Considerações matemáticas sobre o número de Euler

Na matemática , número de Euler (pronuncia-se óilar), assim chamado em homenagem ao matemático suíço Leonhard Euler, é a base dos logaritmos naturais. As variantes do nome do número incluem: número de Napier,constante de Népernúmero neperianoconstante matemática e número exponencial, etc. A primeira referência à constante foi publicada em 1618 na tabela de um apêndice de um trabalho sobre logaritmos de John Napier. No entanto, este não contém a constante propriamente dita, mas apenas uma simples lista de logaritmos naturais calculados a partir desta. A primeira indicação da constante foi descoberta por Jakob Bernoulli, quando tentava encontrar um valor para a seguinte expressão (muito comum no cálculo de juros compostos):
k{e}^{r} = \lim_{n\to\infty} \left(k\left(1+\frac{r}{n}\right)^n\right)
para r = k = 1, ou seja:
e = \lim_{n\to\infty} \left(1+\frac{1}{n}\right)^n
ou ainda, substituindo-se n por \frac{1}{h}
e = \lim_{h\to 0} \left(1+h\right)^\frac{1}{h}
,cujo valor é aproximadamente 2,718 281 828 459 045 235 360 287.

Caracterizações menos triviais do número de Euler

Alternativamente à representação mais conhecida, temos também:  \lim_{x \rightarrow 0^{+}} (1+x)^{\frac{1}{x}} = e
O número e pode ser representado e calculado por meio da utilização da série de Taylor para ex quando x=1, como a soma da seguinte série infinita:
e = \sum_{n=0}^\infty {1 \over n!} = {1 \over 0!} + {1 \over 1!}
  + {1 \over 2!} + {1 \over 3!}
  + {1 \over 4!} + \cdots
Aqui n! representa o factorial de n.
A função ex (função exponencial de base e) pode ser representada da seguinte forma:
(\forall x\in\mathbb{R})exp(x) = ex
assim, por exemplo, tem-se :
\exp(3)=e\times e \times e=e^3 ou ainda
\exp(-4)=\frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}\times \frac{1}{e}=\left(\frac{1}{e}\right)^4=e^{-4}
Outra maneira de se encontrar o valor de e é pelo desenvolvimento da fração contínua, escrito sob a forma interessante:
e=2+\frac{1}{1+\frac{1}{2+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{4+\frac{1}{1+\frac{1}{1+\frac{1}{6+\ldots}}}}}}}}
Ou, de forma mais simplificada:
e = [[2; 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1, 1, \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots, \textbf{2n}, 1, 1, \ldots]], \,
que pode ser escrita mais harmoniozamente com a utilização do zero:
 e = [[ 1 , \textbf{0} , 1 , 1, \textbf{2}, 1, 1, \textbf{4}, 1 , 1 , \textbf{6}, 1, 1, \textbf{8}, 1, 1, \ldots]], \,
Muitas outras séries, sequências, frações contínuas e produtos infinitos que representam e já foram desenvolvidas.

O Número de Euler no Cálculo

A função exponencial y = ex tem a intrigante propriedade de ser sua própria derivada, i.e.:
\frac{d}{dx}e^{x}=e^{x}
Isto significa que e tem a notável propriedade de que a taxa de variação de ex no ponto x = t vale et. Daí sua importância no cálculo diferencial e integral, e seu papel único como base do logaritmo natural. Além desta, pela regra da multiplicação por constante, as funções y = kex(\forall k\in\mathbb{R}) também são suas próprias derivadas.
Trabalhando com integrais, pode-se ainda definir e como sendo o único número maior que zero tal que:
\ln{e} = \int_{1}^{e} \frac{dt}{t} = {1}


Mais Sobre o número de Euler

O número e é um número irracional e mesmo transcendente (como pi). A irracionalidade de e foi demonstrada por Lambert em 1761 e mais tarde por Euler. A prova da transcendência de e foi estabelecida por Hermite em 1873.
Conjecturou-se que e é um número normal ou aleatório.
Ele aparece (com outras constantes fundamentais) na identidade de Euler, considerada a expressão mais "bela" da matemática:
e^{i\pi}+1=0 \,
Obtém-se tal relação por meio da fórmula:
e^{ix} = \cos x + i\,\text{sen}\,x \,\!
que, por sua vez, advém da série de Taylor para f(ix) = eix.
Leonhard Euler começou a usar a letra e para representar a constante em 1727, e o primeiro uso de e foi na publicação Euler’s Mechanica (1736). As verdadeiras razões para escolha da letra são desconhecidas, mas especula-se que seja porque e é a primeira letra da palavra exponencial.
Outra aparição do número de Euler é na probabilidade: caso se escolham números entre zero e 1 até que o seu total ultrapasse 1, o número mais provável de seleções será igual a e.

