Breve explicação do critério da raiz para aferir a convergência de séries

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O teste da raiz, critério da raiz ou teste de Cauchy é um teorema que permite estabelacer a convergência de uma série numérica. Muitas vezes, este teorema é também aplicado para estudar a convergência de uma série de funções e o respectivo raio de convergência.


Enunciado

Seja \sum_{n=1}^{\infty} a_n uma série numérica e a constante k definida pelo limite:
  • k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}
Então:
  • Se k < 1, a série converge absolutamente
  • Se k > 1, a série diverge
  • Se k = 1, nada se pode concluir
No caso de o limite não existir, este teste ainda é válido, substituindo a definição de k por:
  • k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}



Exemplo 1

Considere a série dada por:
  • \sum_{n=1}^{\infty}\frac{n^2}{2^n}
k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\frac{n^2}{2^n}}= \frac{1}{2}\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{n^2}=\frac{1}{2}<1
Portanto a série converge.


Exemplo 2

Considere a série dada por:
  • \sum_{n=0}^{\infty}2^{n(-1)^n}
k=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{n(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|(2^{(-1)^n})^n|} =\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|2^{(-1)^n}|^n}=
=\lim_{n \to \infty}{|2^{(-1)^n}|}=\lim_{n \to \infty}b_n, em que:
b_n = \begin{cases} 2, & \mbox{se n par} \\ \frac{1}{2}, & \mbox{se n ímpar } \end{cases}
Então bn não tem limite, ou seja, \lim_{n \to \infty}b_n não existe.
Neste caso então, como o limite não existe, aplicaremos
k=\limsup_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}=\limsup_{n \to \infty} (b_n) =2>1
Como 2 > 1, a série é divergente.

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