriu rápidamente uma solução.

A receita de Gauss é muito simples e engenhosa:

- Escrever o enunciado da soma duas vezes, uma vez pela ordem crescente e a outra vez pela ordem decrescente:

    1 +   2 +   3 +... ...+  98 + 99 + 100
100 + 99 + 98 +... ...+    3 +   2 +     1

- Em seguida, somar as duas somas, coluna a coluna:

101+101+101+ ... ...+ 101+101+101

- Como nesta soma, o número 101 aparece 100 vezes temos:

  101+101+101+ ... ...+ 101+101+101 = 100 * 101 = 10100

- Como este resultado é o dobro da resposta original, o resultado pretendido é 10100/2 = 5050

A estratégia de Gauss funciona para qualquer número natural:

1+2+3+...+n = n(n+1)/2

Simples e eficaz

Curiosamente a sucessão dos números que se obtém com esta fórmula  n(n+1)/2 dá os chamados números triangulares, por exemplo:





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