Nas séries infinitas

Dentre as várias séries infinitas que resultam em e, têm-se, além da trivial:
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{(-1)^k}{k!} \right ]^{-1}
e = \left [ \sum_{k=0}^\infty \frac{1-2k}{(2k)!} \right ]^{-1}
e =  \frac{1}{2} \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{k!}
e =  2 \sum_{k=0}^\infty \frac{k+1}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{3-4k^2}{(2k+1)!}
e =   \sum_{k=0}^\infty \frac{(3k)^2+1}{(3k)!}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k}{2(k-1)!}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^2}{2(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^3}{5(k!)}
e =  \sum_{k=1}^\infty \frac{k^4}{15(k!)}

 Nos limites e produtos infinitos

Os produtos infinitos
 e= 2 \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/2} \left ( \frac{2}{3}\; \frac{4}{3} \right )^{1/4} \left ( \frac{4}{5}\; \frac{6}{5}\; \frac{6}{7}\; \frac{8}{7} \right )^{1/8} \cdots
e
 e = \left ( \frac{2}{1} \right )^{1/1} \left (\frac{2^2}{1 \cdot 3} \right )^{1/2} \left (\frac{2^3 \cdot 4}{1 \cdot 3^3} \right )^{1/3} 
\left (\frac{2^4 \cdot 4^4}{1 \cdot 3^6 \cdot 5} \right )^{1/4}  \cdots ,
, em que o n-ésimo factor corresponde à raiz do produto
\prod_{k=0}^n (k+1)^{(-1)^{k+1}{n \choose k}},
resultam no número de Euler, assim como os seguintes limites:
 e= \lim_{n \to \infty} n\cdot\left ( \frac{\sqrt{2 \pi n}}{n!} \right )^{1/n}
 e=\lim_{n \to \infty} \frac{n}{\sqrt[n]{n!}}
e=\lim_{n \to \infty} \left [ \frac{(n+1)^{n+1}}{n^n}- \frac{n^n}{(n-1)^{n-1}} \right ]
O Número de Euler com os primeiros 510 dígitos decimais

e=2{,}718\;281\;828\;459\;045\;235\;360\;287\;471\;352\;662\;497\;757\;247
\;093\;699\;959\;574\;966\;967\;627\;724\;076\;630\;353\;547\;594\;571\;382
\;178\;525\;166\;427\;427\;466\;391\;932\;003\;059\;921\;817\;413\;596\;629
\;043\;572\;900\;334\;295\;260\;595\;630\;738\;132\;328\;627\;943\;490\;763
\;233\;829\;880\;753\;195\;251\;019\;011\;573\;834\;187\;930\;702\;154\;089
\;149\;934\;884\;167\;509\;244\;761\;460\;668\;082\;264\;800\;168\;477\;411
\;853\;742\;345\;442\;437\;107\;539\;077\;744\;992\;069\;551\;702\;761\;838
\;606\;261\;331\;384\;583\;000\;752\;044\;933\;826\;560\;297\;606\;737\;113
\;200\;709\;328\;709\;127\;443\;747\;047\;230\;696\;977\;209\;310\;141\;692
\;836\;819\;025\;515\;108\;657\;463\;772\;111\;252\;389\;784\;425\;056\;953
\;696\;770\;785\;449\;969\;967\;946\;864\;454\;905\;987\;931\;636\;889\;230
\;098\;793\;127\;736\;178\;215\;4\,\ldots

3 comentários:

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  2. copy paste da wikipedia, muito bom...

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  3. Olá. É verdade, não o nego. O que vc não sabe é que eu contribuo muito em artigos matemáticos para a wikipedia, e depois copio alguns artigos para aqui.

    http://pt.wikipedia.org/wiki/Usu%C3%A1rio:Joao.pimentel.ferreira

    atentamente

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