Breve explicação para o critério d'Alembert ou critério da razão


Em Matemática, o critério da razão ou critério d'Alembert é um teste para se saber se uma série é convergente ou não.
Seja \sum_{n=1}^{\infty}a_{n} uma série de termos positivos.
Fazendo-se \lim_{n\rightarrow\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L
Se:
  •  L<1 \! a série é absolutamente convergente (portanto convergente)
  •  L>1 \! ou  L = \infty\! a série é divergente
  •  L=1 \! o teste é inconclusivo


Exemplo

Seja: a_n=\frac{n+1}{n!}
Clasificar \sum_{n=1}^{\infty}a_n
a) a_n=\frac{n+1}{n!} > 0
b) \frac{n+1}{n!} tende para zero quando n tende para infinito, pois n! cresce muito mais rapidamente que n.
c) Aplicando o critério D'Alembert:
L=\lim_{n \to \infty}\frac{a_{n+1}}{a_n} = \lim_{n \to \infty}\frac{\frac{n+2}{(n+1)!}}{\frac{n+1}{n!}} = \lim_{n \to \infty}\frac{n+2}{(n+1)!}\frac{n!}{(n+1)}=\lim_{n \to \infty}\frac{(n+2)}{(n+1)^2}= =\lim_{n \to \infty}\frac{(n+1)+1}{(n+1)^2}
=\lim_{n\to\infty}\left(\frac{1}{n+1} + \frac{1}{(n+1)^2}\right)=0
e como L < 1, a série \sum_{n=1}^{\infty}a_n converge.

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